酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结

酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈

韦龙201131402

摘要

科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。

关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。

The study of Unitary matrix and Hermite matrix

Wei Long 201131402

Abstract

With the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.

Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonal matrix; Characteristic value

第一章 酉矩阵

第一节 酉矩阵的概念及等价条件

1.1.1 正交矩阵和酉矩阵

定义1.1.1 满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.

在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.

1.1.2 酉矩阵的等价条件

先给出酉矩阵的以下定义.

定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:H U 表示矩阵U 的共轭转置，即H U =-U '.

定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵. 易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的. 从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知, 酉矩阵

是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成n

C 的标准正交基.

引理1.1.1[3] 酉矩阵的行列式的模为1

引理1.1.2[4] 对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*

.

引理1.1.3[5] 对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1

A Tr PAP Tr =- 引理1.1.4[6] 对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵

B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6] n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是：'=A A I 或者'AA E = 定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是

.,,2,1,n j a A

A A ij ='=

这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.

定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :

(i) ⎥

⎦⎤

⎢

⎣

⎡++2211sin cos 0

0sin cos ββi a i a

(ii) ⎥⎦

⎤⎢

⎣

⎡++0

sin cos sin cos 0

2

21

1β

βββi i (iii) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++-+-+)

sin (cos )

sin (cos 1)sin (cos 1)

sin (cos 443322221

1θθθθθθθθi r i r i r i r

这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.

定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:

)()(B Tr A AB Tr ='

第二节 酉矩阵的性质

1.2.1 运算性质

1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵

定理1.2.1 设U 为酉矩阵，则-1U U U '，和都是酉矩阵.

证明 因为

H

H U U =U U =U U =E =E '''（）（）（）

所以U 是酉矩阵.

因为

H

H H U U =U U =UU =E =E '''''（）（）（）（）（）

所以U '是酉矩阵.

因为