振动和波

O
x
相邻的李萨如图形初相位差为12°
15
y A1
y A1
y A1
-A2
A2 -A2
A2 -A2
A2
o
x
o
x
o
x
- A1
x :y 2 :1
- A1
x :y 3: 2
- A1
x :y 4 : 3
16
x :y 2:3
x :y 3: 4
相邻的李萨如图形初相位差为12°
17
x :y 3:5
x :y 5:8
0 1
t
3.284
47
（2）低阻尼 0
02 2
r1 i, r2 i
x1 eteit , x2 eteit
新的线性无关解
x1 x2
et et
cost sin t
通解 x A0et cos(t 0 )
初始条件决定 ( A0 ,0 )
48
（3）临界阻尼 0
x (c1 c2t)et
相邻的李萨如图形初相位差为12°
18
§1.6 简谐振动的矢量表述和复数表述
简谐振动的矢量图象法
简谐振动用旋转矢量表示
A2
A A1 A2
x Acos(t ) A
x Ai
x x1 x2 ( A1 A2 ) i
A1
2 1
19
简谐振动的复数表示
x Aei(t0 ) x Aei(t0 ) A cos(t 0 ) iAsin(t 0 )
2
1或2
9
合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。 拍频---只与振幅的大小有关，
例如从零再变到零。
拍 1 2
拍 2 1
拍是一个重要的现象，有许多应用。
10
§1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成
如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向
y
设偏离平衡位置的液柱高度 y
机械能守恒 1 mv2 Sygy C
2
平衡位置 O
两边求导 my 2Sgy 0
分析受力 my 2Syg
y 2 Sg y 0
m
液柱作简谐振动 T 2 m 2Sg
41
例4 半径为 r 的小球在半径为R的半
球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐
振动吗？如果是，求出它的周期。
Key Terms:
mechanical wave transverse wave longitudinal wave wave speed wave length wave function wave equation principle of superposition interference
x
t
5
t t时
o
A
t
x
x Acos(t )
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
6
简谐振动的运动方程 x Acos(t )
x
周期 T 2
A
频率 1/ T
2
角频率
振幅 A
相位 t
初相位
t
7
§1.2 同方向同频率简谐振动的合成
一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动
复数的实部对应真实的振动量 复数表示的优越之处：求导、积分很方便。
20
例 已知简谐振动的角频率ω，并且已测得在某时刻的振动量和
振动速度 t /(2), x a0 0, vx a0
试求振幅和初相位。
简谐振动一般表述 x Acos(t )
代入已知条件
a0 Acos( / 2 ) Asin a0 Asin( / 2 ) Acos
mg
mglOC sin 0
I0
小角度近似 mglOC 0
I0
27
动力学方程 （二阶常系数线性齐次微分方程）
x k x 0 m
y k y 0 m
mglOC 0
I0 虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程
x 02x 0
28
动力学方程及其解 x 02x 0
x 的通解形式为 x Acos(0t 0 )
振子的机械能则保持不变
39
推导
能量守恒
简谐运动方程
E 1 mv2 1 kx2 常量
2
2
d (1 mv2 1 kx2 ) 0
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x k x 0 dt 2 m
40
例 U形管截面面积 S，管中流体的质
y
量 m、密度ρ，求液体振荡周期 T
y
34
由牛顿定律有 GmM e y m d 2 y
R3
dt 2
整理得
d2y dt 2
GM e R3
y0
满足简谐振动微分方程，故为简谐振动
则
2
GMe R3
T 2 2
R3 GM e
84.3min
35
例 复摆
小角度近似 mgrC 0
I0
T 2 I0 ,
mgrC
I0 IC mrC2
destructive interference
constructive interference
振动与波无所不在
振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。
尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。
4
§1 简谐振动的运动学描述
§1.1 运动方程
振动：物体在平衡位置附近的往返运动 简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动
O
rC
C
复摆的等时摆长
l0
I0 mrC
rC
IC mrC
rC
T 2 l0 / g
36
37
38
§2.2 谐振子的能量
动能
Ek
1 2
mx2
1 2
m02 A2
sin2 (0t
0 )
势能
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (0t
0 )
机械能
E
Ek
Ep
1 2
m02 A2
1 2
k A2
振子的动能和势能都随时间周期性地变化，且幅值相同
x y
Ax
Ay
特例3
x y (k 1/ 2)
x2 Ax2
y2 Ay2
1
其它情况为斜椭圆
12
0
4
2
3 4
5 4
3 2
7 4
13
§1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成
当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。
m
At
O
x
线性回复力：力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，
方向指向平衡位置。
动力学方程 mx m2x
x 2x 0
22
例1 两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的点电荷q
Q
a
Qq
Qq
Fx k (a x)2 k (a x)2
Q
Ox a
x a
2
2
Fx
k
Qq a2
1
1
x a
1 1 x
通解中包含两个待定的积分常量， ( A,0 )
它们取决于振动的初始运动状态， (x0 , v0 ) 描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率
29
振幅 A 和初相位φ0 的确定
由振动的初始条件 (x0 , v0 )
t 0
x x
x0 v0
A c os 0 0 Asin
0
A
x02
v02
2
tan 0
a
4k
Qq a3
x
为线性回复力
23
例2 两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力
y
Fy 2k(l l0 ) sin
l
2k1 l0 y
l
2k1
l0 l02
y2
y
l0
l0
k l02
y3
不是线性回复力
24
水平弹簧振子
Fx kx
Fx
k
线性回复力
m百度文库x Fx kx
8
§1.3 同方向不同频率简谐振动的合成
考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动
xx21
A cos(1t A cos( 2t
) )
合振动
x
x1
x2
2Acos 2
1
2
t cos 2
1
2
t
包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子
当两个振动的频率非常接近时
2
1
1 2
解得
A 2a0
tan 1 / 4 or / 4
考虑到 sin a0 / A 0 /4
21
§2 简谐振动的动力学性质
§2.1 动力学方程
匀速圆周运动的质点在直径 x 方向上的分运动是简谐振动
向心力 F心 m 2 A
x 方向上的分力
Fx
F心
i
m 2 x
x Acos(t )
43
从能量的角度分析各类振动 保守系统
无阻尼振动：无能量耗散，亦无能量补充 非保守系统
阻尼振动：有能量耗散，但无能量补充 受迫振动：有能量耗散，但也有能量补充 自激振动：有能量耗散，但也有能量补充
44
§3.1 阻尼振动
当没有外界的能量补充时， 实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。 振幅衰减的原因，一是存在阻尼力
当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段
这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）
14
x、y两垂直方向的简谐振动
x Ax cos(xt x )
y
Ay
cos(yt
y
)
x : y 1: 2 时，对应不同初相位差的李萨如图形
y
x :y 1: 2
低阻尼 在临界阻尼条件下，振动系统回到平衡位置用时最短。
49
§3.2 受迫振动
没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的 激励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。 受迫振动：用周期力驱动的振动。 周期力中简谐策动力最重要： （1）简谐策动力最简单，也最普遍 （2）非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加
二是振动能量以波的形式向周围传播
45
引入阻尼力 保守力
f x x
Fx kx
Fx fx mx
阻尼振动的微分方程 x 2x 02 x 0
阻尼因子
2m
固有频率 0
k m
46
（1）过阻尼 0
x c e c e 2 02 t 1
2 02 t
2
x(t)
v(t)
x
x(t)
x Ax cos(t x )
y
Ay
cos(t
y
)
这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程
x2 Ax2
y2 Ay2
2xy Ax Ax
cos(x
y)
sin
2 (x
y)
为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动
11
特例1
x y 2k
xy Ax Ay
特例2
x y (2k 1)
振动和波
1
Key Terms:
oscillation / vibration equilibrium position cycle amplitude period frequency angular frequency simple harmonic motion (SHM) harmonic oscillator simple pendulum physical pendulum
x1 A1 cos(t 1), x2 A2 cos(t 2 ) 合振动 x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
Acos(t )
合振动的振幅与相位差有关 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
32
33
例题 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质 点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期
证明：如图，在极坐标系中质点m在r
处受力为
Gm r 3
F
r2
( R3
M e )er
GmM e R3
rer
y
r
R o0
建立oy坐标系，则
Fy
F sin
GmM R3
e
r sin
GmM R3
e
v0
0 x0
φ0所在的象限则由sinφ0 或cosφ0 的符号确定
30
弹簧振子 0
固有频率ω0
k
0
2
3
0
0
m
单摆 复摆
0 0
g l mglOC
IO
任一振动系统的固有频率 由振子的固有参量决定，与初始条件无关。
31
An object of mass m is connected to two fixed surfaces by four identical springs, as shown above. The springs are of negligible mass and have spring constant k. The period of vertical oscillation is
O
x
mx kx
动力学方程
x k x 0 m
25
竖直弹簧振子
mg kl
合力： Fy mg k(l y) ky my
动力学方程 y k y 0 m
O
平
衡
y
位 置
26
复摆（刚体摆）
O
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
C
M z mglOC sin Lz I0
mglOC sin I0
设小球质心速度vC，角速度ω
机械能守恒 其中
两边对t求导
mg(R
r)(1 cos )
1 2
mvC2
1 2
IC 2
E0
IC
2 5
mr 2
vC (R r) r vC
5g sin 0
7(R r)
小角度时的周期 T 2 2 7(R r)
5g
42
§3 阻尼振动 受迫振动
振动的分类 自由振动阻无尼阻振尼动振:动回: 复回性复保性守保力守力阻场尼中力的振动 受迫振动：回复性保守力+阻尼力+周期性策动力 自激振动: 回复性保守力+阻尼力+单向策动力