(第06讲) 第三章 二阶系统响应与时域性能指标
二阶系统的阶跃响应
线性定常系统的重要特性
1、对于零初始条件下的线性定常系统，若输入为 r(t)
其对应的输出为 c(t) ，拉氏变换为 C(s) R(s)G(s)
2、若输入变为
dr(t)
r1 (t )
dr(t) t
R1(s) L[ t ] sR(s)
，其拉氏变换为
这时系统输出为 C1(S) G(s)R1(s) G(s)sR(s) sC(s)
二、二阶系统的动态过程分析
4、最大超调量 %的计算
在 c(t) 1
1 1
2
e nt
sin( dt
)
中，将t t p 代入得
c(t p ) 1
1 e / 1 2 sin( ) 1 2
因为 cos 则 sin( ) 1 2
1 2
解之得 t s
1
n
ln( 0.05
1 2 )
4.5
，近似为
ts
3.5
n
3.5
4.5
若误差带为0.02，则
ts
n
二、二阶系统的动态过程分析
由此可见， n 越大，ts 越小，若 n一定，则调节
时间 ts 与
不一样的。
成反比。这与 td
，t p ，tr
一、二阶系统的阶跃响应
当 0
系统有一对纯虚根
s1,2 jn
单位阶跃响应时
C(s)
R(s)G(s)
1 s
n2 s2 n2
可以算出 系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为 自然频率，此时为无阻尼情况。
二阶系统时域分析
n1,0.1~0.9时的响应曲线。
0.1 0.2 0.3 0.4
0.8
n 一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量 减小。
20
4) 1 (临界阻尼)
C (s) R (s) (s) 1 s(s n 2 n )2 1 s (s n n )2 s 1n
c (t ) 1 nentt e nt 求导可知，c(t)输出为一条单调上升的曲线。n 1,2,3时：
-1<ξ<0
振荡发散
12
❖
1时
(s)s2
n2 2nsn2
,取 n 1
,阶跃响应为：
ξ = -1
c(t)输出为一单调发散形式的曲线。
13
❖ 1
C (s ) R (s ) (s ) 1 ss 2 2n 2 n sn 2 a s s b p 1 s c p 2
p 1 ( 2 1 )n p 2 ( 2 1 )n
ent
sin(dt)
1ent[cos(dt)12sin(dt)]
ent 1 [
12
12cos(dt)sin(dt)]
s i 1n c eo 1s nt 2 c so ins (s dti n ) s i n ( a rcta) n 1 2
11
c(t)1
ent
12
sin(dt)
(1 0)
c(t)输出为一发散正弦振荡形式的曲线。
ξξ越= 大0.4，~0.8p越小，系p=统25的.4平%~稳1性.5%越。好
31
5)调整时间ts
c(t)1
ent
12
sind(t)
包络线 1 e nt
1 2
ents
1
1
自动控制原理第三章 二阶系统PPT
tr t p
ts
t
第一节 系统的时域性能指标
2．抗扰性能指标
（1）动态降落 如果控制系统在稳态运行中受到扰 c(t) △cmax ±5% 动作用 , 经历一段动态过程后又能达到新 系 统 输 出 C∞1 的 最大降落 的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统 值。 的抗扰性能. 0 t tν （2）恢复时间 系统输出恢复到与误差带范围所需的 根据系统在负载扰动之后的典型过 时间。 度过程定义抗扰性能指标: 返回
n n
ωdtr+β=0,π,2π…
第三节 二阶系统性能分析
2. 峰值时间tp -ζ ω t t -ωne e ω sin( ωdtp+β)] 2 ζ cos( ω t + β ) [ nβ 1ζ c(t)=1Sin( ω t+ ) = 1-ζ2 d p d 2
n p
n
1-ζ =0 dc(tp) =0 则 根据定义有 -ζ ω n sin(ωdtp+β)=0 1-ζ2 cos(ωdtp+β) dt
第三节 二阶系统性能分析
1. ζ >1 过阻尼
两个不相等 S1.2 = - ζ ω n ±ω n ζ 2 -1 的负实数根 A1 A2 A3 ωn C(s)= = + S S-S1 S-S2 S(S-S1)(S-S2) 拉氏反变换
c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和 超调，输出响应最终趋于稳态值1。
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
第二节 一阶系统性能分析
二阶系统的时域响应
n n 2 1 C ( s) s1 2 R( s ) s s1 s n n 1
§３－３二阶系统的时域响应 近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。
此时系统的单位阶跃响应为：
c(t ) 1 e
系统的响应时间为
( 2 1 ) n t
2
1
2
)0
t t r时，e ntr 0, 故只有
sin( 1 2 nt arct an 1
2
)0
2 1 则必有 1 2 ntr arctan n , n 0,1,2.....
