第2章信息光学------ 二维线性系统分析
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H(f) 1 f
三、线性不变系统的传递函数 例2
-2
-1
0
1
2
H ( f ) rect f 1.5 rect f 1.5
50 F ( f ) 3comb 3 f sinc 50 f sinc 2 ( f ) 3
n d f 3 n
{d ( x x , y h )}dxdh
g ( x, y) { f ( x, y)}
f (x ,h )
输出是输入与 f (x ,h )h( x x , y h )dxdh 脉冲响应函数 的卷积积分。 这也是线性空 不变系统的判 据。
f ( x, y) h( x, y)
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统
推广到二维空间函数 一个二维脉冲函数在输入面上位移时，线性系统的 响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响 应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即：
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h)
这样的系统称为二维线性空不变系统。 线性不变系统 的脉冲响应：
§2-2 二维线性不变系统
一、二维线性时不变系统
d (t)
0
例：时不变(一维)系统 : RC电路
h(t)
t 0 h(t-t) 0 t
d (t-t) t
0
t
t
t
则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随所考察 的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移了，响应也随 之平移同样的时间，即具有平移不变性。
实际物理系统大多可近似为平移不变系统。
......
-25 -3 0 3
......
x
25
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数 例2 1 x x 输入: f ( x) comb rect ( x) 3 50 3 输入 2 F ( f ) 50comb 3 f sinc50 f sinc ( f ) 频谱：
1
1 1 f x F d x d f x 4 d f x 4 75sinc75 f x d f y rect 2 2 7 f x x 1 1 F 75sinc75 f x d f y rect F 75sinc75 f x d f y rect 75 7
脉冲分解
脉冲响应
叠加积分
§2-2 二维线性不变系统
一、二维线性时不变系统 设系统在 t = 0时刻对脉冲的响应为 h(t)，即:
{d(t)}=h (t)
若输入脉冲延迟时间 t ，其响应只有相应的时 间延迟t ，而函数形式不变，即
{d (t - t )}=h (t - t )
则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随 所考察的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移 了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不 变性。
50 n 2 sinc ( f ) sinc50( f ) 3 3 n
G(f) =
F(f ).H(f )
50 n 2 sinc ( f ) sinc50( f ) 3 3 n (n -5, - 4, 4, 5)
G(f)
x
h(x-x ; y-h) y x
光学成像系统在等晕区内是空间不变的。
例
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统 输入输出关系: 空域
f ( x, y) f ( x, y) d ( x, y)
f (x ,h )d ( x x , y h )dxdh
f (x ,h )
{d ( x x , y h )}dxdh
叠 加 积 分
f (x ,h )h( x, y;x ,h )dxdh
只要知道各个脉冲响应函数，系统的输出即为脉 冲响应函数的线性组合。问题是如何求对任意点 的脉冲d (x-x, y- h)的响应h(x, y; xh)
成像光学系统的输出
f x, y
f x ,h d x x , y h dx dh
h x, y;x ,h L d x x , y h
g x, y
f x ,h h x, y; x ,h dx dh
{ }
输出
线性系统具有叠加性质
f1(x, y)
输入
g1(x, y)
输出
{ }
f2(x, y)
g2(x, y)
输入
{ }
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于 单个激励所产生的响应的线性组合。
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§2-1
线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而 改变。 系统的响应性质不会因为输入幅度的改变而改变。 利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数 分解为简单的 “基元”函数的线性组合，则输 出就是这些“基元”函数响应的线性组合。 光学系统可看成二维线性系统 常用“基元”函数有d 函数、复指数函数等等。
第二章 二维线性系统分析
第二章 二维线性系统分析
§2-1 线性系统
一、线性系统的定义
用算符表示系统
输入
输出
g(x, y) =
定义: 如果g1(x, y) =
{f(x, y)}
{ f(x, y)
} g(x, y) {f2(x, y)}
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
若对任意复常数a1， a2有：
50/3
f -2
-1 -2/3 -1/3
0 0 1/3 2/3
1
2
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数 例2 输出频谱： G(f)
50 . 2 n sinc ( f ) = G(f) H(f) sinc50( f ) 3 3 n (n -5, - 4, 4, 5)
50 G ( f ) sinc2 (4 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 4 / 3) d ( f 4 / 3)] 3 50 sinc2 (5 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 5 / 3) d ( f 5 / 3)] 3 G(f)
50/3
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数，则系 统的输出为脉冲响应函数的线性组合。
§2-1 线性系统
二、脉冲响应和叠加积分 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合 根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
f (x ,h)d ( x x , y h)dxdh
{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = {a1 f1 (x, y)} + {a2 f2 (x, y) } = a1 {f1 (x, y)} + a2 {f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
