基于结构稳定性分析的创意平板折叠桌

m ——考虑轴心力和横向弯矩共同作用的折减系数；
m ——设计弯矩在构件内产生的最大弯曲正应力；
c ——设计轴力 N 在构件内产生的压应力。
m ， c 的值由下列公式确定：
m
M Wn
（9）
7
c
式中：
M ——弯矩设计值；
N A0
（10）
Wn ——构件横截面在弯矩作用平面内的抗弯截面模量。
六、问题二求解
6．1 模型背景 通过材料力学中的无限自由度稳定性分析，我们进行了桌子腿截面设计，选取受力 最小时的腿长；进而通过欧拉荷载研究了桌子腿与压力的关系，通过位移函数研究变形 与钢筋位置的关系。 6．2 截面设计 6.2.1 稳定条件控制 压弯构件（包括偏心受压构件）是木结构工程中常见的基本构件，在弯矩作用平面 内，其截面的设计由下列稳定条件控制（即截面尺寸的设计公式） [2] ：
2
三、模型的假设
假设一：桌腿木条与桌面的铰接(合页)机构的间隙不作考虑。即认为当桌子收起来时， 类圆形的桌面和桌腿木条之间不存在空隙； 假设二：桌子是家用普通桌，放置的重物为普通物品，放置的地面环境为一般城市家庭 环境，有木板地面、大理石瓷砖地面或水泥地面； 假设三：桌腿木条的旋转完全是铰接点旋转的，不会发生侧向扭转和侧向弯曲，且桌腿 木条的刚度是足够的； 假设四：考虑到加工和组装时的公差，认为每一个桌腿木条之间存在间隙，且间隙是一 个固定不变的数值； 假设五：桌腿四根最外侧的木条受力均匀且与地面接触充分。
（6）
Fra Baidu bibliotek
插值拟合计算出桌脚边缘位置方程的系数 a 4.53 ， b 0.27 ， c 12 ；方程次数 为 n1 1 ， n2 2 ， n3 1 。 最后由各个桌腿的方程求得的坐标点确定了桌脚边缘曲线。边缘曲线如图 5 所示：
图 5 桌脚边缘曲线 5.5 桌脚边缘曲线连续变化 我们通过不同角度下计算得到桌角位置数据， 得到桌脚边缘曲线连续变化三维曲面 图
cos x r x x y2 z2
2
（5）
用各桌腿的方程和已知数据确定了各桌腿空间位置方程（方程系数数值见附录 2） ， 运用插值拟合算法得到了工作时桌子腿面的三维曲面图。
图 4 工作时桌子腿组成的曲面
5
设该桌腿边缘位置方程为：
axn1 by n 2 cz n3 0
将（9） ， （10）代入（7）式，有
M m 1 / f m (1 W n
6.2.2 圆木压弯构件的截面设计公式 [3]
N ) A0 f c
2
（11）
由于木材的抗弯性能相对钢材较差，因此我们用大柔度进行截面设计。在设计的过 程中我们发现了圆截面比矩形截面承受压力的能力强，故我们对其进行圆截面设计，计 算截面直径 d ，可认为矩形截面的长和宽为 d 。 6.2.3 大柔度压弯构件的设计公式 以圆截面直径 d 作为设计变量，对该类树种的大柔度构件有：
二、问题分析
问题一：在研究折叠桌确切圆的半径时，我们假设两种情况，即圆与已知平板内切 和圆与已知平板近似外接，但这两种情况圆的半径均不符合已知设计要求，通过建立合 适的方程， 我们在圆环的内侧寻找到最佳的半径变化范围， 并在合理范围内选合适半径。 利用割线位置的变化依次对圆进行割取，分别得到割线确切长度 ，因此求得每根桌腿 木条的长度，通过钢筋在不同状态下在卡槽内的位置不同以确定卡槽的长度。对于桌边 缘线的描绘我们以最外侧桌腿木条中点（钢筋点位置）为坐标原点建立坐标系 ，并确 定钢筋穿过位置的坐标点和桌腿顶端坐标点， 通过各个桌腿与各坐标轴的方向夹角确定 了各个桌腿的方程，经计算得出桌腿下端点坐标，最终确定桌脚边缘曲线。 问题二：在研究给定桌高和桌面直径的情形下，为了确定最优设计加工参数。首先 对桌腿截面进行设计，从文献中得到圆截面的抗压强度大于矩形截面的抗压能力，因此 利用圆木压弯截面设计公式求得截面大小 。对于桌腿长度的确定，假设桌腿受力连续 且均匀，固我们把桌腿看成一个连续体系统，即可看为无限自由度结构，通过已知参数 和数据建立了桌腿的稳定方程组，通过相应计算求得合适桌腿长度的范围，并利用桌腿 承受载荷时位移的变化建立的二阶线性微分方程，求得每个桌腿的位移增加量 ，确定 出钢筋在每根桌腿上的确切位置。