因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取 n=1,于是§３－３二阶系统的时域
查拉氏变换表，可求得：
c(t ) 1 1 1
2
§ ３－３二阶系统的时域响应
e nt sin( 1 2 nt arct an 1 2
), t 0
欠阻尼时，系统的阶跃响应 c(t ) 的第一项是稳 态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正 弦振荡，其振荡频率为 d 称为阻尼自然振荡频率。 1 2
2
cos( d t p ) n
e nt 1
2
sin(d t p ) 0
§３－３二阶系统的时域响应 移项并约去公因子后得
1 2 d tan( d t p ) n
到达第一个峰值时 d t p ，从而得
tp d n 1 2
取横坐标为 n t ，不同阻尼比 值下的二阶系统单位阶跃响 应曲线族如图所示：
§３－３二阶系统的时域响应
从图可见： （１） 越小，振荡越厉害，当 增大到１以后，曲线变为欠阻尼系统比临界阻尼系统更快 （２） 达到稳态值。 （３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。 （４）过阻尼系统过渡过程时间长。
二阶系统的性能指标
一、二阶系统传递函数的标准形式二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：2222)()(nn ns s s R s C ωξωω++=式中,ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率.所以,二阶系统的特征方程为：022=++n n s s ωξω由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：22.11ξωξω-±-=n n j s随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。
二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）令)(1)(t t r =，则有ss R 1)(=，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2222222)()(1))((2112)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s ss s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅-+++-=-++++-=⋅++=式中，21ξωω-=n d 为有阻尼自振频率对上式进行反拉氏变换，得：)sin(11)sin 1(cos 1sin cos 1)(22ϕωξωξξωωωξωωξωξωξωξω+--=-+-=⋅--=----t e t t e t e t e t c d t d d t d td n d t n nnn式中，ξξϕ21-=arctg由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程,)(t c 为衰减的正弦振荡曲线。
其衰减速度取决于ϕ角的定义n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：2122ξωπωπ-==n dd T三、二阶系统的性能指标1．上升时间tr ：上升时间是响应曲线由零上升到稳态值所需要的时间。
根据定义，当r t t =时，1)(=r t c 。
即 0sin 1cos 2=-+r d r d t t ωξξω或 nn r d t tg ξωξωω21-=，)(ϕπω-=tg t tg r d所以,上升时间为：21ξωϕπ--=n r t2．峰值时间tp:过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间。
二阶系统的时间响应及动态性能介绍
二阶系统的时间响应及动态性能介绍二阶系统是指具有两个自由度的动力系统，例如二阶电路、二阶机械系统等。
在控制系统和信号处理的领域中，二阶系统有着广泛的应用。
二阶系统的时间响应和动态性能是评价系统性能的重要指标之一在阶跃信号输入时，二阶系统的时间响应可以分为三个阶段：超调阶段、振荡阶段和稳定阶段。
超调阶段是指系统在初期反应过程中，输出信号的幅值超过了稳态值。
振荡阶段是指系统在超调过程之后，输出信号会出现一定的振荡现象。
稳定阶段是指系统输出信号逐渐趋于稳定的阶段。
超调量是指系统在初期反应过程中，输出信号的峰值与稳态值之间的差值，通常用百分比表示。
