数学简约之美

数学太奇妙了，简约之中无处不透露着美！！！
自然对数e的由来：它是一个数列的极限，当n趋向于无穷大时，[（1/n）＋1]的n次方，这一数列的值趋向于e，也就是2.71828……。

它是一个无理数。

同样的，圆周率pi也是一个数列的极限，写出来太复杂了一点。

当年祖冲之的圆周率就是就逼近法求得的。

数学上最重要的五个数，分别是自然对数e, 圆周率 pi，虚数单位i（根号下-1）， 0和1。

这五个数正好能组成一个公式：e的（i*pi）次方，再加上1等于0。

这个公式体现了数学的内在美，是公认的最完美的公式。

太神奇了，自然界有如此多的巧合，唯独这是最美丽的
看起来风牛马不相及的事物，竟然有如此美妙的联系。

太美妙了
关于pi的计算，以前写过一个C语言程序，能算到一百万位，
/kalcaddle/blog/item/13870f10eb8e8b18b9127b52.htm l
下面是几篇别人的具体分析，
Fibonacci数列和黄金分割（让人难以置信，竟然还有有如此联系）
关于黄金分割的引入我听说过两种，一种是比较直接的定义：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

这个比值就是黄金分割数。

它等于(根号5-1)/2，约等于0.618.
另一种引入就是所谓的黄金矩形。

一个矩形的两边之比是1:∮，以这个矩形的短边为边在原矩形内部做一个正方形，剩下的矩形部分两边之比还是1:∮，这样的过程可以无限进行下去。

这种矩形就叫做黄金矩形。

这个比值就是黄金分割数。

欧几里得是这么构造黄金矩形的：
如图，先作正方形ABCD，取AC中点E，设AE=EC=x。

那么BE就等于：
然后构造EF也等于这个长度。

完成这个矩形CFGD，这里
∮的倒数就是黄金分割数。

今天才知道，原来黄金分割数和Fibonacci数列还有关系。

初学编程的朋友一定熟悉Fibonacci数列，因为用递归和非递归算法列出Fibonacci数列的前N项几乎是所有Programmer都经历过的过程。

1、1、
2、
3、5、8、13、21、3
4、5
5、89、144…
它的特点是数列中的每一项都是前两项的和（前两项是初始的给定值），即F(n+2) = F(n+1) + F(n) ，如果拿数列中的第N项去比上第N＋1项，得到的数就非常接近黄金分割数，比如13/21=0.61904761904762…，并且N取的越大，这个值
就越接近0.618…于是我就想，会不会它的极限就是黄金分割数，也就是数列
的极限。

要想求出这个极限，就先要求出通项公式F(n)，这是个很麻烦的事情，我构造了两个新数列才求出来，结果是
一个看起来像是无理数的式子，但n取任何正整数时它都是整数。

这样就可以求F(n)/F(n+1)的极限了，结果就是(根号5-1)/2！
Fibonacci数列和黄金分割看似两个毫无关联的东西，其中却有着内在的联系。

在这里我们又看到了数学的魅力。

欧拉的自然对数底公式
（欧拉，又译为尤拉）
e是(1+1/x)的x次方当x趋向于正无穷时的极限.
（大约等于2.71828的自然对数的底———e）
欧拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包
含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。

数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。

欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。

欧拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。

只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。

但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

我们现在习以为常的数学符号很多都是欧拉所发明介绍的，例如：函数符号
f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等。

高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。

”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。

”
这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情！
相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。

有人甚
至认为：欧拉取自己名字的第一个字母作为自然对数。

而欧拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。

自然对数e
又称“双曲对数”。

以超越数 [fc(]e＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋… ＝2 71828…[fc)] 为底的对数。

用记号“l n”表示。

有自然对数表可查。

当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。

它是个无限不循环小数。

其值约等于2.718281828...
它用e表示
以e为底数的对数通常用于㏑
而且e还是一个超越数
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。

以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……
螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：
φkρ=αe
其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。

为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。

因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。

“自然律”之美
“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。

e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：
(1+1/x)^x
当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究
(1+1/x)^x
X的X次方，当X趋近无穷时的极限。

正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。

熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。

退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。

这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。

如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。

任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。

新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。

正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。

因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。

e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。

“自然律”的形象表达是螺线。

螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。

对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各?伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。

伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。

事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。

为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？
我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。

化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。

这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。

让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。

这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。

谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。

有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。

人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！
有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。

有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。

这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。

正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。

（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）
圆周率π的计算历程
韩雪涛
圆周率是一个极其驰名的数。

从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。

作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。

仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。

事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。

回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。

π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。

德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。

”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。

为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。

我们可以将这一计算历程分为几个阶段。

实验时期
通过实验对π值进行估算，这是计算π的的第一阶段。

这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。

在古代世界，实际上长期使用π＝3这个数值。

最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。

这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。

其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。

在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。

我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。

在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。

这正反映了早期人们对圆周率π和√2 这两个无理数的粗略估计。

东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。

后人称之为“古率”。

早期的人们还使用了其它的粗糙方法。

如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。

或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。

如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。

在印度，公元前六世纪，曾取π= √10 = 3.162。

在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。

刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。

为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。

现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，
3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。

人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。

几何法时期
凭直观推测或实物度量，来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。

他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把π的值精确到任意精度的方法。

由此，开创了圆周率计算的第二阶段。

圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此2√2 ＜π＜ 4 。

当然，这是一个差劲透顶的例子。

据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。

阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中。

在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定π的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。

重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。

到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出π＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。

割圆术。

不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。

在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。

公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出π＝3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。

虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。

割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。

另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π＝3927/1250 ＝3.1416。

而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。

这种精加工方法的效果是奇妙的。

这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。

恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。

对此，《隋书?律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。

以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。

密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。

约率，圆径七，周二十二。

”
这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。

其一是求得圆周率
3.1415926 ＜π＜ 3.1415927
其二是，得到π的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。

他算出的π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。

以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。

这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。

因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。

后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。

祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。

这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。

中国发行的祖冲之纪念邮票
祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……
对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示π这一点，通常人们不会太注意。

然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。

密率与π的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。

数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近π的分数。

在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。

可见，密率的提出是一件很不简单的事情。

人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注。

由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。

后人对此进行了各种猜测。

让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息。

1573年，德国人奥托得出这一结果。

他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结
果377／120用类似于加成法“合成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113。

1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜π＜
377/120，用两者作为π的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。

两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。

在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。

他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。

其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。

钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法。

他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是(157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率。

钱先生说：“冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。

”
另一种推测是：使用连分数法。

由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。

于是有人提出祖冲之可能是在求得盈二数之后，再使用这个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…
最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。

至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。

你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。

英国李约瑟博士持这一观点。

他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说：“密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。

”
我国再回过头来看一下国外所取得的成果。

1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π= 3927/1250 = 3.1416。

1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝
805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π值，他的结果是：π＝3.14159265358979325
有十七位准确数字。

这是国外第一次打破祖冲之的记录。

16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算π近似值，用6×216正边形，推算出精确到9位小数的π值。

他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。

17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。

他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。

为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率π被称为“鲁道夫数”。

但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。

到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。

17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃。