应力应变曲线

应力-应变曲线
MA 02139，剑桥
麻省理工学院
材料科学与工程系
David Roylance
2001年8月23日
引言
应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。

所有学习材料力学的学生将经常接触这些曲线。

这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑性材料。

在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力学性能的某些方面有初步的总体了解。

本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer ）编的图集。

这里提到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。

“工程”应力-应变曲线
在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1
了。

进行拉伸试验时，杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。

传感器与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP 的电子读数。

若采用现代的伺服控制试验机，则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(P δ是作为载荷的函数而被监控的。

图1 拉伸试验
在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作e σ和e ε，
它们由测得的载荷和位移值，及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定
0A 0L
1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会(ASTM)作详尽的规定。

金属材料的拉伸试验由ASTM 试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定；复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。

当以应变e ε为自变量、应力e σ为函数绘制图形时，就得到如图2所示的工程应力-应变曲线。

图2 退火的多晶体铜在小应变区的工程应力-应变曲线
（在许多塑性金属中，这一曲线具有典型性）
在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），作为合理的近似，许多材料都服从胡克定律。

于是应力与应变成正比，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作E :
随着应变的增大，许多材料的应力与应变最终都偏离了线性的比例关系，该偏离点称为比例极限。

这种非线性通常与试样中由应力引起的“塑性”流动有关。

在此阶段，材料内部的分子或微观结构重新排列或调整，原子移动到新的平衡位置。

材料呈现塑性的机理是分子的活动性，对晶体材料，分子的活动性可由位错运动引起（在随后的模块中将深入讨论）。

若材料内部的分子缺少这种活动性，例如其内部微观结构会阻碍位错运动，则这种材料通常是脆性而不是塑性的。

脆性材料的应力-应变曲线，在其整个变形范围内都近似为直线，最后试验因断裂而终止，没有明显的塑性流动现象。

在图2中可见，塑性材料的应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。

这些与塑性流动相关的微观结构重新调整通常在卸载后并不能逆转，因此比例极限往往就是材料的弹性极限，或者至少两者很接近。

弹性是指在卸除载荷后、材料完全并立即从强制的变形状态恢复原形的性能，弹性极限是指这样的应力值：当材料达到此应力值后，卸载后仍将保留永久的残余变形。

要确定由给定应力引起的残余变形，可从该应力在应力-应变曲线上达到的最高点，向应变轴画一条卸载直线，此直线的斜率与初始弹性加载直线的斜率相同，直线与应变轴的交点对应的应变值即残余应变值。

产生残余变形的原因是：材料卸载后弹性变形虽然消失，但已没有外力强迫分子结构恢复其初始位置。

与应力-应变曲线密切相关的术语是屈服应力，在这些模块中记作Y σ。

屈服应力是试样产生塑性变形所需的应力。

因为往往很难精确确定开始产生塑性变形时的应力值，故通常取产生特定量的永久应变时（通常为0.2%）的应力为屈服应力。

求“条件屈服应力”的作图过程如图2所示：从应变轴=e ε0.2%处作斜率为E 的直线，这就是会引起特定的永久变形的
卸载线。

此直线与应力-应变曲线交点处的应力即条件屈服应力。

图3所示为铜的工程应力-应变曲线，已按比例放大，该图显示了变形从零开始直至试样断裂的全过程。

由图可见，在到达标为UTS （即拉伸强度极限，在这些模块中记为f σ）的点之前，应变硬化率2
逐渐减少。

过了此点后，材料出现应变软化，对新加的应变的每一增
量只需较小的应力。

图3 退火的多晶体铜完整的工程应力-应变曲线
然而，材料从应变硬化到应变软化这一明显的改变，如同在应力-应变曲线的UTS 点看到的应力极值一样，毕竟是人为的作图过程的产物。

材料在屈服点以后，分子的流动使试样的横截面面积显著减小,因此材料实际承受的应力A A P t /=σ要大于按原始的横截面面积计算的工程应力(0/A P e =σ)。

所加载荷应等于真实应力与实际面积的乘积（A P t σ=），只要应变硬化引起的t σ的增大足以弥补横截面面积的减小，则载荷及相应的工程应力将继续随着应变的增大而上升。

