《 等腰三角形》 (第3课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】

第一章三角形的证明

1.1 等腰三角形

第3课时

一、教学目标

1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.

2．经历探索等腰三角形判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理.

3．通过实例体会反证法的含义.

二、教学重点及难点

重点：等腰三角形的判定定理．

难点：等腰三角形的判定定理的证明．

三、教学用具

多媒体课件、直尺或三角板．

四、相关资源

微课，知识卡片图片.

五、教学过程

【情境导入】

一支探险队（A队）在沙漠中遇险，两支救援队(B队、C队）收到探险队发送的求救信号，同样的速度同时出发，展开求援。通过测量，知道∠B＝∠C，那么哪支救援队能先赶到探险队所在地展开救援呢？

设计意图：通过实例，激发学生探究的兴趣，使枯燥的数学课堂变得生动有趣，也使学生真正理解“数学来源于生活又服务于生活”的道理．

【探究新知】

1．思考：前面我们证明了等腰三角形的两底角相等．反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．

求证：AB=AC．

要想证明AB =AC ，只要构成两个全等的三角形，使AB 和AC 成为对应边就可以了，如何构造全等三角形？

引导学生作辅助线：作BC 边上的高AD 或作∠BAC 的平分线AD ，然后证明△ABD ≌△ACD ．

证法1：如图，过点A 作BC 的垂线，垂足为D ． ∵ AC ⊥BC ，

∴∠ADB =∠ADC =90°． ∵∠B =∠C ，AD =AD ． ∴△ABD ≌△ACD (AAS)．

∴AB =AC （全等三角形的对应边相等）．

证法2：如图，作∠BAC 的平分线,交BC 于点D ． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠CAD ． ∵∠B =∠C ，AD =AD ． ∴△ABD ≌△ACD (AAS)．

∴AB =AC （全等三角形的对应边相等）． 归纳等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 注意：

（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰

C

B

A

D

C

B

A

三角形．

（3）判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系．

设计意图：引导学生养成“反过来”思考的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径，同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫．

学生在证明时，可能会作BC 的中线，或作∠A 的平分线，或作BC 边上的高线.培养学生推理能力，体会从基本事实和已知定理出发进行推理的公理化思想.

2．想一想

小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

小明是这样想的：

证明：如图，在△ABC 中，已知∠B ≠∠C ，此时AB 与AC 要么相等，要么不相等． 假设AB ＝AC ，那么根据 “等边对等角”定理可得∠B ＝∠C ，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此AB ≠AC ．

你能理解他的推理过程吗？

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

◆反证法的一般步骤是： （1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

设计意图：让学生体会证明的必要性，通过实例了解反证法的含义．反证法属于间接证明方法，是从反面思考问题的证明方法，所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”(在同一思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是

C

B

A

逻辑思维中的“矛盾律”；两个相互矛盾的判断不能同时都假，这就是逻辑思维中的“排中律”）.

【典例精析】

例1．已知，如图，AB =DC ，BD =CA ，BD 与CA 相交于点E ． 求证：△AED 是等腰三角形．

证明：∵AB =DC ，BD =CA ，AD =DA ， ∴△ABD ≌△DCA (SSS)．

∴∠ADB ＝∠DAC （全等三角形的对应角相等）． ∴AE =DE (等角对等边) ． ∴△AED 是等腰三角形．

设计意图：本题综合应用了全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．

例2．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：△ABC

求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个角是直角．

证明：假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A 和∠B 是直角，即∠A ＝90°，∠B ＝90°．

于是∠A +∠B +∠C =90°+90°+∠C ＞180°．

这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角．

设计意图：本题应用了反证法，在解答过程中，引导学生分析解决问题． 【课堂练习】

1．下列命题是假命题的是（ ）

A ．有两个内角是70°与40°的三角形是等腰三角形

B ．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

E

D

C

B

A