华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1]6

即 ust
=
t 2(s2 -
t2)
us
-
s 2(s2 -
t2)
ut
+
1 2
.
《
》试卷第 2 页 共 4 页
ì
ï
三.
(10 分)
求解问题
ï í
utt = a2uxx , (0 < x < l, t > 0), u(0, t) = 0, u(l, t) = 0,
。
ï ï u( î
x,
0)
=
sin
px l
(密封线内不答题) ……………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
华南理工大学期末考试
序号
《数学物理方程》试卷 A
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；
2. 所有答案请答在试题卷上；
x + at
y
(a
)da
）。
2
2a x-at
4. 由 泊 松 公 式 ， 三 维 波 动 方 程 初 值 问 题
ì í î
utt = a2 (uxx + uyy + uzz ), -¥ u( x, y, z,0) = j (x, y, z),
<
x, y, z < ut (x, y,
+¥,t > 0 z,0) = 0
y2
-
1 2
x2
=
c1,
1 2
y2
+
1 2
x2
=
c2 .
作变换
s = 1 y2 - 1 x2,t = 1 y2 + 1 x2,
22
22
则
ux = - xus + xut , uxx = x2uss - 2x2ust + x2utt - us + ut , uy = yus + yut , uyy = y2uss + 2 y2ust + y2utt + us + ut .
曲型的判别条件是在该点处（ D = a122 - a11a22 > 0 ）。
2.
四种固有值问题（1）
ì í î
X ¢¢( x) + l X ( x) = 0 X (0) = X (l) = 0
，（2）
ì í î
X ¢¢(x) + l X (x) = 0 X ¢(0) = X (l) = 0
，（3）
ì X ¢¢(x) + l X (x) = 0
í î
X (0) = X ¢(l) = 0
，（ 4 ）
ì X ¢¢(x) + l X (x) = 0
í î
X ¢(0)
=
X ¢(l) = 0
的固有值都记为
ln
=
wn2
，则
(1),(2),(3),(4)的固有函数 X n (x) 分别为 sin wn x, coswn x, sin wn x, coswn x ，其中
wn
分别为（
np l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
np l
）。
3.
表达波动方程初值问题
ìíutt îu(
= x,
a2uxx , -¥ 0) = j (x),
< ut
x < +¥,t (x,0) =y
>0 ( x)
的解的达朗贝尔公式是
ò （ u(x,t) = j ( x - at) + j (x + at) + 1
,
ut
(
x,
0)
=
sin
px l
.
答(p56 习题二，1（1）)：用分离变量法.
特征值和特征函数分别为 ln
=
( np l
)2 ,
Xn(x)
=
sin
np x l
.
结果为 u(x,t) = (cos p at + l sin p at )sin p x .
l pa l
l
ìïutt
四.
(10
分)用固有函数法求解
5
-5
二. (10 分)将方程 y2uxx - x2uyy = 2 化为标准形。
答（P18 例 1）： D = a122 - a11a22 = x2 y2 > 0, x ¹ 0, y ¹ 0.
当 x ¹ 0, y ¹ 0 时，方程为双曲型，特征方程为
y2dy2 - x2dx2 = 0
积分曲线为
1 2
2a p t -¥
六.
(10
分)求解泊松方程边值问题
ìï Du( í
x,
ïî
y, z) = -12, (x2 + y2 u |x2 + y2 + z2 =4 = 8.
+
z2
<
4)
答（类似 p105 例 5 例 6）:显然泊松方程有一特解 w = -2( x2 + y2 + z2 ).
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》试卷第 3 页 共 4 页
于是
y2uxx - x2uyy = -4x2 y 2ust - ( x2 + y 2 )us + ( y 2 - x2 )ut ，
又 x2 + y2 = 2t, y2 - x2 = 2s, (2s)2 - (2t)2 = -4x2 y2 ,
故原方程化为
4(s2 - t 2 )ust - 2tus + 2sut = 2,
ï í
=
a2uxx
+
t
sin
px l
, (0
<
x
<
l,t
>
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, (t ³ 0),
0),
ï ï
u( x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, (0 £ x £ l).
î
答（p58 习题二 10(2)）:固有函数系为{sin np x} ， l
结果为 u(x, t) = ( l )2 (t - l sin p at ) sin p x .