则称该系统为线性系统。
§2-1
输入
线性系统
f
-2
-1 -2/3 -1/3
0 1/3 2/3
1
2
输出频谱：
50 G ( f ) sinc2 (4 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 4 / 3) d ( f 4 / 3)] 3 50 sinc2 (5 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 5 / 3) d ( f 5 / 3)] 3 9 9 8p 10p x 输出：g ( x) 32p 2 cos 3 x 50p 2 cos 3 x rect 50
=
{h(x,y)}
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数
注意 H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.，即h(x,y)的频谱函数 h(x,y)是对d (x,y)函数的响应
d 函数的频谱恒为1，即含有所有频率成
分, 并且各频率成分的权重都相等(=1)。
但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy)
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合。每个位于(x h)的d 函数的权重因子是 f (x h)。
§2-1 线性系统
二、脉冲响应和叠加积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
对于线性系统: g(x, y) = {f(x, y)}
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响 应，即频率响应。
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数
G(fx,fy) = F (fx,fy) • H (fx,fy)
对于给定的系统和输入，F (fx,fy) 和H (fx,fy) 较容易求 出，因此容易由输出的频谱推算出系统的输出，可 避免冗繁的卷积积分求输出的运算。 例1: 已知线性不变系统的脉冲响应为 h(x,y) = 7sinc(7x)d(y) 试用频域方法对输入为 f(x,y) =[1+cos(8px)]rect(x/75)时，求其输出g(x,y)
§2-1 线性系统
二、脉冲响应和叠加积分
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) =
{d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(xh)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; xh) =
{d (x-x, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义：
1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合。
§2-2
二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数
由 g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
两边作F.T.
G(fx,fy) = F (fx,fy) • H (fx,fy)
输出频谱
输入频谱
传递函数
传递函数是脉冲响应函数的.F.T.
H ( f x , f y ) h( x, y) exp[ j 2p ( f x x f y y)]dxdy
h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)
观察点 输入脉冲 坐标 坐标 二个坐标的 相对间距
线性不变系统的输入--输出变换关系不随空间位置变化。
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统 例：
空不变(二维)系统：等晕成像系统
d (x,y)
h(x,y) 晕斑 y
d (x-x ; y-h) (x ;h )
间隔为1/3 窄带谱, 的脉冲阵列 半宽1/50 G(f) 25 包络, 半宽为1
f -2 -1 -2/3 -1/3 0 1/3 2/3 1 2
§2-2 二维线性不变系统
传 递 函 数
f f H ( f ) rect rect 4 2 rect f 1.5 rect f 1.5
§2-2 二维线性不变系统
脉冲响应函数h(x, y ; x h )的求法：
对一般系统而言，脉冲响应函数的形式可能是点 点不同的
例如，设
二、二维线性空不变系统
{d(x)}= h (x)=1
而 则
{d(x-1)}= h (x;1)= exp(-j2px) h (x;1) h (x-1)=1
只有对一类特殊的系统—线性空不变系统， h(x, y; xh)= h(x-x , y-h) 成立，分析可以得到简化。
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数 例1
系统的输入： f(x,y) =[1+cos(8px)]rect(x/75) 脉冲响应： h(x,y) = 7sinc(7x)d(y)
x g x, y F F 1 cos8πx rect F7sinc7 x d y 75 f x 1 F cos8πx 75sinc75 f x d f y rect 1 7
1
§2-2 二维线性不变系统
输入: 三、线性不变系统的传递函数 例2 1 x x f ( x) comb rect ( x) 3 50 3
间隔为3的 脉冲阵列, 基频为1/3 g(x) 1 在有限空间 区域不为零, |x|<25 三角波, 底宽为2
三、线性不变系统的传递函数 例2
-2
-1
0
1
2
H ( f ) rect f 1.5 rect f 1.5
50 F ( f ) 3comb 3 f sinc 50 f sinc 2 ( f ) 3
n d f 3 n
{d ( x x , y h )}dxdh
g ( x, y) { f ( x, y)}
f (x ,h )
输出是输入与 f (x ,h )h( x x , y h )dxdh 脉冲响应函数 的卷积积分。 这也是线性空 不变系统的判 据。
f ( x, y) h( x, y)
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统
推广到二维空间函数 一个二维脉冲函数在输入面上位移时，线性系统的 响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响 应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即：
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h)
这样的系统称为二维线性空不变系统。 线性不变系统 的脉冲响应：
§2-2 二维线性不变系统
一、二维线性时不变系统
d (t)
0
例：时不变(一维)系统 : RC电路
h(t)
t 0 h(t-t) 0 t
d (t-t) t
0
t
t
t
则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随所考察 的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移了，响应也随 之平移同样的时间，即具有平移不变性。
实际物理系统大多可近似为平移不变系统。
......