对于其他加工参数可利用模型一解决方案一一解出。 问题三：首先是对模型二的推广与实际应用效果检验。对于客户任意设定的折叠桌 高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线，通常桌的高度能够清晰明确给出，我们将 客户所给的折叠桌高度、桌面边缘线的形状具体代数化，并询问用户其他设计要求。利 用客户所给条件带到模型二中得到初步加工模型， 并通过调整钢筋位置和桌腿与地面夹 角得出边缘曲线形状，然后建立实物三维图，通过客户对三维图形的满意程度对参数进 行修改。最终达到客户的满意和设计的合理。对于 8 张图片动态变化，我们可通过模型 二将设计优化改变，便得到自己设计的创意拼板折叠桌。
四、符号说明
符号 符号说明 一半的割线长度 半径的变化范围 内力弯矩 长板总长 圆木压弯构件的截面 构件柔度 欧拉荷载
x
z
M
l
d

pz
五、问题一求解
5.1 桌面半径的确定 假设圆内切于长方形平板和外接于长方形平板， 但这两种假设条件下计算结果无法 满足桌子的高度，割线长度大小影响已知桌腿长度，假设模型如图 1 所示.
2 ai2 b2 j c 2b j c cos
（4）
ai ——第 i 个桌腿顶端到卡槽底端长度
b j ——第 j 根桌腿腿长
i 1, 2,
, 21
j 1, 2,
, 21 , 20
c ——第 个余端长度 1, 2,
当平板长方形处于原始状态时，钢筋处于卡槽的最高处。当折叠成工作状态时，钢 筋处于卡槽的最低处（不考虑钢筋与卡槽间扭矩力） ，将两者做差值，我们便得到各个
1
一、问题重述
创意平板折叠桌 [1] 更注重于表达木质品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功 能性。这种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿由若干根木条组成，分成两组，分别用两 根钢筋贯穿两侧的木条，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木 条有空槽以保证滑动的自由度。使两者只需提起木板的两侧，便可以在重力的作用下达 到自动升起的效果，桌子外形由直纹曲面构成，造型美观，相互对称的木条宛如下垂的 桌布。 建立数学模型解决以下问题： 1、已知长方形平板的长为 120cm，宽为 50cm，厚度为 3cm，每根木条的宽为 2.5cm， 折叠后桌子的高度为 53cm，且连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。 建立数学模型描述折叠桌的动态变化过程，并对折叠桌的设计加工参数（桌腿木条开槽 的长度）和桌脚边缘线进行数学描述。 2、对于平板折叠桌的设计要达到稳固性好、加工方便和用材最少等特性，此次设 计要求为桌高 70cm，桌面直径为 80cm，进行讨论长方形平板材料和平板尺寸、钢筋位 置以及开槽长度等最优设计加工参数。 3、根据客户对折叠桌的桌高，尺寸大小，边缘线形状等的要求，某公司计划开发 一种设计软件，来达到客户的要求。由此给出这一设计软件的数学模型，设计出几个不 同的创意平板折叠桌，写出其设计加工参数，并画出至少 8 张动态变化过程示意图。
图 1 桌面切割示意图 而在圆环范围内存在我们想要的理想半径， 因此我们在圆环范围内寻找最佳的且最 合适的圆半径的变化范围，并且建立恰当的计算公式：
3
120 2 x 50 2
（1） （2）
x2 z 50 2 z z
整理（1） （2）得到:
z 2 50 z 100 0
图 5-1 桌脚边缘曲线连续变化图
6
利用桌角位置数据，我们拟合得到桌脚边缘曲线连续变化的曲面方程如下：
8.67 x2 0.34 y 2 34.19 z 3.45xy 7.83yz 0
5.6 模型评价 在模型求解过程中我们做出了每条桌子腿的空间曲线方程，求得桌腿边缘坐标，通 过插值拟合到了空间方程，但在拟合的过程中难免会造成一些误差，给模型的精度带来 了影响。
