立体几何证明方法汇总
高中数学立体几何证明定理及性质总结
一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行2. 线面相交l符号表示：符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
方法二：用面面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβαmlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
方法二：用线面平行实现βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：l1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：计算所成二面角为直角。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭。
立体几何基本知识总结和线面垂直平行六种关系的证明方法
立体几何基本知识总结I. 基础知识要点 一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围[]180,0∈θ）（异面直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角()90,0∈θ）（直线与平面所成角[]90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性12方向相同12方向不相同证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短. [注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都POAaPαβθM AB O取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图） ⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全．等的矩形．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.图1θθ1θ2图2⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. l ab c FEH GBCDAO'⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.构造以半径为斜边的直角三角形线面垂直平行六种关系的证明方法总结一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。
高考数学立体几何中与角有关的四大定理及其证明
则 cosθ = cos2β + cos2γ - 2cosαcosβcosγ sinα
证明：设 ∠HAC = θ1,∠HAB = θ2 ⇒ α = θ1 + θ2,
由三余弦定理得：
cos β cosγ
= =
cosθ cosθ
cosθ1 cosθ2
① ②
由①和②得 cosθ = cosβ = cosγ ③ cosθ1 cosθ2
α
Aβ
γ
P α : 线面角 β : 斜线角 γ : 射影角 则 cosβ = cosαcosγ ⇒ β > α,β > γ
Q
B
证明：cosβ =
AB PA
,cosα =
QA PA
,cosγ =
AB QA
⇒ cosβ = cosαcosγ
·1·
3. 三夹角公式
P
θ
Aβ
γ
α
C H
B
若 θ 为 PA 与平面 ABC 的夹角
⋅
HO BO
AH AO
⋅
BH BO
= cosθ - cosθ1cosθ2 sinθ1sinθ2
注：若 φ =
π 2
,
则该定理退化为三余弦定理
·3·
立体几何中与角有关的四大定理及其证明
1. 三正弦定理
β α
A
γ
B
P
α : 线面角 β : 线棱角 γ : 二面角 则 sinα = sinβsinγ Q ⇒ α ≤ β,α ≤ γ
证明：sinα =
PQ PA
,sinβ =
PB PA
,sinγ =
PQ PB
⇒ sinα = sinβsinγ
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答
高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。
7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
4、反证法。
三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。
2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
5、垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
立体几何证明引导中学生证明立体几何的方法
立体几何证明引导中学生证明立体几何的方法立体几何是数学中的一个重要分支，涉及到空间几何关系的研究和证明。
对于中学生来说，掌握立体几何的证明方法是非常关键的。
本文将向中学生介绍几种常见的立体几何证明方法，帮助他们更好地理解和应用这一知识点。
一、基本概念的运用在进行立体几何的证明时，首要任务是掌握基本概念的运用。
例如，在证明两个立体图形相似时，可以运用相似三角形的概念，并结合各个面的对应边长比例关系进行论证。
同样，在证明两个体积相等的立体图形时，可以通过计算体积的公式，利用等式关系进行证明。
掌握并熟练运用基本概念，是进行立体几何证明的基础。
二、平行线的运用在立体几何的证明中，平行线的运用是常见且关键的步骤。
例如，当需要证明一条直线平行于平面时，可以通过寻找与该直线垂直的线段，根据垂直平行线定理得出结论。
同样，在证明两条直线平行时，可以利用平行线的性质，如平行线对角等，结合其他几何图形进行推理。
平行线的运用能够帮助中学生快速得出立体几何的结论。
三、三角形的运用三角形是立体几何中常见的图形，其性质的运用能够在证明中起到重要的作用。
例如，在证明四面体的稳定性时，可以通过构造四面体的高线，证明三角形的内角和为180度，从而得出结论。
同时，在证明两个多面体相等时，可以通过比较多面体的底面三角形，分析其边长和角度的关系，得出结论。
运用三角形的性质有助于中学生进行立体几何的证明。
四、相似与全等的运用相似和全等是立体几何中常见的关系，中学生需要熟悉并掌握这些关系的运用。