-25 -3 0 3
......
x
25
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数 例2 1 x x 输入: f ( x) comb rect ( x) 3 50 3 输入 2 F ( f ) 50comb 3 f sinc50 f sinc ( f ) 频谱：
1
1 1 f x F d x d f x 4 d f x 4 75sinc75 f x d f y rect 2 2 7 f x x 1 1 F 75sinc75 f x d f y rect F 75sinc75 f x d f y rect 75 7
脉冲分解
脉冲响应
叠加积分
§2-2 二维线性不变系统
一、二维线性时不变系统 设系统在 t = 0时刻对脉冲的响应为 h(t)，即:
{d(t)}=h (t)
若输入脉冲延迟时间 t ，其响应只有相应的时 间延迟t ，而函数形式不变，即
{d (t - t )}=h (t - t )
则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随 所考察的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移 了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不 变性。
50 n 2 sinc ( f ) sinc50( f ) 3 3 n
G(f) =
F(f ).H(f )
50 n 2 sinc ( f ) sinc50( f ) 3 3 n (n -5, - 4, 4, 5)
G(f)
x
h(x-x ; y-h) y x
光学成像系统在等晕区内是空间不变的。
例
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统 输入输出关系: 空域
f ( x, y) f ( x, y) d ( x, y)
f (x ,h )d ( x x , y h )dxdh
f (x ,h )
{d ( x x , y h )}dxdh
叠 加 积 分
f (x ,h )h( x, y;x ,h )dxdh
只要知道各个脉冲响应函数，系统的输出即为脉 冲响应函数的线性组合。问题是如何求对任意点 的脉冲d (x-x, y- h)的响应h(x, y; xh)
成像光学系统的输出
f x, y
f x ,h d x x , y h dx dh
h x, y;x ,h L d x x , y h
g x, y
f x ,h h x, y; x ,h dx dh
{ }
输出
线性系统具有叠加性质
f1(x, y)
输入
g1(x, y)
输出
{ }
f2(x, y)
g2(x, y)
输入
{ }
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于 单个激励所产生的响应的线性组合。
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§2-1
线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而 改变。 系统的响应性质不会因为输入幅度的改变而改变。 利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数 分解为简单的 “基元”函数的线性组合，则输 出就是这些“基元”函数响应的线性组合。 光学系统可看成二维线性系统 常用“基元”函数有d 函数、复指数函数等等。
第二章 二维线性系统分析
第二章 二维线性系统分析
§2-1 线性系统
一、线性系统的定义
用算符表示系统
输入
输出
g(x, y) =
定义: 如果g1(x, y) =
{f(x, y)}
{ f(x, y)
} g(x, y) {f2(x, y)}
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
若对任意复常数a1， a2有：
50/3
f -2
-1 -2/3 -1/3
0 0 1/3 2/3
1
2
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数 例2 输出频谱： G(f)
50 . 2 n sinc ( f ) = G(f) H(f) sinc50( f ) 3 3 n (n -5, - 4, 4, 5)
50 G ( f ) sinc2 (4 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 4 / 3) d ( f 4 / 3)] 3 50 sinc2 (5 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 5 / 3) d ( f 5 / 3)] 3 G(f)
50/3
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数，则系 统的输出为脉冲响应函数的线性组合。
§2-1 线性系统
二、脉冲响应和叠加积分 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合 根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
f (x ,h)d ( x x , y h)dxdh
{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = {a1 f1 (x, y)} + {a2 f2 (x, y) } = a1 {f1 (x, y)} + a2 {f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
则称该系统为线性系统。
§2-1
输入
线性系统
f
-2
-1 -2/3 -1/3
0 1/3 2/3
1
2
输出频谱：
50 G ( f ) sinc2 (4 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 4 / 3) d ( f 4 / 3)] 3 50 sinc2 (5 / 3)sinc(50 f ) [d ( f 5 / 3) d ( f 5 / 3)] 3 9 9 8p 10p x 输出：g ( x) 32p 2 cos 3 x 50p 2 cos 3 x rect 50
=
{h(x,y)}
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数
注意 H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.，即h(x,y)的频谱函数 h(x,y)是对d (x,y)函数的响应
d 函数的频谱恒为1，即含有所有频率成
分, 并且各频率成分的权重都相等(=1)。
但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy)
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合。每个位于(x h)的d 函数的权重因子是 f (x h)。
§2-1 线性系统
二、脉冲响应和叠加积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
对于线性系统: g(x, y) = {f(x, y)}
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响 应，即频率响应。
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数
G(fx,fy) = F (fx,fy) • H (fx,fy)
对于给定的系统和输入，F (fx,fy) 和H (fx,fy) 较容易求 出，因此容易由输出的频谱推算出系统的输出，可 避免冗繁的卷积积分求输出的运算。 例1: 已知线性不变系统的脉冲响应为 h(x,y) = 7sinc(7x)d(y) 试用频域方法对输入为 f(x,y) =[1+cos(8px)]rect(x/75)时，求其输出g(x,y)
§2-1 线性系统
二、脉冲响应和叠加积分
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) =
{d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(xh)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; xh) =
{d (x-x, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义：
1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合。
§2-2
二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数
由 g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
两边作F.T.
G(fx,fy) = F (fx,fy) • H (fx,fy)
输出频谱
输入频谱
传递函数
传递函数是脉冲响应函数的.F.T.
H ( f x , f y ) h( x, y) exp[ j 2p ( f x x f y y)]dxdy
h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)
观察点 输入脉冲 坐标 坐标 二个坐标的 相对间距
线性不变系统的输入--输出变换关系不随空间位置变化。
§2-2 二维线性不变系统
二、二维线性空不变系统 例：
空不变(二维)系统：等晕成像系统
d (x,y)
h(x,y) 晕斑 y
d (x-x ; y-h) (x ;h )
间隔为1/3 窄带谱, 的脉冲阵列 半宽1/50 G(f) 25 包络, 半宽为1
f -2 -1 -2/3 -1/3 0 1/3 2/3 1 2
§2-2 二维线性不变系统
传 递 函 数
f f H ( f ) rect rect 4 2 rect f 1.5 rect f 1.5
§2-2 二维线性不变系统
脉冲响应函数h(x, y ; x h )的求法：
对一般系统而言，脉冲响应函数的形式可能是点 点不同的
例如，设
二、二维线性空不变系统
{d(x)}= h (x)=1
而 则
{d(x-1)}= h (x;1)= exp(-j2px) h (x;1) h (x-1)=1
只有对一类特殊的系统—线性空不变系统， h(x, y; xh)= h(x-x , y-h) 成立，分析可以得到简化。
§2-2 二维线性不变系统
三、线性不变系统的传递函数 例1
系统的输入： f(x,y) =[1+cos(8px)]rect(x/75) 脉冲响应： h(x,y) = 7sinc(7x)d(y)
x g x, y F F 1 cos8πx rect F7sinc7 x d y 75 f x 1 F cos8πx 75sinc75 f x d f y rect 1 7
1
§2-2 二维线性不变系统
输入: 三、线性不变系统的传递函数 例2 1 x x f ( x) comb rect ( x) 3 50 3
间隔为3的 脉冲阵列, 基频为1/3 g(x) 1 在有限空间 区域不为零, |x|<25 三角波, 底宽为2