高级微观经济学_最优化

f(x̃)≥0(SONC)
2020/7/5
实用文档
28
定理2.9 实值函数局部内点最优化的一阶必要条件
如果可微函数f(x)在点x*处达到了一个局部内点极大值 或极小值,那么,x*为f (如x *下) 联= 0立方程组的解:
x1
f (x*) = 0 x 2
f (x*) = 0 xn
2020/7/5
i
f
j.
x y
2020/7/5
实用文档
7
设e
=
cosi
sinj 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f =f cosf sin={f ,f}{co ,s in}
z x
y
x y
= gr ( x ,y a ) e d = |gfr(x a ,y )d |cfo , s
其中
=
(gradf ( x,
由于f是二次连续可微的,它足以在D内建立定理.连续性将
关注边界点.因此,xintD与zRn.设C={tRx+tzR},并
设对于所有tC,g(t)=f(x+tz).注意g承袭f的二次连续可微
性.
根据A2.3
现在,设1成立,f是凹的. g在C是也是凹的
根据A2.1
g(t)≤0,t C
(P.1)
根据P.1
i =1
对右边的式子微分,fi(x+tz)关于t的导数正好是fi在 x+tz点沿z方向导数—它可以写成
n
å fij (x tz)z j
j=1
给此式的每个单zi， 项并 乘i将 个 以项相加得：
nn
åå g(t)=
zi fij(xtz)zj
i=1 j=1
此式可以改写为 g(t)=zTH (xt)zz
问题 :函数在 P沿 点哪一方向增最 加快 ?的速
定义 设函数 z = f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 P( x, y) D，
都可定出一个向量 f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z = f ( x, y)在点 P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) = f
，表示劳动和资本在产出中的贡献额度
2020/7/5
实用文档
19
Q=ALK
LnQ = LnA LnL LnK
dQ = dL dK
Q
L
K
即： Q = L K
Q
L
K
Q 为产出增长率 Q
L 为劳动增长率 L K 为资本增长率 K 1
2020/7/5
，表示劳动和资本 在产出中的贡献额度
两边同除以 , 得到
2020/7/5
实用文档
5
f ( x x ,y y ) f ( x ,y ) = f x f y o () x y
故有方向导数
f = z
f(x x,y y)f(x,y)
lim
0
=fcosfsin .
x
y
2020/7/5
实用文档
6
梯度的概念
f(tx)=tkf(x).
2020/7/5
实用文档
26
最优化
A2.2
定理A2.8 单变量情形中局部内点最优化的 必要条件
设f(x)是一个二次可微的单变量函数,那么f(x)将 会获得一个局部内点最优值. 1.在 x*处有最大值f´(x)=0(FONC)
f(x)≤0(SONC) 2.在 x*处有最小值f´(x)̃ =0(FONC)
1.f是凹的. 2.对于D中的所有x,H(X)是负正定的. 3.对于一切x0D,f(x)≤f(x0)+ f(x0)(x-x0) ,xD. 此外,
4.如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹的.
2020/7/5
实用文档
15
定理A2.4证明
为充分利用这些结论,我们计算g和f的一阶和二阶导数
2020/7/5
实用文档
10
定理A2.2 杨格定理
对于二次连续可微函数f(x)
梯度取梯度=海赛矩阵
2f(x) =2f(x),i, j xixj xji
f 11(x),f 12(x),...,f 1n(x)
H(x)
= f 2 1(x ), f 2 2(x ), ... ,f 2 n( x)
fn1(x),fn2(x),...,fnn(x)
用t除两边得到:
f(x)t =tk f(x)
xi
xi
f(x) =tk1 f(x)
xi
xi
对于i=1,…,n,并且t>0,证明完毕.
2020/7/5
实用文档
23
定理A2.7 欧拉定理
当且仅当如下式子成立，f (x)是k次齐次性的：
å kf (x) = n f (x) xi, 对所有x
i=1 xi
欧拉定理证明:定义t的函数是十分有用的,g(t)f(tx),固定x ,对t微分,有
的.