但最终，由流动造成的横截面面积的减小要超过由应变硬化导致的真实应力的增大，于是载荷开始下跌。

这是一种几何效应，如果试验时画出的是真实应力、而不是工程应力的话，应力-应变曲线中将不出现最大值。

A 在拉伸强度极限处，载荷P 的微分为零，由此可给出在颈缩时真实应力与横截面面积之间的解析关系式：
最后的式子表明：当横截面面积的缩减率等于真实应力的增加率时，载荷及相应的工程应力作为应变的函数，都将达到最大值。

在拉伸试验的实验报告中，记录得最多的材料性能可能就是拉伸强度极限。

尽管如此，由于上述几何尺寸的影响，拉伸强度极限并非对材料的直接测量值,应当慎用。

当设计涉及塑性金属时，通常宁愿用屈服应力Y σ，而不用拉伸强度极限。

不过，拉伸强度极限对脆性材料而言还是有效的设计依据，因为脆性材料不会出现因流动而使横截面面积缩减的现象。

2 应变硬化率是应力-应变曲线的斜率，也称为切线模量。

真实应力值在整个试样上并不是完全相同的，试样上总有一些区域（如表面上的划痕或某些其他缺陷）的局部应力最大。

一旦应力达到工程应力-应变曲线上的最大值时，在该部位材料的局部流动无法由进一步的应变硬化来弥补，于是该处的横截面面积进一步缩小。

这使局部应力变得更大，从而进一步加速了材料的流动。

这种局部的不断增加的材料流动很快导致在试样标距内的“颈缩”，如图4所示。

图4 拉伸试样的颈缩
直到颈缩形成，整个试样的变形基本上是均匀的，但在颈缩后，所有随后的变形都在颈缩处发生。

颈缩处变得越来越小，局部真实应力不断地增大，直到试样被拉断。

这就是大部分塑性金属的失效模式。

当颈部收缩时，颈部变化的几何形状使该处的单轴应力状态变成复杂的应力状态——除正应力外，还有切应力分量。

试样最终常以锥杯状的断口断裂，如图5所示。

由图可见，材料的外层是剪切破坏，而内部是拉伸破坏。

当试样断裂时，断裂点的工程应变（记作f ε）将把颈缩区和非颈缩区的变形包括在一起。

由于材料在颈缩区的真实应变大于非颈缩区，f ε值将取决于颈缩区的长度与试样标距的比值。

所以，f ε不仅是材料性能的函数，而且是试样几何形状的函数，因而它只是对材料塑性的粗略测量值。

图5 塑性金属的锥杯状断裂
图6所示为半晶质的热塑性塑料的工程应力-应变曲线，这种材料的响应与图3所示铜的响应很相似。

在图3中，响应显示了比例极限，随后在曲线的应力最大值处发生颈缩现象。

对塑料，通常称此应力的最大值为屈服应力，虽然塑性流动实际上在达到此应变前就已开始了。

但聚合物和铜的响应也有显著区别：聚合物的颈部不会持续收缩到试样被拉断，而是颈
缩区的材料被拉长，直至达到“固有伸长比3”（固有伸长比是温度和试样加工工艺的函数）。

超过固有伸长比后，颈缩处的材料停止伸长，靠近颈缩处的新材料开始颈缩。

于是颈缩区域 不断扩展变长，直至蔓延到试样的整个标距，这一过程称为冷拉。

当拉伸由“六原子小基团”组成的聚乙烯时,不用试验机就可看到这一过程，如图7所示。

3 固有伸长比是冷拉区的长度与同一材料原始长度之比。

——译者注
并非所有聚合物都能持续这一冷拉过程。

颈缩过程使材料的微观结构强化，当其破坏载荷大于使颈缩区外围未变形材料发生颈缩所需的载荷时，才会出现冷拉现象。

下文将对此作进一步的讨论。

图6 聚酰胺（尼龙）热塑性塑料的应力-应变曲线
图7 聚乙烯材料的颈缩和冷拉
“真实”的应力-应变曲线
正如上节所述，超过弹性极限后，由于试样的尺寸与其原始值相比已有明显的改变，对这部分的工程应力-应变曲线必须谨慎地加以诠释。

