上海市复旦附中2019-2020学年高三下学期数学综合练习试卷(含答案)

复旦附中高三数学综合练习 51
2020.04
一. 选择题
1.设 m∈R 且 m≠0，“不等式 m + 4 > 4 ”成立的一个充分不必要条件是( ) m
A. m>0
B.m>1
2.命题:“若 x2 = 1, 则 x=1”的逆否命题为( )
C.m>2
D.m≥2
A.若 x≠1,则 x≠1 或 x≠-1
B.若 x≠1,则 x=1 或 x=-1
6.如图,已知圆锥的侧面积为 15π，底面半径 OA 和 OB 互相垂直,且 OA=3, P 是母线 BS 的中点。 （1）求圆锥的体积； （2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
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7.已知函数 f (x=) sin ω x(cosω x − 3 sin ω x) + 3 (ω >0)的最小正周期为 π .
C
:
y
=
tan θ
( θ 为参数)的两个顶点之间的距离为____
(6)若从一副 52 张的扑克牌中随机抽取 2 张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是 K 的概率为____(结果用最 简分数表示)
(7)以椭圆 C : x2 + y2 = 1 在 x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为____ 54
M、N,若 A、B 两点纵坐标之差的绝对值 | yA − yB |= a(a > 0) ，求 S AMD 和 S BND ； (3)请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛= 物线 y2 2 px ( p > 0 )与弦 AB 围成的“弓形”的面积，并
求出相应面积.
10. 已知数列{an}是无穷数列，满足 lg an+1 = | lg an − lg an−1 | (n = 2,3,4,...) . (1= )若 a1 2= , a2 3, 求 a3、a4、a5 的值; (2)求证:“数列{an}中存在 ak (k ∈ N *) 使得 lg ak = 0 ”是“数列{an}中有无数多项是 1”的充要条件; (3)求证:存在正整数 k,使得1 ≤ ak < 2.
B. m 不可能等于 3
C. m 不可能等于 4
D.以上三个答案都不正确
4.若曲线|y|=x+2 与曲线 C： x2 + y2 = 1 恰有两个不同交点,则 λ 的取值范围为( ) 4λ 4
A. (-∞,-1]∪(1,+∞)
B. (-∞,-1]
C. (1,+∞)
D. [-1,0)∪(1,+∞)
二.解答题
x
(3)把 y= f(x)的图像向左平移 2 个单位，再向上平移 8 个单位,得到 y= g(x)的图像,过坐标原点 O 作 OM、ON
分别交 y= g(x)的图像于 M、N 两点,直线 MN 交 y 轴于点 Q(0, y0 ), 当∠MON 为锐角时,求 y0 的取值范围.
9.给出定理:在圆锥曲线中，AB 是抛物= 线 Γ: y2 2 px ( p > 0) )的一条弦，C 是 AB 的中点，过点 C 且平
5. (1)计算: lim(1+ 1 )3 = ____
n→∞
n
(2) 函= 数 y
log
2
(1
−
1 x
)
的定义域为____
π
(3)若
<α
<π,
sinα =3 , 则 tan α = ___
2
5
2
(4)若复数 z= (1+1)i2 (i 表示虚数单位)，则 z = ___
x = s cotθ
(5)
曲线
2
2
(1)求 ω 的值;
(2)求函数 f(x)的单调递减区间.
8.已知 O 为坐标原点, OA = (2,1), OB =(1,7), O=C (5,1),O=D xOA= , y DB ⋅ DC.
(1)求 y= f(x)的解析式;
y
(2) 若点 P(x,y)在曲线 y= f(x)上运动,当 1≤x≤2 时,求 的最小值;
求 S ADB ； (2)已知 AB 是抛物线 Γ: y2 = 2 px ( p>0)的一条弦，C 是 AB 的中点,过点 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线的
交点为 D，E、F 分别为 AD 和 BD 的中点,过 E、F 且平行于 x 轴的直线与抛物线Γ y2 = 2 px ( p>0)分别交于点
C.若 x≠1,则 x≠1 且 x≠-1
D.若 x≠1,则 x=1 且 x=-1
3.已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,平面 α 与该正四面体的面有公共点,对于实数 d∈(0,1),记正四面体 ABCD
的四个顶点中到平面 α 的距离等于 d 的点的个数为 m,那么下列结论中正确的是()
A. m 不可能等于 2
小值为____
(10)已知函数 f (= x) x, g(= x) ax2 − x ，其中 a>0,若对任何 x1 ∈[1, 2], 都存在 x2 ∈[1, 2], 使得
f (x1) f (x2 ) = g(x1)g(x2 ) 成立，则 a=____
(11)已知向量
a、b
满足
|
a
|=|
b
|=
a
⋅
b
行于 x 轴的直线与抛物线的交点为 D,若 A、B 两点纵坐标之差的绝对值| yA − yB |= a(a > 0) ，则△ADB 的面积
S ADB
=
a3 16 p
, 试运用上述定理求解以下各题:
(1)若 p=2, AB 所在直线的方程为 y=2x-4, C 是 AB 的中点,过 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线Γ的交点为 D,
=
2,
且
(a
−
c)
⋅
(b
−
c)
=0, 则
|
2b
−
c
|
的最小值为____
(12)设 M 为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项 a1 = 1, 前 n 项的和为 Sn , 已知对任意整数 k∈M，当 n>k
时， Sn+k + Sn−k = 2(Sn + Sk ) 都成立，设 M ={3,4},则数列{an}的通项公式为____
(8)在平面直角坐标系 xOy 中, A(1,0), C(2,1), B(3,0), 点 P(x,y)为△ABC 内的点(包括边界)，则点 P 坐标满足的 线性约束条件为______(用不等式组表示)
(9)函数 f (= x) aex + be−x (a∈R, b∈R)，已知 f(x)的最小值为 4,则点(a,b)到直线 2x + y − 2 =0 距离的最