2012江苏高考数学19题-的几种解法及巧解。

19．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，
2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭
，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF
和直线2BF 平行，2AF 和1BF 交于点P ．
（i ）若126
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
这题难度较大，全省得分率不高，不过并没有像网上说的那样，有多变态。

本题体现了江苏关于分析几何命题的一贯特点，求定值。

这已延续了几年。

值得我们思考。

今年分析几何题一个大的变化时题位后移，难度自然有所增加。

这是否代表今后高考命题的一个方向呢。

还是像09年的使用题那样，只是一个特例，这也值得我们思考。

另外，高考之前，有很多人猜测今年可能考圆。

结果却有些出乎意料。

其实无论考圆还是椭圆，思想方法都是一样的，没必要再这方面纠结。

应该抓住问题的核心，而不是投机取巧。

现在就题论题。

首先看看命题组给出参考答案。

解(1)由题设知a
c
e c b a =+=,222. 由点(1,e)在椭圆上，
得11222
2=+b
a c a 解得12=
b ，于是122-=a
c ，
又点）（23
,e 在椭圆上，所以143222=+b a e ，即143142=+-a a ，解得22=a
因此，所求椭圆的方程是12
22
=+y x .
(2)由(1)知)0,1(),0,1(21F F -,又直线1AF 和2BF 平行,所以可设直线1AF 的
A
B
P
O
1F
2F
x
y
（第19题）
方程为
my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1.设0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11
2
121112my
x y x 得012)2(1212
=--+my y m ,解得2222
21+++=m m m y 故 2
1
)1(2)()1(2
222
12
1212
11++++=
+=++=m m m m y my y x AF ① 同理, 2
1
)1(22222++-+=
m m m m BF ②
(ⅰ)由①②得262
122
221=++=-m m m BF AF 解得22
=m ， 因为0>m ，故2=m ，所以直线1AF 的斜率为
2
2
1=m （ⅱ）因为直线1AF 和2BF 平行,所以
1
2
1AF BF PF PB =,于是1
1
211AF AF BF PF PF PB +=+ 故12
11
1BF BF AF AF PF +=
.由点B 在椭圆上知2221=+BF BF
从而)22(22111BF BF AF AF PF -+=
.同理)22(12
12
2AF BF AF BF PF -+=
因此)22()22(12
12
221121AF BF AF BF BF BF AF AF PF PF -++-+=
+
2
121222BF AF BF AF +⋅-
=
又由①②知2
1
,2)1(2222212
221++=⋅++=+m m BF AF m m BF AF 所以2
23222221=-
=+PF PF .因此21PF PF +是定值.
第一问的难度不大，得分率也很高。

难点是在第问的两题。

命题组给出的答案中规中矩，不过中规中矩中含有智慧。

例如2问中的I ，直线方程设的就比较好，因为过定点，所以设了直线1AF 的方程为my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1，这样就减少
了很多计算量。

而且这和下一问结合的很好。

下面我展示一下我在阅卷时，一位数学功底很好的学生的解法。

代表了很多完成这题考生的解法。

（1）
∵椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，(1)e ，和32e ⎛ ⎝
⎭，都在椭圆上 ∴带入椭圆的方程得：
2
222
22
21131e a b e a b ⎧+=⎪⎪⎪⎨
⎪⎝
⎭⎪+=⎪⎩ 由c
e a
=及222a b c =+解得：
22a =，21b =，21c =
∴椭圆的方程为2
212
x y += （2） （i ）
设直线1AF 的斜率为k ∵直线1AF 和直线2BF 平行 ∴直线2BF 的斜率也为k
∵左、右焦点的坐标分别为1(10)F -，，2(10)F ，
∴直线1AF 的方程为()1y k x =+，直线2BF 的方程为()1y k x =- 设()11A x ,y ，()22B x ,y ，
∵A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点 ∴10y >，20y >
由()22
121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222
21220k y ky k +-+-=，∴212
2221k k y k ++=+ 由()22
121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得()222
21220k y ky k +++-=，∴2222k k k y -++= ∴()()
222222
2
111111222112210y k k k k k AF x y y k k k ++++=
++-=
+== 同理()()
22222
2
2
222222222112210y k k k k k BF x y y k k k ++-++=
-+-=
+== ∵126
AF BF -=
∴222222222222
222122122
212112222122162
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++-+++++++-++=
⎭
+⎫
=⎪
+⎭=
解得：212
k =
∵126AF BF -= ∴12AF BF > ∴0k > ∴2k =
（ii ）
∵直线1AF 直线2BF
∴
2
11
BF PB PF AF = ∴
121
11
PB PF BF AF PF AF ++=
∵11PB PF BF += ∴1
1112
AF PF BF AF BF =
+
∵1222BF BF +=∴()
1
1212
2AF PF BF AF BF =
+
同理()
2
2112
22BF PF AF AF BF =
+
12PF PF + ()()
12
211212
2222AF BF BF AF AF BF AF BF =
+++
12
12
222AF BF AF BF ⋅=+
由（i ）得
(2222122
2112122
2121
k k k k k AF k k k +++++==++， (22
22222
112
12221
k k k k k k BF k k -+++-++==+ ∴12AF BF ⋅
((222222
1121122121k k k k k k ⎛⎛++++ =⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()
()
2
222
2
21121k k k
+-+=
+
()()()
2
22
2
12121k k k ++=
+ 22121k k +=+ 12AF BF +
((222222
1121122121k k k k k k ⎛⎛⎫
++-++ ⎪=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
)2222121
k k +=
+
∴
12
12
2AF BF AF BF ⋅+
()22
22122122121
k k k k ++=
++ 2
22
=
= ∴12PF PF +
12
12222AF BF AF BF ⋅=+
222
= 32
2
=
实际上两种方法的核心是一样的，只是设法不同，这样设法的好处是，思路简单。

如果基础够好的话，这只方法不失为一种好方法。

不过比较而言，繁琐了一些。

在时间紧张的高考，也确实是一种拿分的方法。

实际上第二问中的I 还有巧妙的解法。

极坐标。

这是选修的内容。

在选修的书上有椭圆的极坐标方程。

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ
ρcos 1e ep -=.(
c b c c a p 22=
-=) 我们可设直线1AF 的倾斜角为ө，则1AF =θρcos 1e ep -=
，2BF =1cos ep
e ρθ
=+，由题及
（1）问有，126
2AF BF -=
，解得cos ө=√63
，从而2
2k =
.
我们可以看出，这种解法非常简单。

阅卷过程中，也有考生使用这种方法，令人赞叹。

而
且给分也多。

虽然极坐标是选修内容，单在高考中，还是可以的。

这要求我们拓展思维，开阔视野，广泛学习！。