(第06讲) 第三章 二阶系统响应与时域性能指标

2
] 1(t )
当时间 t 时，其误差：
e() lim [ xi (t ) xo (t )]
t
2
n
响应曲线如图3-22 （ P88)所示。
06-7-20
时域瞬态响应分析
16
3.4 时域分析性能指标
系统性能指标可以在时域里提出，也可以在频 域里提出，时域内的比较直观。时域分析性能指标 是以系统对单位阶跃输入响应的瞬态响应形式给出 的。 时域瞬态响应性能指标包括：

2
1 ) n t
e
(

2
1 ) n t
]} 1(t )
响应曲线如图3-19 （ P86)所示，系统没有超调。
3.3.3 二阶系统的单位斜坡响应
xi (t ) t t ) 1(
1 X i (s) 2 s
1 欠阻尼 （ 0 1）系统的单位斜坡响应
X ( s) n 1 X 0 (s) 0 X i (s) 2 X i (s) ( s n jd )(( s n jd ) s
06-7-20 时域瞬态响应分析 11
2 临界阻尼（ 1）系统的单位脉冲响应
X 0 (s) n 2 X 0 ( s) X i ( s ) 1 2 X i (s) ( s n )
x0 (t ) (n 2tent ) t ) 1( 进行拉氏反变换
响应曲线如图3-19（ P86)所示。 3 过阻尼（ 1 ）系统的单位脉冲响应 根据“线性系统对输入信号导数的响应，可通过把系 统对输入信号响应求导得出”的结论：
当时间 t 时，其误差：
e() lim [ xi (t ) xo (t )]
t
2
n
响应曲线如图3-20 （ P87)所示，随着 的减小，其振荡幅度加大。 2 临界阻尼（ 1 ）系统的单位斜坡响应 2 X (s) n 1 X 0 (s) 0 X i (s) 2 X i (s) ( s n ) 2 s 2 2 n 1 n 1 2 2 s s ( s n ) s n 2 2 nt n t 进行拉氏反变换 x0 (t ) (t te te ) 1(t )

1 2 1( 1)
2 2
e (
t0
1.5时ts (3 4)
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1
n ( 2 1)
8
时域瞬态响应分析
4.零阻尼情况（
） 0
n 2 1 1 s X 0 ( s) 2 2 s s n 2 s n 2 s
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进行拉氏反变换
x0 (t ) [t 2
n

2 2 2 2 1 1 2n 2 1 e
( 2 1 )n t
e
( 2 1 )n t

2 2 2 2 1 1 2n 1
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时域瞬态响应分析
10
3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应
xi (t ) (t )
X i (s) 1
2
1 欠阻尼（0 ） 系统的单位脉冲响应 1
X ( s) n X 0 ( s) 0 X i ( s) 1 X i (s) ( s n jd )(( s n jd )
06-7-20 时域瞬态响应分析 6
2 临界阻尼(
1)
2
此时，该二阶系统的极点是二重实根，
n 2 n 1 1 1 X o( s ) 2 2 ( s n ) s s ( s n ) s n
t0
X 0 (s) n X i ( s) ( S n ) 2
时域瞬态响应分析
18
（2）峰值时间 t（Peak Time） ：响应曲线从零时刻到达 p 峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需的 时间。
（3）最大超调量 M （Maximum Overshoot） ：单位阶跃 p 输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分 数表示。
（4）调整时间 t（Settling Time） ：响应曲线达到并一直 s 保持在允许误差范围内的最短时间。 （5）延迟时间 t （Delay Time） ：响应曲线从零上升稳态 d 值50％所需的时间。
X 0 (s) n 2 2 X i (s) s n 2
xo (t ) 1 cosnt
t0
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为 n
06-7-20
时域瞬态响应分析
9
5.负阻尼情况（ 0）
分析方法与正阻尼情况类似，只是其响应表达式的指
数项变为正指数，故随着时间 t 时，其输出
n
n

o
R
s1, 2 n j n 1 2
一对共扼复根
s2
jd
d n 1
2
称为阻尼自然振荡角频率
X 0 ( s) n 2 1 X 0 ( s) X i ( s) X i ( s) ( s n jd )(( s n jd ) s
2

2 n
s 2 [( s n ) 2 (n 1 2 ) 2 ]
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时域瞬态响应分析
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xo (t ) (t
2
n

e nt
n 1
2
sin(n
2 1 2 1 2 t arctan )] 1(t ) 2 2 1

s n n 1 2 2 s ( s n ) 2 d ( s n ) 2 d
时域瞬态响应分析 4
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xo (t ) (1 e nt cosd t