例如，在证明两个多面体相似时，可以通过对应角和对应边长的关系进行推理，利用相似三角形的概念得出结论。
同样，在证明两个多面体全等时，可以通过对应的面、边、顶点的关系进行逐一比较，从而得出结论。
相似和全等的运用是进行立体几何证明不可缺少的手段。
五、反证法的运用在某些立体几何的证明中，使用反证法能够起到很好的效果。
例如，在证明平面上两条直线垂直时，可以假设它们不垂直，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明这两条直线垂直。
立体几何证明方法汇总精编WORD版
立体几何证明方法汇总精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。
（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）A 1C _H_G_D_A_B_CEFACDGPAB CDFEABCDEF练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N分别是AB ，PC 中点。
求证：//PAD MN 平面 ③ 如图，已知AB?平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11AB D ．③比例关系例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且NCBN PM BM =,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =,求证：//EM 平面FBC ；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。
立体几何证明题定理推论汇总精编版
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言： 作用：用来证明线线平行。
二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：1如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言： 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何证明方法汇总
① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。
（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
A 1C _ H_ G_ D_ A_ B_ CEFGPABCDFEA B C D EF例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。
求证：//PAD MN 平面PABCDMN③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11AB D ．A BCDEF③比例关系是PB 、BC 上的点，且NCBN PMBM =,例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法在几何学中，立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小、位置和相互关系的分支。
在证明一个立体几何问题时，我们通常需要运用一些常见的证明方法来得出结论。
本文将介绍几种常见的立体几何证明方法。
一、平行四边形面积证明法平行四边形面积证明法是一种常见的证明方法。
对于一个平行四边形，我们可以通过证明它的底边乘以高得到的面积与对角线的乘积相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出平行四边形的底边和高线；2. 证明底边乘以高得到的面积等于对角线的乘积。
可以通过运用三角形的面积公式和勾股定理进行证明。
二、等腰三角形证明法等腰三角形证明法是另一种常见的证明方法。
对于一个等腰三角形，我们可以通过证明其底边上的两个角相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出等腰三角形；2. 证明底边上的两个角相等。
可以通过等腰三角形的定义进行证明，即等腰三角形的两边相等，所以其对应的两个角也相等。
三、垂直证明法垂直证明法是证明两条线垂直的常见方法。
它通常基于垂直线的特性，如垂直线的斜率之积为-1等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两条线段；2. 证明两条线段所在的直线的斜率之积为-1。
可以通过计算两条线段的斜率，然后对其进行运算得出结论。
四、相似三角形证明法相似三角形证明法常用于证明两个或多个三角形之间的相似关系。
它基于相似三角形的一些性质，如对应角相等、对应边成比例等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两个或多个三角形；2. 证明对应角相等或对应边成比例，以确定两个或多个三角形之间的相似关系。
五、共面证明法共面证明法常用于证明多个点是否处于同一个平面上。
它基于共面点的一些性质，如共线的三个点必然共面等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定多个点的坐标或描述；2. 证明这些点共面。
可以通过计算这些点的坐标或应用共线点的条件来证明。
立体几何证明方法总结及经典3例(推荐文档)
立体几何证明方法总结及典例例1：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
线面平行的证明方法：面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。