使用真实应力A P t /=σ、而不是工程应力0/A P e =σ，可以更直接地度量材料在塑性流动范围内的响应。

与真实应力相对应的常用的应变度量方法，则是取应变的增量为位移的增量除以当前的长度：
dL L
通常称此为“真实”应变或“对数”应变。

在屈服及随后的塑性流动期间，材料流动引起的体积改变可忽略不计，因为长度增加的影响被横截面面积的减小抵消了。

在颈缩前，应变沿整个试样长度仍旧是相同的，体积不变的约束条件可写成：
比值称为伸长比，记作0/L L λ。

应用这些关系式，容易导出拉应力和拉应变的真实值与工 程测量值之间的关系（见习题2）：
在应变达到开始颈缩的值之前，应用这些方程，可从工程应力-应变曲线导出真实的应力-应变曲线。

图8重画了图3，并增添了按上述方程算得的真实的应力-应变曲线，以供对照。

图8 铜的工程应力-应变曲线与真实的应力-应变曲线的比较。

箭头
指出了工程曲线上的UTS （拉伸强度极限）在“真实”曲线上的位置。

发生颈缩后，应变在试样的标距内是不均匀的，这时再对更大的工程应变值计算真实的应力-应变曲线就没有多大意义了。

但若在整个拉伸试验过程中，都对颈缩处的横截面面积进行监控，则可画出完整的真实应力-应变曲线。

因为由对数应变可得
图9 用幂律表示铜的塑性应力-应变关系
对塑性材料，其真实的应力-应变关系常可用简单的幂律关系来描述，如下式所示：
根据图8所示的关系，用双对数坐标画出铜的真实应力-应变数据4，如图9所示。

图中，参数
=0.474称为应变硬化参数,通常作为材料抗颈缩能力的度量。

塑性材料在室温下的n 值大致为0.02到0.5。

n “康西特莱（Considere ）作图法”利用真实应力-应变曲线的形状来量化不同材料在颈缩和冷拉过程中的差别。

该法以真实应力t σ为纵坐标、伸长比0/L L =λ为横坐标，重新画出拉伸时的应力-应变曲线。

在此λσ−t 曲线上找到真实应力为任意值t σ的点，过此点和坐标原点（原点处0=λ，不是1=λ）作割线，由式（6）可知，与t σ相对应的工程应力e σ即此割线的斜率。

图10 康西特莱作图法：（a ）真实的应力-应变曲线没有过原点的切线 ——无颈缩或冷拉过程；（b ）有一条过原点的切线——有颈缩而
无冷拉过程；（c ）有两条过原点的切线——有颈缩和冷拉过程。

在真实的应力-应变曲线假设的许多可能形状中，考虑图10所示的向上凹、向下凹和S 形这三种情况。

其区别在于过原点的割线与曲线的切点数，由此产生下述的屈服特性： （a ）无切点：曲线始终向上凹，如图10（a ）所示，因此割线的斜率不断地增大，工程应力
也随之上升，不出现屈服引起的下降阶段。

最终材料断裂，因此真实的应力-应变曲线具有这种形状时，表明材料在屈服前就已断裂。

（b ）只有一个切点：曲线向下凹，如图10（b ）所示。

割线在Y λλ=处与曲线相切，因此
割线的斜率（即工程应力）在切点处开始下降。

切点对应的工程应力就是屈服应力Y σ，它在常规的应力-应变曲线中被看作应力的最大值；Y λ就是屈服时的伸长比。

屈服过程在试样标距内的某个随机位置处开始，并在该位置处持续，不会在其他位置处又出现屈服现象，因为在第一个位置处，割线的斜率已经下降了。

试样现在就在这唯一的位置处流动，抵抗变形的能力不断减弱，最终导致破坏。

诸如铝之类的塑性材料就是以此方式失效的，且可看到在屈服位置的横截面面积明显缩小和最终的断裂。

（c ）有两个切点：对于图10（c ）所示的S形应力-应变曲线，工程应力在伸长比为Y λ时开
4 此处t ε用的百分数应变（如应变为0.05，则百分数为5——译者注），与用实际应变值的情况相比，n 值相同，但A 值不同。

