函数单调性与奇偶性综合习题课--讲义练习及答案

函数单调性与奇偶性综合习题课
金题精讲
1.B函数 是R上的奇函数.若 时， .
(1)求 在R上的解析式；
(2)判断函数 在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明.
2.A已知奇函数 的定义域为 ，且 在 上是增函数.
(1)求证：函数 在 上是增函数；
(2)若 ，解关于 的不等式 .
金题精讲
1.B已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以f(x)是偶函数.
(2)f(x)在(0，+∞)上是增函数，在(－∞，0)上是来自百度文库函数
现证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，
设∀ 且
所以 ，
因为当x>1时，f(x)>0，
所以 ，即
所以函数f(x)在(0，+∞)上是增函数；
又因为f(x)是偶函数，根据偶函数的性质可知函数f(x)在(－∞，0)上是减函数.
3.B函数f(x)是奇函数，定义域为R，当x>0时，f(x)=3x+1 .求函数f(x)的解析式.
4.B函数 定义域为R，是否存在函数 ，使得 ，且 是奇函数、 是偶函数.若存在，唯一吗？
满分冲刺
5.C定义在 上的函数满足 ，且当 时， ，则 _________________.
思维拓展
6.C已知函数 是偶函数，定义域为 ，且 .当 时，函数 是减函数.则方程 的根的个数可能是_________个.
金题精讲
7.C已知 ，求证： ．
8.C已知 ，求 的值.
函数单调性与奇偶性综合习题课
参考答案
金题精讲
1.(1) ;
(2)函数 在(0,+∞)上是增函数.
证明： ，不妨设 ，
则 ，即 ，因此函数 在(0,+∞)上
是增函数.
2.（1）证明： ，不妨设 ，则有 ，由 在 上
是增函数，可知， ，又由奇函数知 .
所以，函数 在 上是增函数
（2） .
金题精讲
1.
2.(1)4
(2)令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)在R上单调递增，证明如下
设∀ 且
，
因为当x>0时，f(x)>0，所以 ，
所以函数f(x)在R上单调递增.
(4){x|-3<x<1}
3.(1)证明：令 ，则 ，
①f(x·y)=f(x)+f(y)，②f(2)=1，③当x>1时，f(x)>0，
(1)求证：f(x)为偶函数；
(2)讨论函数的单调性.
1.A证明 是减函数.
金题精讲
2.B一高为H的鱼缸，满缸时水量为V，今不小心将鱼缸底部碰了一个洞，满缸水从洞中流出.设鱼缸中剩余水的体积为 ，剩余水的深度为 ，则 用 表达的函数 的图象可能是（ ）
1.证明：因为 ，所以 ，设任意 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 是减函数.
金题精讲
2.A
3.
4.存在唯一
满分冲刺
5.
思维拓展
6.0，1，2或3
金题精讲
7.证明：设 ，
则 是关于x的一次函数，
所以要证原不等式成立，只需证 ，
因为 ，
所以 ，即 .
8.0
2.B已知函数f(x)定义域为R，满足条件：
①f(1)=2②对一切a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)③当x>0时，f(x)>0
(1)求f(2)；
(2)求证：f(x)是奇函数；
(3)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(4)若f(x2)+f(2x-1)<4，求x的取值范围.
3.B已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，且满足条件：