（3）
计算得到：
z (0,1.9258]
因此合理的圆的半径如图 2 虚线圆所示，且割线长度可在 x 范围内适当变化。
图 2 桌面最优半径范围分布 当我们得到合理圆盘直径时，将圆盘依次进行割取得到相应的割线长度 2 x ，利用 公式（1） ，分别求出各桌腿长度。桌腿摆动的角度影响着桌腿木条开槽长度和桌脚边缘 线。 5.2 桌腿长度和钢筋位置的计算 我们利用已知第一根桌腿长度与第一个余端长度以及夹角， 运用三者间存在的余弦 定理，得到第二根桌腿顶端到卡槽底端长度，并求出第二根桌腿顶端到卡槽底端长度与 第一个余端长度之间的夹角，即可依次求得各桌腿顶端到卡槽底端长度
N fc
2
m A0
（7）
m 1 m / f m (1 c ) fc
（8）
式中： N ——轴心压力设计值； A0 ——构件横截面面积；
f c ——木材顺纹抗压强度设计值； f m ——木材抗弯强度设计值；
——轴心受压构件稳定系数，其值取决于木材的强度等级及构件的柔度；
5.3 桌腿底端边缘方程建立 对于桌脚边缘线的描绘我们以最外侧桌腿木条中点（钢筋点位置）为坐标原点建立 坐标系 0 xyz ，坐标系如图 3 所示：
图 3 桌子正视图与右视图 利用已知参数求得每根木条钢筋位置的坐标点，以及桌腿木条顶端端点坐标点，具 体坐标点见附录 1。将两坐标点对应作差求出向量，利用各方向余弦夹角与向量的模确 定该向量的空间位置。方向余弦公式如下：
B题
创意平板折叠桌 摘 要
本文对创意平板折叠桌的设计问题，应用木结构截面设计原则，欧拉荷载，位移方 程和无限自由度结构稳定性分析，针对不同情况的具体问题，分别建立了相应的数学模 型，给出了合理的平板折叠桌设计参数。 问题一：首先通过建立不等式方程确定桌面圆半径的最佳变化范围 (0,1.9258]，运 用桌面圆与桌腿的交点得到桌面圆的每个割线长度， 利用割线长度和板长确定出相应桌 腿长度。然后利用钢筋在桌腿折叠过程中的不同状态下的卡槽内的位置确定卡槽的长 度。其次以最外侧桌腿木条中点（钢筋固定点位置）为坐标原点，建立坐标系并确定出 钢筋穿过每根桌腿位置的坐标和桌腿顶端坐标，得到每根桌腿的空间直线方程。最后给 出桌腿下端坐标，得到桌脚边缘曲线方程、桌子外形直纹曲面、桌脚边缘连续变化曲面 以及边缘连续变化曲面方程。 问题二： 考虑到创意平板折叠桌稳固性， 首先运用材料力学中木结构截面设计原则， 结合轴心压力、木材抗压强度、弯矩设计值和惯性矩得出截面直径与腿长的关系，然后 用欧拉荷载、位移方程和无限自由度结构稳定性分析得到腿长与荷载的关系、钢筋位置 与桌腿变形大小的关系，最后代入桌高 70cm,桌面直径 80cm，得到截面直径最优参数 d 4 cm、钢筋位置（腿低端到钢筋）最优参数为 s 38 cm、板长最优参数 a 192.87 cm、 桌腿与地面夹角最优参数 62.45 和槽口长度等。 问题三：运用问题二提出的方法进行改进，让角度设计参数和钢筋位置设计参数根 据客户要求重复调整，直到客户满意为止。为了验证模型的正确性，我们运用 MATLAB 画出了桌面为椭圆和菱形的动态折叠图，选取了其中各八张图片进行了分析，结果证实 了模型的正确性。 最后，对文中所建模型进行了深刻探讨，并对文中所建模型进行了评价，同时给出 了圆形、椭圆和菱形桌面设计参数，进一步讨论平板折叠桌的改进。 关键词：钢筋位置；木结构截面设计；欧拉荷载；稳定性分析
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腿长合理的卡槽长度。卡槽长度见表 1： 表 1 各条桌腿的槽口长度
槽口 N1 长度 0 槽口 N12 长度 13.88 N2 7.06 N13 13.34 N3 9.07 N14 12.41 N4 10.5 N15 11.09 N5 11.58 N16 9.32 N6 12.4 N17 7.04 N7 13.03 N18 4.13 N8 13.5 N19 0.39 N9 13.81 N20 0.25 N10 14 N21 0 N11 14.06