超调量越小，系统的动态性能越好。
调节时间是指系统从初始状态到达稳态的时间。
当输出信号接近稳态值时，调节时间结束。
调节时间越短，系统的动态性能越好。
上升时间是指系统从初始状态到达信号波形上升至稳定值的时间。
上升时间越短，系统的动态性能越好。
峰值时间是指系统输出信号达到超调量峰值的时间。
峰值时间越短，系统的动态性能越好。
除了上述指标外，二阶系统的频率响应和阶数也是评价系统性能的重要指标之一、频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应特性。
系统的阶数表示系统的自由度，同时也反映了系统的复杂性。
综上所述，二阶系统的时间响应和动态性能是评价系统性能的重要指标。
不同的二阶系统在时间响应和动态性能上有不同的特点和表现。
对于
不同应用场景的二阶系统，我们可以根据需要选择合适的指标和方法进行评估和优化，以提高系统的性能和效果。
第三章_控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
7
2 二阶系统的单位阶跃响应
过阻尼情况 1
2
s 2 1 1 n n s2 n n 2 1
二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：
n C ( s) ( s ) 2 R( s) s 2 n s n 2 1 R ( s ) 时，则系统的输出量为： 输入为阶跃函数 s n 2 1 C ( s) s R( s) 2 2 s 2 n s n s
2
2 1 n t 2
ct 1
2 1 n t 2
2 1( 1) 2 1( 1)
2
e
,
1, t 0
由于 0 所以指数因子具有正幂指数，因此，系统的动 态过程为发散的形式，从而表明 0 的二阶系统是不
c(t ) 1 e
n t
sin d t cosd t 1 2
1 1 1
e nt 1 e e
n t 2 2
e nt 1 2 cosd t sin d t
1
n t
当 0 时，二阶系统的单位阶跃响应是振幅为1的等幅
振荡，其振荡频率为 n ，所以，称 n 为“无阻尼自然
振荡角频率”
10
1 ( s) 2 s 2 0 1s 1
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
决定系统的收敛速度， 为衰减指数。
所以称 e n t 为“衰减因子”，称 n
第三章二阶系统响应与时域性能指标解析
第三章二阶系统响应与时域性能指标解析在控制系统中，二阶系统是指具有二阶传递函数的系统。
二阶系统在工程实践中非常常见，例如机械系统、电子电路系统等。
了解二阶系统的响应和时域性能指标对于设计和分析控制系统非常重要。
二阶系统的传递函数可以表示为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}}$，其中$\omega_n$是系统的自然频率，$\zeta$是系统的阻尼比。
首先我们从系统的阶跃响应来分析二阶系统的时域性能指标。
阶跃响应是系统对阶跃信号输入的响应。
通过对传递函数分母进行因式分解，我们可以将传递函数改写为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{(s+s_1)(s+s_2)}$，其中$s_1 = (-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$，$s_2 = (-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$。
1. 峰值超调量（Percent Overshoot）：峰值超调量是指系统过渡过程中输出信号的最大超调量与步变幅度之比。
通过阶跃响应曲线可以直观地看出系统的峰值超调量。
2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳定状态所需的时间。
在阶跃响应曲线中，调节时间可以定义为系统的输出信号在峰值超调之后首次进入指定误差范围内所需的时间。
一般来说，稳定误差范围可以选择输出信号与目标信号之差小于目标值的一些百分比，例如5%。
3. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指系统输出信号首次达到峰值超调量的时间。
在阶跃响应曲线中，峰值时间可以直接读取。
4. 上升时间（Rise Time）：上升时间是指系统输出信号从初始状态到达峰值的时间。
在阶跃响应曲线中，上升时间可以定义为系统输出信号从0.1倍峰值超调量到0.9倍峰值超调量之间所需的时间。
二阶系统的阶跃响应曲线具有不同的形态，取决于系统的阻尼比$\zeta$。
典型二阶系统的时域响应与性能分析
