高中数学必修1复习讲座第八讲抽象函数与复合函数

学8高中数学必修1复习讲座第八讲抽象函数与复合函数1 1、函数不等式问题：
例1：已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围
例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

练习
1、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，
求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

2、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当
时，。

（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。

3、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中
的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。

（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。

4. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。

（1）判断f(x)的单调性；
（2）设，
，若，试确定a的取值范围。

5．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅
（Ⅰ）求)1(f 的值；
（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围。

2．复合函数大致图象问题 例3
函数
x x
x x e e y e e
--+=-的图像大致为
( ).
例4．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）
A
D
y=f(x)
o
y
x
y=g(x)
o
y
x
o
y
x
o
y
x o
y
x o
y
x
A B C D
练习
1、函数y＝
x3
3x－1
的图象大致是()
2已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()
3已知函数y＝
|x2－1|
x－1
的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧2
x，x≥2，
x－13，x<2.
若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是
________．
5、若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x2＋4x＋1，x<0，
2
e x，x≥0，
则f(x)的“友好点对”有________个．
习题
1．（2014·福建卷）若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()
2．（2014·湖北卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，
f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤－16，16
B.⎣⎡⎦⎤－66，66
C.⎣⎡⎦⎤－13，13
D.⎣⎡⎦⎤－33
，33 3．（2014·山东卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A. ⎝⎛⎭⎫0，12
B. ⎝⎛⎭
⎫1
2，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 4．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
A B C D
5．已知函数f (x )＝4
|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有
( )． A ．2对
B ．5对
C ．6对
D ．无数对
6．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝
⎛⎭⎫0，
22，B ⎝⎛⎭
⎫2
2，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )．
7．函数＝ln 1
|2x－3|
的大致图象为(如图所示) ()．
8．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a的值为________．9．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
10．讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．
11．已知函数f(x)＝
x
1＋x
.
(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．
12．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．
13．设函数f (x )＝x ＋1
x (x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称的图象为C 2，C 2对应的函
数为g (x )．
(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；
(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．。