始下降，但随后在d λ时又重新上升。

与上述一个切点的情况类似，当Y λλ=时，某一处的材料开始屈服并产生颈缩，颈缩反过来使试样标距内的应变分布不均匀。

当颈缩处的材料延伸至d λ时，要继续延伸，必须增大该处的工程应力。

但此应力要大于把颈缩区边缘的材料从Y λ拉伸至d λ时所需的应力，因此已在颈缩区的材料停止延伸，颈缩从初始的屈服处向外扩展。

扩展时，仅邻近颈缩区的材料延伸，颈缩区内部的材料保持不变的d λ值（即材料的固有伸长比），颈缩区外部的材料保持不变的Y λ值。

当所有材料都被拉伸为颈缩区后，试样内的应力开始均匀地增大，直至最终发生断裂。

在半结晶聚合物内，冷拉过程之所以能持续进行，是因为材料微观结构的显著变化使应变硬化率不断增加。

最初，这些材料的球晶中，平的薄晶片（厚度多半为10纳米（nm ）左右）在球形范围内呈向外放射状排列。

当产生的应变增加时，球晶首先沿应变方向变形。

当应变进一步增大时，球晶破裂，薄晶片的断片重新排列，分子优先沿拉伸轴的方向取向，形成纤维状的微观结构。

强劲的共价键优先沿承受载荷的方向排成直线，材料的强度和刚度明显高于（可能会提高一个量级）原来的材料。

对于这种微观结构，增加应变需要高得多的应变硬化率，这使真实的应力-应变曲线出现上升趋势并形成第二个切点。

应变能
单位体积的材料变形到某应变值时，所消耗的总机械能就是工程应力-应变曲线下从零到该应变值范围内的面积。

容易证明其值如下式所示：
在分子未发生滑移和其它能量耗散时，此机械能作为应变能可逆地储存在材料内。

当应力足够低、材料的变形仍在弹性范围内时，单位体积的应变能（以下简称应变能密度）就是图11所示的三角形面积：
图11 应变能密度等于应力-应变曲线下的面积
注意：应变能密度的增加与应力或应变成二次方的关系，即随着应变的增加，由给定的应变增量储存的应变能密度的增量是应变的二次方倍。

由此可得出很重要的结论，比如一把好弓不应只是一块弯木而已。

真正的弓最初应是直的，装上弦后才变弯，这就在弓内储存了大量应变能。

当向后拉箭时，弓进一步弯曲，这与仅把弓加工成弯曲形状、无需真正弯弓射箭的情况相比，射箭时的能量要大得多。

图12的示意图表明，若在两个不同的原有应变值上，再加上两个相同的应变增量ε∆，则将产生不同的应变能密度的增量。

应力-应变曲线下从零到屈服点的面积称为回弹模量；从零到断裂点的总面积称为韧性
2
3
模量，如图13所示。

用术语“模量”是因为单位体积应变能的单位为N-m/m或N/m，与应力或弹性模量的单位相同。

术语“回弹”隐含下列概念：直到屈服点以前，应力对材料的影响可以消除，卸载后材料将恢复原形。

但是一旦应变超过屈服点的应变值，则材料的变形是不可逆的，即使卸载后仍会保留一些残余变形。

因而回弹模量反映了材料在不损伤的条件下吸收能量的多少。

与此类似，韧性模量是使材料完全断裂所需要的能量。

抗冲击能力强
的材料通常韧性模量值大。

图12 与应变增量对应的应变能密度的增量
不同材料吸收能量的性能
表1
图13 回弹模量和韧性模量
表15列出了一些常见材料的能量吸收值。

由表可见，对天然材料和聚合物材料，单位重量所吸收的能量值可以非常高。

5 J.E. Gordon, 结构，为何建筑物不再倒塌（Structures, or Why Things Don’t Fall Down）, Plenum, New York, 1978.
在加载时，应力-应变曲线下的面积是材料单位体积吸收的应变能。