【例】正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥． 同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则①212121z z y y x x b a ++=⋅；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<夹角公式：.||||cos 2121n n n n ⋅⋅-=θ距离公式：||||||n n AB CD d ⋅== 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P到平面QAD 的距离22PQ d==n n．立体几何证明经典习题平行题目1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.求证：AF//平面PEC；垂直题目3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD向量法解立体几何题目5、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．立体几何证明经典习题答案1、证明：如图，连结AC 交BD 于点O . ∵ABCD 是平行四边形，∴A O =O C.连结O Q ，则O Q 在平面BDQ 内， 且O Q 是△APC 的中位线， ∴PC ∥O Q.∵PC 在平面BDQ 外， ∴PC ∥平面BDQ.2、证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC3、证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． ∵平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交 于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =， ∴CFAB ⊥．∵AD BD =，（等腰三角形三线合一）∴DF AB ⊥． 又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BEAB B =，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、31022c ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=。
【推荐】立体几何证明方法-可编辑
【推荐】立体几何证明方法-可编辑立体几何是一门研究空间物体性质的重要分支,常用来证明各种定理,把立体几何看作是一种抽象的游戏,用几何的概念试图去找寻定理的真相,传布几何的原理和证明方法,为数学发现问题和研究问题提供指引。
立体几何的证明方法主要分为归纳法和证明法。
归纳法是空间几何中最普遍的证明方法，即从少数陈述特定定理的充要条件出发，以各个案例作为归纳依据，以此来逐一证明定理。
证明法是一种从数学发现对某定理进行证明的方法，它依赖已有的定理和定义，以此来证明某定理。
归纳证明法可以应用于多种多样的定理证明，比如外切定理、内共切定理、旋转定理等。
外切定理是一种几何定理，说明在空间直线进行两次旋转，与所考虑的线段的外公限定切，即所有的内角和是360度。
对于外切定理的归纳法来说，首先需要从充要条件出发，依次逐一证明每一个相关案例，最后总结出共同特征，归纳出定理。
证明法可以使用已有定理和定义来证明各种定理，比如叉乘定理、角平分线定理等。
叉乘定理由三元二次方程的结果可以推出，角平分线定理则是由平行线定理，以及三角形共点证明的。
对于叉乘定理，需要从三元二次方程的结果推出，再以外部切点的相关性和内部和为整何的充要条件，最终证明叉乘定理。
角平分线定理可以由平行线定理推出，根据此方程定理可以知道，如果在平行于轴线的另一条线段上延长，则等腰三角形的腰部线段也必然与原来的这一直线平行，这样根据三角形共点证明有角平分线定理，从而完成该定理的证明。
如以上所述，立体几何的证明方法可以分为归纳法和证明法。
归纳法可以用于外切定理、内共切定理等，而证明法可以用于叉乘定理、角平分线定理等。
归纳法和证明法各有优势，并可以相结合，同时也可以在不断地进行思考和研究中学习立体几何定理。
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C 与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
，且AB、CD不共线，5、由向量共线定理，若AB xCD则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b 与平面外的直线a平行，则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
5、向量法，证明两平面的法向量共线。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
立体几何定理的推导与证明方法
立体几何定理的推导与证明方法一、概述立体几何是我们生活中常见的一种几何形式，它涉及到空间中的各种图形的性质和关系。
在立体几何中，有许多重要的定理和性质，这些定理和性质对于我们理解和应用立体几何至关重要。
在本文中，我们将探讨立体几何定理的推导和证明方法，希望能够为读者提供一些启发和帮助。
二、立体几何定理的推导方法1. 利用几何图形的性质在推导立体几何定理时，我们可以利用几何图形的性质来进行推导。
对于一个立体图形，我们可以利用它的各个面的性质和相互关系，来推导出一些定理和性质。
在推导过程中，我们可以通过作图和构造辅助线等方法，来帮助我们理解和推导定理。
2. 利用几何变换的性质在推导立体几何定理时，我们还可以利用几何变换的性质来进行推导。
我们可以通过平移、旋转、镜像等几何变换，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过构造适当的几何变换，来将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而更容易理解和证明定理。
3. 利用解析几何的方法在推导立体几何定理时，我们还可以利用解析几何的方法来进行推导。
我们可以通过引入坐标系和方程等工具，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过求解方程组、计算向量等方法，来证明某个定理或性质的成立。
三、立体几何定理的证明方法1. 利用数学归纳法在证明立体几何定理时，我们可以利用数学归纳法来进行证明。
数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它适用于形式化的推理过程。
通过证明基本情况成立，并假设某个结论对于一个整数成立，来证明该结论对于下一个整数也成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过数学归纳法来推导出某个定理的成立。
2. 利用反证法在证明立体几何定理时，我们可以利用反证法来进行证明。
反证法是一种常用的数学证明方法，它适用于证明某个命题的否定是否成立。
通过假设某个结论不成立，来推导出矛盾的结论，从而证明该结论的成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过反证法来证明某个定理的成立。