典型二阶系统的时域响应与性能分析对于一个典型的二阶系统，其数学模型可以表示为以下形式：m*d^2y/dt^2 + c*dy/dt + ky = u(t)其中，m是系统的质量，c是系统的阻尼系数，k是系统的刚度，y(t)是系统的输出，u(t)是系统的输入。
二阶系统的时域响应描述了在给定输入条件下系统的输出变化情况。
常用的描述二阶系统时域性能的指标包括过渡过程、超调量、峰值时间、稳态误差等。
首先是过渡过程。
过渡过程是指系统输出从初始值到达稳定状态所经历的时间。
过渡过程可以通过系统的阻尼比和固有频率来确定。
阻尼比(Damping Ratio)是指系统的阻尼系数与临界阻尼时的阻尼系数之比，表示系统对阻尼变化的敏感程度。
固有频率(Natural Frequency)是指在没有任何阻尼的情况下，系统的振荡频率。
其次是超调量。
超调量是指系统输出达到峰值时的最大偏离幅度与稳态幅值之间的差值。
超调量可以通过系统的阻尼比来衡量，当阻尼比越小时，超调量越大。
峰值时间是指系统输出达到峰值的时间点，通常用稳定时刻的时间点减去起始时间点来衡量。
峰值时间可以通过系统的阻尼比和固有频率来计算，当阻尼比越小时，峰值时间越长。
稳态误差是指系统输出稳定之后与期望输出之间的差值。
稳态误差可以通过系统的阻尼比来衡量，当阻尼比越小时，稳态误差越大。
在实际应用中，我们经常需要对二阶系统的性能进行分析与优化。
一种常见的方法是通过改变系统的阻尼比、固有频率等参数来获得所需的效果。
例如，如果需要减小超调量，可以通过增加阻尼比的方式来实现；如果需要减小过渡时间，可以通过增加固有频率的方式来实现。
此外，对于二阶系统的分析可以采用频域方法，如Bode图和Nyquist图等。
这些图形可以提供系统的频率响应信息，帮助我们更全面地理解和优化系统性能。
总之，典型二阶系统的时域响应与性能分析是控制系统工程中很重要的一部分。
充分理解和分析二阶系统的时域响应特征和性能指标，可以帮助我们更好地设计和控制系统，提高系统的稳定性和性能。
第三章二阶系统响应与时域性能指标
第三章二阶系统响应与时域性能指标第三章介绍了二阶系统的响应和时域性能指标。
二阶系统是指具有两个阶数的系统，常见的二阶系统包括二阶低通滤波器和二阶弹簧质量振动系统等。
了解二阶系统的响应和性能指标对于工程实践和控制系统设计非常重要。
首先，我们先介绍了二阶系统的自由响应和强迫响应。
自由响应是指系统在没有外部输入的情况下的响应，主要由系统的初始条件决定。
强迫响应是指系统在受到外部输入信号刺激后的响应，主要由刺激信号的频率和幅值决定。
在讨论自由响应时，我们介绍了二阶系统的特征方程和特征根。
特征方程是描述系统特征的方程，由系统的传递函数决定。
特征根是特征方程的根，决定了系统的稳定性和响应特性。
特征根可以分为实根和共轭复根两种，分别对应系统的欠阻尼和过阻尼响应。
接着，我们讨论了二阶系统的时域性能指标。
其中包括超调量、峰值时间、调节时间和稳态误差等。
超调量反映了系统响应的振荡程度，峰值时间是达到响应峰值所需要的时间，调节时间是达到稳态的时间。
稳态误差则表征了系统输出与目标值之间的差异。
最后，我们通过实例来说明了如何使用MATLAB来计算和绘制二阶系统的时域性能指标。
MATLAB是一种非常方便的工具，可以极大地简化计算和绘图的过程。
通过使用MATLAB，我们可以更加直观地了解二阶系统的响应特性和时域性能。
总之，了解二阶系统的响应和时域性能指标对于工程实践和控制系统设计非常重要。
通过本章的学习，我们可以更好地理解和分析二阶系统的响应特性，为系统设计和调试提供有力支持。
同时，通过使用MATLAB等工具，我们可以更加方便地进行计算和绘图，提高工作效率和准确性。
自动控制原理--二阶系统的时域响应
y(t ) L-1[Y (s)]
-n
1 - e-nt (cos d t
1 - 2 sin d t )
s2
1-
e - nt (
1- 2
1 - 2 cos d t sin d t )
j jd
0
1-
e - nt 1 - 2 sin(n
1 - 2 t tg-1
1- 2 )
y(t)
单位阶跃响应（ 0<<1 ）
esst
2
a K
K
0.25
a 0.187
比例微分控制与输出微分反馈的比较
1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；
2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不
同； 4、对动态响应的影响不同。
（1）增加阻尼的来源
• 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；
1)
阶跃响应：y(t) 1
1
-1t
e T1
1
-1t
e T2