反过来，卸载曲线下的面积则是材料单位体积释放的应变能。

在弹性范围内，这两块面积相等，材料不吸收任何能量。

但是，如果材料加载后进入如图14所示的塑性区域，则材料吸收的能量将超过释放的能量，两者之差将以热能的形式耗散。

图14 能量损失等于应力-应变回线包围的面积
压缩
尽管前面的讨论主要只涉及简单拉伸，即只涉及使原子间间距增大的单轴方向加载。

但只要载荷足够小（应力小于比例极限），对许多材料而言，当试样受压而非受拉时，上述的各个关系式同样能很好地适用。

例如，变形和给定载荷间的关系式AE PL =δ完全可像拉伸时一样地应用，不过δ和P 要取负值、以表示受压。

而且，拉伸和压缩时的弹性模量E 可以足够精确地取同一个值，应力-应变曲线也只需简单地将直线延伸到第三象限即可，如图15所示 。

图15 拉伸和压缩时的应力-应变曲线
压缩时的应力-应变试验有一些实际困难。

如果在拉伸试验中，误加了一个极大的载荷（可能是对试验机的设置错误），就算试样被拉断了，也必定可用新试样重做实验。

但在压缩时，失误很易损坏载荷传感器和其他敏感的零部件，因为即使试样破坏后，载荷也未必卸除。

若试样所受的载荷周期性地在拉、压之间变化，而且载荷大到足以产生塑性流动的程度（应力大于屈服应力），则应力-应变曲线中将出现滞后环。

图16中环包围的面积就是在每个加载周期中，单位体积的材料以热能形式释放出来的应变能。

众所周知，将一根铁丝前后弯曲，铁丝的塑性弯曲区就会变得相当热。

试样升高的温度与产生内热的多少、材料内部
的热传导率和试样表面的热对流速率有关。

图16 滞后环
压缩减缓了试样因裂纹而引起的失效，因为在压缩应力状态下，裂纹将闭合而不是张开。

由于这一原因，许多重要材料的压缩强度远高于其拉伸强度。

例如，混凝土有很高的压缩强
度，故广泛应用于以承压为主的建筑结构。

但它基本上没有什么拉伸强度，人行道和建筑物
基础上的裂纹证明：当这些结构下沉时出现了拉应力，而无钢筋的混凝土在很小的拉应变下
就开裂了。

参考文献
1. Boyer, H.F., 应力-应变曲线图集（Atlas of Stress-Strain Curves）, ASM International, Metals Park, Ohio, 1987.
2. Courtney, T.H.,材料的力学行为（Mechanical Behavior of Materials）, McGraw-Hill, New York, 1990.
3. Hayden, H.W., W.G. Moffatt and J. Wulff, 材料的结构和性能（The Structure and Properties
of Materials）:Vol. III 力学行为（Mechanical Behavior）, Wiley, New York, 1965.
习题
1 下图所示为多晶体纯铝的工程应力-应变曲线，此图的数据保存在文件aluminum.txt
内，可输入到电子数据表或其他分析软件中。

对这种材料，试求（a）杨氏模量；（b）0.2%
条件屈服强度；（c）拉伸强度极限（UTS）；（d）回弹模量；（e）韧性模量。

题 1 图
2 推导式（6
）给出的关系式：
3 利用式（6）给出的关系，根据题1提供的数据，画出纯多晶体铝变形至颈缩形成时
的真实应力-应变曲线。

4 像图9那样在双对数坐标轴系中重画上题的结果，以求出式（8）中适用于多晶体纯
铝的参数和。

A n 5 设式（8）中的参数= 800 MPa ，= 0.2,试画出材料在应变A n e ε= 0.4前的工程应
力-应变曲线。

材料是否已发生颈缩？并解释此曲线为什么在变形至颈缩后仍是可信的（或
变成不可信的）。

6 用上题的参数值及条件（d /e σd e ε）neck =
0，求证：颈缩时的工程应变neck e ,ε= 0.221。

7 用康西特莱作图法画出如图10所示的t σ对λ的曲线，以验证上题的结果。

8
弹性材料（如橡胶）的应力-应变关系为
式中，E 为初始的弹性模量。

用康西特莱作图法说明材料是否会出现颈缩或冷拉现象。

9 求证：当真实应变t ε与应变硬化指数相等时，服从式（8）的幂律材料将出现颈
缩现象。

n 10 求证：服从式（8）的幂律材料的拉伸强度极限（开始颈缩时的工程应力值）为
11 求证：应变能d ∫=σU ε可用工程应力-应变值或真实的应力-应变值来计算，所
得的结果相同。

12 求证：服从式（8）的幂律材料出现颈缩现象所需的应变能为。