系统的状态变量分析

道 iL (t)和 vC (t)的初始情况和加入激励 x(t)的情况，即可完全确立系统的全部行为。这种描述系
统的方法就称为系统的状态变量分析法，其中 iL (t)和 vC (t)称为该系统的状态变量。
对于一个动态系统，其状态是表示该系统的一组数目最少的数据，只要知道 t = t0 时的这 组数据和 t ≥ t0 时的系统输入就能完全确定系统在 t ≥ t0 的任何时间的行为。这组数据就称为系 统在 t = t0 时刻的状态。能够表示系统状态随时间ｔ变化的变量称为状态变量。系统状态变量 的数目就是系统的阶次。或者说，系统状态变量的数目就是系统独立储能元件的数目。应当指
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
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(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
表现为一阶联立差分方程组的形式，类似于连续时间系统，可以写出离散系统的状态方程和输
R + x(t) −
L
+
C
vc(t)
−
图 8-1 二阶动态系统
用状态变量法来研究系统的特点是，不仅研究系统输出的变化情况，还要研究系统内部状
态变量（state variable）的变化。现仍以图8-1为例来说明。如果感兴趣的不仅是电容上的电压
vC(t)，而且还希望知道在激励x(t)作用下，电感中电流iL(t)的变化情况，这时可以列出方程组
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
+ c1nλn (t) + d11x1(t) + d12 x2 (t) + + c2nλn (t) + d21x1(t) + d22 x2 (t) +
+ crnλn (t) + dr1x1(t) + dr2 x2 (t) +
+ d1m xm (t) + d2m xm (t)
+ drm xm (t)
（8-5）
(t)
=
ω02 x(t)
（8-1）
来描述，其中α = R/2L , ω 0 = 1/ LC 一般地，对于单输入单输出系统，输入-输出描述法的数
学模型是一个高阶微分方程；而对于多输入多输出系统的数 学模型则是一组高阶联立微分方程。一旦系统数学模型建立 之后,就不再关心其内部变量的变化情况，只对其响应变化感 兴趣。这是端口描述法的特点。
x(t) = [x1 (t )，x2 (t )，… , x m (t )]T , y(t) = [y1( t )，y2 ( t )，… , yr( t )]T ,
⎡ a11 a12
A=
⎢ ⎢
a21
a22
⎢
⎢⎢⎣an1 an2
a1n ⎤
a2n
⎥ ⎥
,
⎥
ann ⎥⎥⎦
⎡b11 b12 B = ⎢⎢b21 b22
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
d dt d dt
iL (t) vC (t)
= =
−
R L
iL
(t)
−
1 L
vC
(t)
1 C
iL
(t
)
+
0
⋅
x(t
)
+
1 L
x(t)
（8-2）
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系统的响应y(t)是电容上电压vC(t)，于是有
y(t) = vC (t ) + 0 ⋅ x (t)
(8-3)
式(8-2)是以 iL (t)和 vC (t)作为变量的一阶联立微分方程组。对于图 8-1 的二阶动态系统，只要知
8.1 系统的状态变量和状态方程
系统的输入-输出描述法，着眼点仅在于系统的响应与激励之间的关系。例如图8-1所示的 串联谐振电路构成的二阶动态系统，如果只关心其激励x(t)与响应——电容两端电压vC(t)之间 的关系，则该系统可用二阶微分方程
d2 dt 2
vC
(t)
+
2α
d dt
vC
(t)
+ ω02vC
8.2 连续时间系统状态方程的建立
对于状态变量分析来说，当给定一个系统之后，关键是如何正确地建立系统的状态方 程。 建立状态方程的方法大致可分为直接法（direct method）和间接法(indirect method)两种。直接 编写法是根据给定的网络直接列写出状态方程和输出方程。间接编写法是根据系统的输入- 输 出方程、系统函数或系统的信号流图列写状态方程和输出方程。
第 8 章 系统的状态变量分析
前面 7 章分别从时域和变换域两个方面讨论了线性时不变系统的输入和输出特性，即求一 个系统对于某一激励信号的响应，系统的这种描述方法称之为端口分析法（port analysis），或 称之为输入-输出描述法（input-output analysis），它只研究系统输出与输入之间的外部特性， 而不关心与系统内部情况有关的各种问题。系统的这种描述方法比较适用于单输入单输出系统 （single-input and single-output system），而对于多输入多输出系统(multi-input and multi-output system)以及更加复杂的系统，则难以用此方法进行描述。另外，随着现代控制理论的发展，人 们不仅关心系统外部输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量也要进行研究，以便设计 和控制这些变量达到最优控制的目的。这就需要引入以系统内部变量为基础的状态变量分析法 (state variable analysis)。状态变量分析法可以给出系统内部状态的变化情况，尤其适合于多输 入多输出系统，并适宜用计算机求解，还可以推广到非线性和时变系统。本章就是讨论连续时 间系统和离散时间系统的状态变量分析法，着重研究如何建立它们的状态方程和输出方程以及 应用变换域方法求解相应的方程。