=
¥ m=1
4J 2 (mm(0) )
(
m(0) m
)2
J
2 1
(
m (0) m
)
J (m r)e . (0) 0m
- ( mm( 0)a )2 t
《
》试卷第 4 页 共 4 页
令u
=
v
-
2( x 2
+
y2
+
z2 ),
则问题化为拉普拉斯方程边值问题
ìï í ïî
Dv v|
x
( x,
2 + y2
y,
+z2
z) = 0, = 16.
=4
由极值原理， v = 16.
所以原问题的解为 u = 16 - 2(x2 + y2 + z2 ).
ìïut
七．(10
分)求解圆盘的热传导问题
ï í
R(r) = CJ0 ( l r) + DY0 ( l r). D = 0.
固有值ຫໍສະໝຸດ Baidulm
=
(
m(0 m
)
)
2
,
m m( 0 )为J
0
(
x)正零点.
固有函数
Rm
(r)
=
J
0
(
m (0 m
)
r
).
Tm (t)
=
C e . -
(
m
(0 m
)a
)2
t
m
¥
å u(r, t) =
m C e J ( r). -( mm(0)a)2 t
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共 七 大题，满分 100 分，
题号 一 二
三
四
得分
评卷人
一.填空(40 分)
考试时间 120 分钟。
五
六
七
总分
1．二阶线性偏微分方程 a11uxy + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f 在某点为双
班级
业
学院
_____________ ________
=
a 2 (urr
+
1 r
ur
),
(0
£
u(1, t) = 0,
r
< 1, t
>
0)
ï ï
u(r, 0) = 1 - r2 .
î
答（p122 例 1）： u(r, t) = R(r)T (t).
T ¢ + la2T = 0. ìr2 R¢¢ + rR¢ + (lr2 - 02 )R = 0, í î R(1) = 0, | R(0) |< ¥.
òò ìDu = 0,
í î
u |G =
(x, y, z) Î f (x, y, z)
W
的解可表示为（
u( M 0
)
=
-
G
f (x, y, z) ¶G dS ）。 ¶n
8. 贝塞尔方程 x2 y¢¢ + xy¢ + ( x2 - 5) y = 0 的通解是（ y( x) = AJ (x) + BJ ( x) ）。
的解可表示为
òò （ u(x,
y, z)
=
¶ ¶t
t ( 4p a2t2
S aMt
j(x , m,z
) dS
），其中 SaMt
表示以 M (x,
y, z) 为球心，
以 at 为半径的球面。
5.
函数（ U 0
=
1 r
(r
¹
0)
）称为三维拉普拉斯方程
uxx
+
u yy
+
u zz
= 0 的基本解。
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》试卷第 1 页 共 4 页
学号
姓名
ìDu = 0, (x, y, z) Î W
6.
根据调
和函数
的
性质，
诺伊曼
问题
ï í
ïî
¶u ¶n |G =
f (x, y, z)
有解的必要条件是
（ òò f ( x, y, z)dS = 0 ）。
G
7 设函数 G(M , M0 ) =
1 4p rMM0
- v 为区域 W 上的格林函数，则 W 上的狄利克雷问题
(0)
m
0m
m =1
¥
å 由 u(r, 0) = Cm J 0 (mm(0)r) = 1 - r2 , 得
m=1
ò Cm =
1 0
r(1
-
r2
)J
0
(
m (0 m
)
r
) dr
1 2
J
2 1
(
m (0 m
)
)
=
(
m
4J2 ) (0) 2
m
(
m (0 m
)
)
J
2 1
(
m (0 m
)
)
.
å 于是，
u(r, t)
pa
pa l
l
五.
(10
分
)用
积
分
变
换
法求
解
问
题
ì í
ut
= a2uxx , (-¥ <
x < +¥,t
> 0), （已知傅氏逆变换
î
u(x, 0) = sin x.
F [e -1 -a2l 2t ] =
1
x2
e- 4a2t . ）。
2a p t
答（类似 p85 习题三 9 及 p74 例 1）：
F[u( x, t)] = U (l, t), F[sin x] = F(l ).
ìï dU (l, t) í dt
=
-a2l 2U (l, t) ,
ïî U (l, 0) = F(l).
U (l, t) = F(l)e-a2l2t .
ò u(x, t) = sin x *
1
e = -
x2 4 a2t
1
+¥
sin
x
e
-
(
x-x 4a2
) t
2
d
x
=
sin xe-a2t .
2a p t