特殊的高次方程的解法教学教材

特殊的高次方程的解

法

特殊的高次方程的解法

教学目标

1．根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程. 2．通过学习增强分析问题和解决问题的能力.

教学重点及难点

用因式分解法求解一元高次方程.

教学流程设计

复习引入例题分析巩固练习

布置作业课堂小结

教学过程设计

一、情景引入

1．复习

（1）将下列各式在实数范围内分解因式：

①x2-4x+3；② x4-4；

③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；

⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.

教师指出：

在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x2和x2-x看成y，于是就有y2-6y+5和y2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.

（2）提问：

①解二项方程的基本方法是什么？（开方）

②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）

分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的.

2．观察：

（1）若令①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；

⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？

（2）这些高次方程如何求解？

分析：后面四个都是高次方程，②x4-4=0是二项方程，利用开方法求解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.

所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程.

二、学习新课

1．例题分析

例6 解下列方程

（1）5x 3=4x 2； （2）2x 3+x 2-6x=0.

[说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程

（1）x 3-5x 2+x-5=0； （2）x 3-6=x-6x 2.

2．问题拓展

（1）解方程

x 3-2x 2-4x ＋8=0．

解 原方程可变形为

x 2(x-2)-4(x-2)=0，

(x-2)(x 2-4)=0，

(x-2)2(x+2)=0．

所以

x 1＝x 2＝2，x 3=-2．

（2）归纳：

当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决： 令0≠==k d

c b a

，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为

bkx 3+bx 2+dkx+d=0，

即 (kx+1)(bx2+d)=0．

三、巩固练习

1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________. 2．解下列方程：

（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.

3．解下列方程：

（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=0

4．拓展：

（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，

（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.

分析：

在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相

乘法分解，这样省略了许多代换程序.

（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．

解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得

(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．

设

则

(y-9)(y+9)=19，

即y2-81＝19．

[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.

四、课堂小结

（学生总结，教师归纳）

1．解一元高次方程的基本方法是什么？

2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？

3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？

五、作业布置

1．练习册：习题21.2（3）

2．选做题：解下列方程：

（1）x3+3x2+3x+1=0

（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24

（3）x(x+1)(x-3) =x+1

（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67

教学设计说明

1．本节课学习的是用因式分解法求解一元高次方程，所以在情景引入部分复习了实数范围内的因式分解，为后面的新授课做准备.并在此环节中还复习了二项方程和双二次方程的解法，由此自然地过渡到本节课的内容：用因式分解法求解一元高次方程.

2．新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.

3．在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.

4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.