立体几何证明方法总结
、线线平行的证明方法1 、利用平行四边形。
2 、利用三角形或梯形的中位线。
3 、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线就与交线平行。
（线面平行的性质定理）4 、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5 、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6 、平行于同一条直线的两条直线平行。
7 、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）二、线面平行的证明方法:1 、定义法:直线与平面没有公共点。
2 、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3 、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法:1 、定义法:两平面没有公共点。
2 、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3 、平行于同一平面的两个平面平行。
4 、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。
5 、垂直于同一直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法:1 、勾股定理。
2 、等腰三角形。
3 、菱形对角线。
圆所对的圆周角就是直角 点在线上的射影 。
如果一条直线与一个平面垂直 ,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。
在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线的射影垂直 ,那么它也与这条斜线垂直 。
（三垂线定理 ,需证明 ） 在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线垂直 ,那么它也与这条斜线的射影垂直 。
（三垂线逆定理 ,需证 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线 ,则另一条也垂直于这条直线 。
线面垂直的证明方法 :定义法 : 直线与平面内任意直线都垂直 。
点在面内的射影 。
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直 ,那么 这条直线垂直于这个平面 。
（线面垂直的判定定理 ） 如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面 。
高中数学立体几何证明方法
高中数学立体几何证明方法类别几何法向量法线线平行b a//1、中位线性质、平行四边形的性质2、平行公理3、线面平行性质4、面面平行性质直线ba//则有：),,(),,,(222111zyxbzyxa==；则有：1、)0(≠=λλba2、λ===212121zzyyxx线线垂直b a⊥1、四边形的性质；2、线面垂直的性质3、面面垂直的性质直线ba⊥则有：),,(),,,(222111zyxbzyxa==；则有：1、0=⋅ba2、0212121=++=⋅zzyyxxba线面平行α//a判定：一内一外一平行：符号：ααα//)(//,ababa⇒⎭⎬⎫⊂⊄核心方法：在已知平面内找一条线与已知直线平行。
直线α//a则有：),,,(111zyxa=；平面α的法向量),,,(cbam=则有：0111=++=⋅∴czbyaxma即ma⊥α//a∴线面垂直α⊥l判定：两内一交两垂直：符号：ααα//,,lblalObaba⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂方法：在已知平面内找两条相交线都与已知直线垂直。
直线α⊥l则有：),,,(111zyxl=；平面α的法向量),,,(cbam=则有：mlλ=∴即ml//α⊥∴l面面平行βα//判定：两内一交两平行：符号：βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂baObaba方法：在一个平面内找两条相交线都与另一个平面平行。
平面βα//则有，平面α的法向量),,(111zyxm=平面β的法向量),,(222zyxn=则有：nmλ=∴即nm//βα//∴面面垂直βα⊥判定：一内一垂直：符号：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂aa方法：在一个平面内找一条相交线都与另一个平面垂直。
平面βα⊥则有，平面α的法向量),,(111zyxm=平面β的法向量),,(222zyxn=则有：0212121=++=⋅∴zzyyxxnmβα⊥∴线线角θ1、平移找角；2、依角找形；3、余弦计算；直线ba、夹角θ：若),,(),,,(222111zyxbzyxa==；则有：baba⋅=θcos理由：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ线面角θ1、斜射成角；2、依角找形；3、余弦计算；直线a平面α夹角θ：若),,(111zyxa=；平面α的法向量),,,(cbam=则有：mama⋅=θsin，θam,90-=[] 90,0∈θ面面角θ方法一：纯几何法：1、垂直找角；2、依角找形；3、余弦计算；方法二：面积射影法:原图射影SS=θcos二面角βα--l则有，平面α的法向量),,(111zyxm=，平面β的法向量),,(222zyxn=则有：nmnm⋅=θcos或nmnm⋅-=θcos理由：[)πθ,0∈且θ与nm,相等或互补。
立体几何常用定理和方法
（2）
a b
b
∥
c
a
b
，（平行不变）；
（3）
a b
a
b
；
2．线面垂直的证明方法： （1）用定义，证明直线与平面内的所有直线都垂直（常体现在反证法中）；
a （2）b
b
b, a c ,c cP
a
；
（3）a
∥
a
；
（4） , a ,a b
b
a
．
3．面面垂直的证明方法： （1）用定义，证明平面角是 90 ；
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
（2）证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直. 6．证明面面垂直的方法： （1）转化为线线垂直、线面垂直来处理； （2）证明两个平面的法向量互相垂直.