2020/7/5
实用文档
y
l0
l1
x
0
x
x
0
图A2.3 曲率与二阶导
数
3
y
l
A2.1.2 多变量函数
令 y = f ( x1,... xn), f关于 xi的偏导数可以定义为：
¶f (x) ¶xi
= lim
f ( x1,...,
xi + h,.. xn) h
f ( x1,... xn)
设 z = z( z1,... zn)的方向偏离点 x， f的值将会
• P
y
• •
x
P
o
x
由 f ( x)开始发生怎样的变化。
设函数为：
g(t) = f ( x + tz)，这里定义 t Î R.
t = 0时， g(t) = f ( x)
n
å g (0 ) = fi( x ) zi
i =1
右边项便是f在x点处沿z方向上的方向导数。
g´(0)= f(x)z
偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率 我们还必须要研究沿某一方向的导数,这就 是方向导数
g(t)≤g(t0)+ g(t0)(t-t0) t0,t C (P.2) g(t)= f(x+tz)z (P.3)
为充分利用这些结论,我们计算g和f的一阶和二阶导数
2020/7/5
实用文档
16
为计算g(t),最简单的方法是将g(t)写成
n
å g = Ñf (x tz) = fi (x tz)zi
在t=1时:
2020/7/5
å g(t)
=
n i=1
f (tx) xi
xi
å g(1)
=
n i=1
f (x) x实i 用x文i 档
(p.2)
(p.3)
24
证明必要性
设f(x)是k次齐次,使得对一切t>0与任何x, f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我们有g(t)= tkf(x),求微分, g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1处取值.我们得到 g(1)=kf(x).利用(P.3),得到
dd[tt kg (t)= ]t k 1 [tg (t) k(tg )].
从(p.6)来看,它的导数必为零,因此,我们可以得出这样结论, 即对于一些常数c,t-kg(t)=c.为找到c,在t=1处求值并注意到 g(1)=c.利用定义( P.1),得到c=f(x).我们知道,g(t)=tkf(x). 再次把( P.1)代入,我们得到,对于所有x,则有
证明1:设f是一个凹函数.令xD且z Rn,我们要证明 g(t)=f(x+tz)在C=tRx+tzD上是凹的.
即要证明: g(αt0+(1-α)t1)≥αg(t0)+(1-α)g(t1)
2020/7/5
实用文档
(P.1)
12
C是一个凸集,使得g(αt0+(1-α)t1)C
g(αt0+(1-α)t1)=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)
gradf
2020/7/5
实用文档
9
梯度与等高线的关系：
函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y )
的梯度的方向与点
P 的等
高线 f ( x , y ) = c 在这点的法
线的一个方向相同，且
从数
值较低的等高线指向数
值较
高的等高线，而梯度的
模等
于函数在这个法线方向
的方
向导数．
=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z)) ≥αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z)(f是凹的) =αg(t0)+(1-α)g(t1)
2020/7/5
实用文档
13
证明2:g是凹的,证明f是凹的
f(αy0+(1-α)y1)
=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))
=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)= g(αt0+(1-α)t1)
实用文档
20
大致为１，因此把柯布－道格拉斯函 数看成为线性齐次生产函数
因此把柯布－道格拉斯函数为：
Q=ALK1
A (L )(K )1 = A L K 1 =Q
这说明，生产要素投入量增加的倍数与产量增加 的倍数是相同的。
2020/7/5
实用文档
21
定理A2.6 齐次函数的偏导数
如果f(x)是k次齐次函数,那么它的偏导数将是k-1次齐 次函数.
