最新高一数学预科班第一次课
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第一节集合的含义与关系
知识点:(1)集合:某些指定的集在一起就成为一个集合.常用大写字母A、B、C 等来表示.
(2)常用的数集及记法:
①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合.记作.
②正整数集:非负整数集内排除0的集合.记作
③整数集:全体整数的集合.记作
④有理数集:全体有理数的集合.记作
⑤实数集:全体实数的集合.记作
(3)元素及元素与集合的关系:
元素:集合中的每个叫做这个集合的元素.常用小写字母a,b,c,……来表示.如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A,否则a A.
(4)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号“{}”内,元素与元素之间用“,”分开,这样的表示方法叫列举法.
(5)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法.
(6)有限集:含有有限个元素的集合叫有限集.
(7)无限集:含有无限个元素的集合叫无限集.
(8)集合中的元素必须具有三大特性“”.
①:是指集合中的元素必须是确定的,即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素,二者必居其一.如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性,故0.001是否属于这个集合不能判断,所以这不能组成一个集合.
②:是指集合中的元素互不相同,即同一个集合中不能出现同一个元素两次,如:{1,0,a2}表示一个集合,则a≠±1.
③:集合中的元素无先后顺序,如{1,2}与{2,1}是同一个集合.
二、集合间的基本关系
1 子集:对于集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于
集合B,或集合B包含集合A,记作:A B(或B A),图1—1所示表示:
这时我们也说集合A是集合B的子集.
2 集合的相等:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素.我们说集合A等于集合B,记作:A=B.
即对于集合A,B,如果A B,同时B A,那么A=B.
3.真子集:对于两个集合A与B,如果A B,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集,记
作A B(或B A).
4.空集是
5 知识拓宽
含有n 个元素的集合有几个子集?
问:∈与⊆的区别是什么?
[例1]若A ={a ,b };B ={x |x ∈A },则集合A 与集合B 的关系是( )
A .
B ⊆A B .B A
C .B ∈A
D .B ∉A
[例2]已知A ={x|x <-1或x >2},B ={x|4x +p <0},当A ⊇B 时,求实数p 的取值范围.
答案:p ≥4
[例3]下列集合中表示空集的是( )
A .{x ∈R|x +5=5}
B .{x ∈R|x +5>5}
C .{x ∈R|x 2=0}
D .{x ∈R|x 2+x +1=0}
一、选择题
1.在“①很大的有理数;②方程x 2+1=0的实数根;③直角坐标平面的第二象限的一些点;④所有等腰直角三角形”中,能够表示成集合的是
A .②
B .②③④
C .②④
D .①②③④
答案C 提示:因为“大”“一些”没有具体的界线.
2.方程组⎩
⎨⎧=-=+13y x y x 的解集是 A .{2,1} B .{x =2,y =1} C .{(2,1)} D .{(x ,y)|(2,1)}
答案D 提示:因为⎩⎨⎧=-=+1y x 3y x 的解为⎩⎨⎧==1y 2x 写成集合的形式为{(x ,y)|(2,1)}.
3.下列四个关系式中,正确的是
A .集合N 中最小元素为1
B .0.7∈Q
C .{a }∈{a ,b }
D .{a }∈a
答案B
4.下列各题中的M 与P 表示同一个集合的是
A .M ={(1,-3)} P ={(-3,1)}
B .M ={3,4} P ={(3,4)}
C .M ={y |y =x 2+1,x ∈R } P ={(x ,y)|y =x 2+1,x ∈R }
D .M ={y |y =x 2+1,x ∈R } P ={t |t =(y -1)2+1,y ∈R }
答案D 提示:因为(1,-3)与(-3,1)是不同的点,而C 中M 是数集,P 是点集.
二、填空题
5.设21∈{x |x 2-ax -25
=0},则a =_________.
答案-29 提示:由题意知21是x 2-ax -25=0的一个根,所以,252
141--a =0,所以a =-29
6.设A ={x |x =2k ,k ∈Z },B ={x |x =2k -1,k ∈Z },C ={x |x =4k +1,k ∈Z },a ∈A ,b ∈B ,则a +b ∈_________.填(A 或B 或C)
答案B 提示:因为A 是偶数集,B 是奇数集.∴a +b 是奇数.即a +b ∈B .
7.{n |5n
是整数,|n |≤20}=_________.
答案 提示:{n |5n
是整数,|n |≤20}={-20,-15,-10,-5,0,5,10,15,20}
三、解答题
8.若-3∈{a 2-2a -3,2a 2-a -4,a 2+1},求实数a 的值构成的集合.
答案解:∵-3∈{a 2-2a -3,2a 2-a -4,a 2+1}.
∴a 2-2a -3=-3或2a 2-a -4=-3.
∴a =0,2,1,-21
.
经检验a =0,2,1,-21
均合题意.
∴a 的值构成的集合为{0,2,1,-21
}.
【同步达纲练习】
一、选择题
1.下列关系不正确的是
A .R ⊆Q
B .R ⊇Z
C .N ⊆N
D .Z ⊆Q
2.设集合A ={x |x ≤10},a =3,则
A .a A
B .a ∉A
C .{a }∈A
D .{a } A
3.设M ={x |x >}
31,则①0⊆M ,②∅⊆M ,③{0}M ,④{31}M ,其中正确命题的个数是