五 利用空间向量解决角和距离 1.求异面直线所成角的关键是作出异面直线所成角的平面角，常用的方法有：
A. l
B. l ⊥
C. l ∥
D. l 或 l ∥
2.若两直线 a⊥b，且 a⊥平面，则 b 与的位置关系是
（）
A.相交
B.b∥
C.b
D.b∥，或 b
3.下面各命题中正确的是（
）
A.直线 a，b 异面，a，b ，则∥ ；
C.直线 a⊥b，a⊥，b⊥，则⊥；
B.直线 a∥b，a，b，则∥； D.直线 a，b，∥，则 a，b 异面.
则 H 是 ABC 的外心.其中正确说法的序号依次
是
.
9. 如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AC BC ，点 D 是
AB 的中点，求证：（1） AC BC1
（2）AC 1//平面 CDB1；
数学立体几何的证明方法知识点解析
数学立体几何的证明方法知识点解析数学立体几何作为数学的一个分支，研究的是三维空间中的图形和形体性质。
在学习立体几何的过程中，证明方法是非常重要的一环。
本文将对数学立体几何的证明方法进行详细解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、直接证明法直接证明法是数学证明中最基本、最常用的一种方法。
它通过逻辑推理和严密的推导，从已知条件出发，推出结论，具有简洁明了的特点。
在立体几何中，直接证明法常常用于证明图形的性质和关系，如平行、垂直、相似等。
在进行直接证明时，我们需要运用相关的定理、公理和性质，并合理运用建立的几何模型，通过推理和演算得到证明。
二、间接证明法间接证明法指的是通过反证法证明一个命题的真假。
当我们想要证明一个命题为真时，可以假设它为假，然后通过逻辑推理，推导出一个自相矛盾的结论，从而得出原命题为真。
在立体几何中，间接证明法可以用于证明一些形状的唯一性或者不存在性。
通过巧妙的反设假设，并运用逻辑推理，可以得到具有严密性和说服力的证明。
三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它主要用于证明与自然数有关的命题。
在立体几何中，数学归纳法可以用于证明一些图形的性质或者等式的成立。
首先，我们证明当n=1时命题成立；然后，假设当n=k时命题成立，即我们假设当有k个条件时命题成立；最后，通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时命题也成立。
数学归纳法需要严密的逻辑推理和数学思维，但是一旦证明了某个特定条件下的命题成立，就能推广到所有情况下成立。
四、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设命题的反面为真，推导出自相矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
在立体几何中，反证法通常用于证明一些性质的唯一性或不存在性。
通过反设假设，并运用逻辑推理和演算，我们可以得到具有严密性和说服力的证明。
五、构造法构造法是一种通过构造特定图形或者解决方案，来证明命题成立的方法。
在立体几何中，构造法可以用于证明一些图形的存在性和性质。
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GPABCDF EABC DEF① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC 的中点。
（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BCD D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。
（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。
求证：//PAD MN 平面③ 如图，已知AB ?平面ACD ，DE 求证：AF 1111D C B A O ABCD 证：//1O C 面11AB D ．③比例关系例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB BC 上的点，且NCBNPM BM =,求证：MN ABCD ⊥EA ABCD //EF AB =4,=2,=1AB AE EF Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；E A 1B 1C 1D 1DC BA_ H_ G_ D_ A_ B_ CEFD ABEFMA BCDEF1A 1C 1B E FGACBEBACNDFM④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∠∠︒903P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD AB ==E F G PC PD BCEFG PA 面//P EFG-111ABC A B C -090ACB ∠=,,E F G 11,,AA AC BB 1CG C G⊥(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；3、如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==. 在EC 上找一点M ,使得//BM 平面ADEF ,请确定M点的位置,并给出证明．4、（2012山东文）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .例题： 如图，已知四棱锥ABCD P -。
若底面ABCD 为平行四 边形，E 为PC 的中点，在DE 上取点F ，过AP 和点F 的平面与 平面BDE 的交线为FG ，求证：FG AP //。
证明：连AC 与BD ，设交点为O ，连OE 。
练习：1、如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M ．求证：//AD MN ；2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=2。
AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。
（1）证明：EF ∥A 1D 1；3.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，DABCPMNACB PACBDP M FE AB CD GBE ⊥EC.（1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(面面垂直性质) （2） 点F 在BE 上，若DE BE BF 211111ABCD A B C D -E F G AB AD 11C D 求证：平面1D EF ∥平面BDG .练习：如图所示，在正方体ABCD-1111D C B A 中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H .例题：已知在正方体ABCD-1111D C B A 中，E,F 分别是1111A D D C 和上的点，点P 在正方体外，平面PEF 与正方体相交于AC ，求证：ABCD //平面EF①菱形的对角线互相垂直：例题。