出，不是任何一个系统都存在状态变量，譬如一个纯电阻网络，它任何时刻的响应仅仅取决于
该时刻的激励，而与电阻过去时刻无关，这种即时系统（无记忆系统 memoryless system）不能
用状态变量法分析。状态变量法只适用于动态系统（有记忆系统 memory system)。
式(8-2)形式的一阶联立微分方程组称为状态方程(state equation)，它描述了系统状态变量
(1) 确定状态变量的个数，它等于独立的储能元件的个数，即独立电感和电容个数之和； (2) 选择状态变量，一般选择流过电感的电流iL (t)和电容两端电压vC (t)作为状态变量； (3) 微分方程的编写，它是依据网络约束条件即KVL和KCL建立电路方程； (4) 消去非状态变量，运算化简成状态方程的标准形式，并写成矢量矩阵形式。 需要指出的是，所选择的状态变量应该是互相独立的即线性无关的。 例如图8-2(a)是只含电容的回路，显然，根据KVL，图中任何一个电容电压都能由其余两 个电容电压求得，也就是说其三个电容中只有两个电容是相互独立的储能元件，因而只能选择 两个电容电压作为状态变量。同样对于图8-2(b), 它是只含有电容和理想电压源的回路，因而 两个电容电压中只能选择其中之一作为状态变量。图8-3(a)和(b)是只含自感的节点(割集) 和只 含自感和理想电流源的节点(割集)。图(a)中任一电感电流都能由其余两个电流求得，也就是说 它们三个电感不是互相独立的储能元件，因而在它们中只能选两个电感电流作为状态 变量；对于图(b)中两个电感电流只能选其中之一作为状态变量。总之，系统状态变量的数目 与系统独立记忆(储能)元件的数目是相等的。
建立状态方程的一般步骤包括：（1）确定状态变量的个数，它等于系统的阶数；（2）选 择状态变量；（3）列写状态变量的一阶微分方程（或一阶差分方程）组，（4）对（3）中的 方程组进行化简，并写成标准的矢量矩阵的状态方程形式。
8.2.1 网络状态方程的直观编写
根据上述步骤，对给定的网络(或电路)图建立状态方程时，首先必须确定电路中包含的储 能元件（因为无记忆电路不能应用状态变量分析法），如电容、电感等。从而上述的4个步骤 具体化为：
其中，λ 1 (t)，λ 2 (t)，…，λ n (t)为系统的n个状态变量；
λ i (t) 为第
i
个状态变量
λ
i
(
t
)的一阶导数，即
λi
(t)
=
dλi (t) dt
,
x1(t)，x2(t)，…，xm(t) 为系统的m个输入信号；
i = 1, 2,…, n ；
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y1(t)，y2(t)，…，yr(t)为系统的r个输出信号。 如果用矢量矩阵(vector-matrix)形式表示，则状态方程可写成
（8-8）
y [n] = Cλ [n] + Dx[n]
（8-9）
其中
λ [n] = [λ1[n]，λ 2 [n]，…，λ k [n]]T x[n] = [x1[n]，x2[n]，…，xm[n]] T y [n] =[ y1[n]，y2[n]，…，yr[n]] T
分别是状态矢量、输入矢量（input vector）和输出矢量（output vector）。系数矩阵A B C D 的
⎢ ⎢⎢⎣bn1 bn2
b1m ⎤
b2m
⎥ ⎥
,
⎥
bnm ⎥⎥⎦
⎡c11 c12
c1n ⎤
C = ⎢⎢c21 c22
c2n
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎢⎣
cr1
cr 2
crn
⎥ ⎥⎦
⎡ d11 d12
D=
⎢ ⎢
d
21
d22
⎢
⎢ ⎢⎣
dr1
dr2
d1m ⎤
d
2m
⎥ ⎥
⎥
d
rm
⎥ ⎥⎦
系数矩阵A、B、C、D表示系统的结构参数。对于线性时不变系统，它们都是常量矩阵
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
方程一般具有如式（8-4）和式（8-5）的形式：
⎧⎪⎪⎨λλ21((tt))
= =
a11λ1(t) + a21λ1(t) +
a12λ2 a22λ2
(t) (t)
+ +
⎪
⎪⎩λn (t) = an1λ1(t) + an2λ2 (t) +
+ a1nλn (t) + b11x1(t) + b12 x2 (t) + + a2nλn (t) + b21x1(t) + b22 x2 (t) +
出方程的一般形式。
对于一个有m个输入x1[n]，x2[n]，…，xm[n]，r个输出y1[n]，y2[n]，…，yr[n]的 k 阶线性时 不变离散时间系统，若将其k个状态变量记为λ1[n]，λ2[n]，…，λk[n]，则其状态方程和输出方 程可以写成
λ [n + 1] = Aλ [n] + Bx[n]
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
+ annλn (t) + bn1x1(t) + bn2 x2 (t) +
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
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⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出