例题A2.2 考虑函数f(x1,x2)=x1x22+x1x2,验证杨格定理
2020/7/5
实用文档
11
定理A2.3 单变量与多变量的凹性
设f是一个定义在Rn的凸子集上的实值函数,那么,当 且仅当对于每个xD与每个非零的zRn,函数 g(t)=f(x+tz)在tRx+tzD上是(严格)凹的.那么,f 是(严格)凹的.
A2 微积分与最优化
A2.1 微积分
定理A2.1 凹性与一阶和二阶导数
设D是一个非退化的实值区间—在此 区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐 述是等价的:
1.f是凹的. 2.f(x)≤0,xD. 3.对于一切x0D, f(x)≤f(x0)+ f(x0)(x-x0) 4.如果f(x)<0, xD,那么,f是严格凹
2020/7/5
实用文档
18
A2.1.3、齐次函数
定义 A2.2 如果下列式子实 成值 立函 f， (x数 )是 则所谓 的k次齐次函 f(t数 x)=： tnf(x),对所t 有 0
例子A.2.3: 柯布—道格拉斯生产函数（C-D）
f(x 1 ,x 2 )= A 1 x 2 x ,A 0 , 0 , 0
y), e)
当
cos(
gradf
(
x,
y),
e
)
=
1时，
f z
有最大值
.
2020/7/5
实用文档
8
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
gradf
| gradf ( x, y) |=
f x
2
f y
2
.
P
当f 不为零时， x
≥ αg(t0)+(1-α)g(t1) (g是凹的) =αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z) =αf(y0)+(1-α)f(y1)
(f是凹的)
y0 =x+t0z y1 =x+t1z
2020/7/5
实用文档
14
定理A2.4 关于多变量函数的斜率,曲率与凹性
设D是Rn一个凸子集,在此集的一个非空的内部, f是二 次连续可微的. 如下三个命题是等价的:
2020/7/5
实用文档
4
定理 如果函数z = f ( x, y)在点 P( x, y)是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 Z 的方向导数
都存在，且有
， f = f cos f sin
z x
y
其中 为 x轴到方向 Z 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f( x x ,y y ) f( x ,y )= f x f y o () x y
å kf(x)
=
n i=1
f (x) xi xi
(P.4)
证明充分性
为证明充分性,设(P.4)成立,在tx处取值得到:
å kf(tx)
=
n i=1
fx(xi )txi
给(P.2)式两边同乘t,同(P.5)相比较,发现tg(t)=kg(t)
2020/7/5
实用文档
(P.5) (P.6)
25
考虑函数t-kg(t).如果对此求关于t的微分,得到:
证明:设f(x)是k次齐次函数,
f(tx)= tkf(x),t>0
(P.1)
¶
¶xi
(
f (tx))
= ¶f (tx)¶txi ¶xi¶xi
= ¶f (tx) ¶xi
t
¶
¶xi
(tkf
( x))
=tk
¶f (x) ¶xi
(P.3)
2020/7/5
实用文档
22
由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定会等于(P.3),因此有:
实用文档
29
证明:
证明思路:我们设f(x)在x*处获得了一个局部内部极值, 并设法证明 f(x*)=0.
证明:选择任意向量zRn,那么,对于任意标量t,我们有:
g(t)=f(x*+tz)
(P.1)
从(P.1)我们知道,g(t)不过是f(x)的另一种表现形式.t≠0时, x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相 同.t=0,x*+tz等于x*,因此,g(0)正好是f在x* 处的值.已 经假设 f在x*处取得极值,那么g(t)必定在t=0处获得一 个局部极值.那么,g(0)=0
注意0C，依据（P.1）g(0)≤0。由于（P.4），这意味着
zTH(wenku.baidu.com)z0
2020/7/5
这意味着H(x)是负半定的,12
实用文档
17
定理A2.5 凹性,凸性与关于变量本身的二阶 便偏导数
设f:DR是一个二次可微函数. 1.如果f是凹的,那么,x,fii(x)≤0,i=1,…,n. 2.如果f是凸的,那么,x,fii(x)≥0,i=1,…,n.