已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于M ，GC垂直于ABCD 所在平面。
求证：EF ⊥平面GMC ．练习：如图ABCD-1111D C B A 是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD ⊥平面A ACC 1 （2）1AC BD ⊥②等腰三角形底边的中线垂直底边例1、 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥；练习：1、在三棱锥A-BCD 中，AB=AC,BD=DC,求证：AD BC ⊥ ③圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥PA 平面ABC ，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PC AH ⊥,且AH 与PC 交于H ，求证：AH ⊥平面PBC.④利用勾股定理例4、在长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点。
求证：AE ⊥平面11A D E ；证明：1111D C B A ABCD -Θ为长方体，练习：如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形，2,1,==⊥PD PA CD PA ,求证：（1）⊥PA 平面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD 的体积.AB CDA1B1C1ACD ABC DD 1C 1B 1A 1E DCBABCDPAPACBHO⑤间接法，用线面垂直的性质定理（b l b b l ⊥⇒⊂⊥α,）例题：如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠60DAB ，ABCD PD AD AB 底面⊥=,2，证明：BD PA ⊥;练习1：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC =3， BC =4，AB =5，14AA =，点D 是AB 的中点。
（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥；练习2： 如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE .求证：BE AE ⊥；证明：因为ABE BC 平面⊥，ABE AE 平面⊂，例1如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .练习1：如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B⊥2、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。
求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .3、如图， ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，BK ⊥SC 于K ，连结DK ，求证（1）平面SBC ⊥平面KBD例1：如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD , O 为AD 中点.，求证:PO ⊥平面ABCD ；例2：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；练习：1、如图AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥PA 平面ABC ，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PC AH⊥,且AH 与PC交于H ，求证：平面PAC ⊥平面PBC.(3) AH ⊥ 平面PBCHsACKDA BCDE FaBD ApA 1B 1C 1D 1ABCDEAP2、在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点. 求证：平面BEF ⊥平面PAD3、如图，正方形ABCD 所在平面与以AB 为直径的半圆O 所在平面B 两点的任一点，求证：○1直线AP ⊥平面PBC 。
②平面PBC 4、如图，三角形ABC 中，AC=BC=AB 22，ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，且，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点，（Ⅰ）求证：GF A B C D ，，，ABC △2AB AC BC ===，ADB AB ADB ⊥ABC CD 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（1）求证：//1BD 平面DE C 1； （2）求三棱锥BC D D 1-的体积.练习1：三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，O D 、分别是AB PB 、的中点．（1）求证：//OD 平面PAC （2）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥A PBC -的体积．2、如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.(I)求证：平面AEA 1⊥平面DE D 1； (II)求三棱锥DE A A 1-的体积.3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，，垂直于底面ABCD PD 底面ABCD是直角梯形，,90,//oBAD AB DC =∠且A BODCABPE4222====PD DC AD AB （单位：cm ），Ｅ为ＰＡ的中点。
（１）如图，若主视方向与ＡＤ平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（２）证明：PBC //平面DE ；4、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是这个几何体的棱11C A 上的中点。