1 2
e nt sin d t ) 1(t )
arctan
1 2
1 2—阻尼振荡角频率；
n —衰减因子；
cos

——迟后角度。 sin 1 2
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时域瞬态响应分析
5
结论：在零初始条件情况下，欠阻尼二阶系统的 暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动 时间函数；振荡程度与 有关： 越小，振荡越 剧烈。
dxo1 x0 (t ) dt
d 1 (1 e ( dt 2 2 1( 2 1)
2 1 )n t

1 2 1( 1)
2 2
e (
2 1 ) n t
)
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时域瞬态响应分析
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n { [e ( 2 2 1
n
1 2
( n 1 2 )
( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
xo (t ) [
n
1 2
e nt sin(d t )] 1(t )
0 1时，二阶系统的单位脉冲响应是以 d 为角频率的衰 减振荡，响应曲线如图3-18（P85)所示。随着 的 减小，其振荡幅度加大。
即： xo (t ) [1
e nt 1 2
( 1 2 cosd t sin d t )] 1(t )
1
或：
xo (t ) [1
e nt 1
2
sin(d t arctan
1 2

)] 1(t )

1 2
式中 d n
响应曲线如图3-21 （ P88)所示
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n
n
时域瞬态响应分析
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当时间 t 时，其误差：
e() lim [ xi (t ) xo (t )]
t
2
n
3 过阻尼（ 1）系统的单位斜坡响应
X 0 ( s) 1 X 0 (s) 2 X i ( s) s
1 过阻尼 s 2 1 1, 2 n n

1 0 发散
06-7-20
t
j
时域瞬态响应分析

3
3.3.1 二阶系统的单位阶跃Baidu Nhomakorabea应
1.当
0 1时，称为欠阻尼
2
Im
s1
jd
X 0 (s) n X i ( s ) ( s n jd )(( s n jd )

n
2
( s n n 2 1)( s n n 2 1)
2 2 2 2 1 1

1 s2
2 2 2 2 1 1
2n 2 1 2n 2 1 1 2 2 2 s n s ( s n n 1) ( s n n 2 1)

n s 2 2 n s
2
X o (s)
令： T
n X o (s) 1 2 2 X i (s) T s 2Ts 1
式中 ——阻尼系数， n ——无阻尼振荡角频率（也称为 自然振荡角频率）。 闭环极点为: s1,2 n jn 1 2
06-7-20 时域瞬态响应分析 2
第三章 时域瞬态响应分析
第 六 讲
二阶系统响应与时域指标
06-7-20 时域瞬态响应分析 1
3.3 二阶系统的瞬态响应
二阶系统开环和闭环传递函数分别为： 2
n G(s) 2 s 2 n s 2 X o (s) n 2 2 X i (s) s 2 n s n
1
X i (s )
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。
xo (t ) 1 e ntnt e nt 1 e nt (1 nt )
此时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。
1
5.84 n ts 4.75 n
（6）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。
06-7-20 时域瞬态响应分析 19
上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反 映系统的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映 系统的相对稳定性。
即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。
x0 (t )
综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响 应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重要参量。
当 = 0时，系统不能正常工作，而在 = 1时，系统暂态
响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况 （0 1 ）是最具有实际意义的。
衰减快 慢
A1 1
A2
A3
jω
1 2 2 1( 2 1)
1 2 2 1( 2 1)
S2
0
σ
S1
ξ
xo (t ) 1 1 2 1( 1)
2 2
基本上由S1决定
2 1 ) n t
e (
2 1 ) n t
闭环极点的分布与阻尼比的关系
0 无阻尼 s1, 2 j n
闭环极点
j
单位阶跃响应
c(t )

j
1
t
0 1 欠阻尼
s1, 2 n j n 1 2
j
c(t )

1
t
1 临界阻尼 s 1, 2 n
c(t )
1

t
j
1
c(t )
1
Δ 2 Δ 5
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时域瞬态响应分析
7
3.过阻尼( 1)
X o( s )
s1, 2 n n
n 2

2
1

( s n n 2 1)( s n n
1 2 1) s

A3 A1 A2 s s n ( 2 1) s n ( 2 1)
（1）上升时间 t（Rise Time） ：响应曲线从零时刻到首次 r 到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所 需的时间。如系统无超调，理论上到达稳态值时间需无穷大， 则上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的 90%所需的时间。
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