数学建模作业_差分方程

猫头鹰—老鼠种群数量差分方程模型

假定斑点猫头鹰的食物来源是单一的食饵：老鼠.

生态学家希望预测在一个野生了鸟类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平.

令M n表示n年后老鼠的种群量，而O n表示n年后斑点猫头鹰的种群量，生态学家提出了下列模型：

M n+1 = 1.2 M n– 0.001 O n M n

O n+1 = 0.7 O n + 0.002 O n Mn

生态学家想知道在栖息地中两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感.

(a)模型分析：

在该模型中，系数1.2代表了老鼠的繁殖能力，即在没有天敌（栖息地不存在斑点猫头鹰）而资源充足的情况下，模型适用的时间段内老鼠的种群数量将以J曲线的形式指数上涨，增长率是1.2；而系数0.7则代表了斑点猫头鹰的死亡率，即在不存在老鼠的情况下斑点猫头鹰种群量的衰减率.

该模型又假设，两个物种之间相互影响的效果可用两物种相互作用的次数来决定，而相互作用次数又与O n以及M n成正比关系，因此O n M n项及其前面的系数就代表了两物种间相互作用的效果，系数为正号表示两物种相互作用有利于该物种数量的增长，负号则表示不利.

(b)对下表中的初始种群量进行检验并预测其长期行为：

情形A O0 = 150 M0 = 200 持续69年：

情形B O0 = 150 M0 = 300 持续39年：

情形C O0 = 100 M0 = 200 持续96年：

情形C O0 = 100 M0 = 200 持续26年：

(c)系数敏感情况分析：

改变老鼠的繁殖力系数且只对情况B做实验分析，则：

老鼠繁殖力系数持续时间/年

1.4 7

1.6 6

1.8 5

非常敏感

改变猫头鹰死亡率系数且只对情况B做实验分析，则：

猫头鹰死亡率系数持续时间/年

0.7 39

0.5 58

0.3 32

较敏感

改变对老鼠相互作用系数且只对情况B做实验分析，则：

对老鼠相互作用系数持续时间/年

-0.001 39

-0.002 36

-0.003 37

-0.004 42

-0.005 50

不敏感

改变对猫头鹰相互作用系数且只对情况B做实验分析，则：

对猫头鹰相互作用系数持续时间/年

0.002 39

0.003 54

0.004 5

非常敏感