T2 T1 -1
T1 T2 -1
yt
j
1
0
0
t
单位阶跃响应（>1）
无振荡、无超调
2、临界阻尼 =1
j 0
两个相同的负实根
闭环系统的极点为 s1,2 -n
闭环传递函数为
GB
Y (s) R(s)
(s
n2 n )2
阶跃响应： y(t) 1- e-nt (1 nt)
阻尼振荡频率
衰减振荡
d 1- 2n
4、零阻尼 0
阶跃响应y(t)=1-cos nt
n --无阻尼振荡角频率
j 0
一对纯虚根
第三节二阶系统的时域响应
第三节二阶系统的时域响应⏹二阶系统的数学模型⏹二阶系统的单位阶跃响应⏹二阶系统单位阶跃信号的性能指标⏹二阶系统的动态校正第三节二阶系统的时域响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
例一22()()()()c c c r d u t du t LC RC u t u t dt dt++=Ｒ-L-C 电路2()1()()1c r U s G s U s LCs RCs ==++例二：22()()()()c c c r d t d t J F K t K t dt dt θθθθ++=()()2c r s Ks Js FS Kθθ=++将传递函数转换为：2222/()2nn n K Js F K s s s s J JωζωωΦ==++++n KJω=——系统的无阻尼自然振荡角频率式中：112F KJζ=——系统的阻尼比。
一. 二阶系统数学模型1.二阶系统的微分方程一般式为：ζ-阻尼比n ω-无阻尼振荡频率2222()()2()()n n n d c t dc t c t r t dt dtζωωω++=(0)n ω>222()()()2nn nC s s R s s s ωζωω=Φ=++2()(2)nn G s s s ωζω=+3.二阶系统传递函数标准形式：开环：闭环：2. 二阶系统的标准形式结构图：)2(2n ns s ξωω+)(s R )(s C 2(2)n n s s ωξω+二阶系统的特征方程为2220n ns s ζωω++=解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012()s t s tc t A A e A e=++式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。
012,,A A A s 1,s 2完全取决于，ωn 两个参数。
ζ21,21n n s ζωωζ=-±-二、二阶系统的单位阶跃响应1．欠阻尼（）的情况01ζ<<21(1)ns j ζζω=---22(1)ns j ζζω=-+-[]()()1222()()11sin1111sin , 01n n tn td c t LC s e t et t ξωξωζωβξωβξ---==--+-=-+≥-特征方程的根为：系统输出响应为：21arctanζβζ-=21 dnωζω=-式中称阻尼振荡角频率，或振荡角频率；二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分组成。
二阶系统时域响应
响应速度比ζ>1 时快。
④当 1 时：过阻尼系统 s1,2 n n 2 1
系统两个不等负实根：
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
Y (s) R(s)(s) 1
n2
0
t
s (s s1)(s s2 ) 过阻尼系统单位阶跃响应( >1)
1 c1 c2
4
5
6
d n n
(2)峰值时间 tp
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
dy(t) dt
ent
1 2
n
sin(d t
) d
cos(d t
)
ent n 1 2
sin(d t
)
1
2
cos(d t
)
ent n 1 2
cos
sin(d t
) sin
cos(d t
)
ent n 1 2
③当 =1时，临界阻尼系统
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
系统两个负实重根： s1 s2 n
Y
(s)
R(s)(s)
1 s
(s
n2 n
)2
1 1 n s s n (s n )2
y(t) 1 ent (1 nt), t 0
0
t
临界阻尼系统单位阶跃响应(
=1)
输出响应无振荡和
1.欠阻尼二阶系统的性能指标
本课程主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论。
其单位阶跃响应曲线： 性能指标有：
y(t) 1
ent
第06讲二阶系统响应和时域性能指标
tr
1
d
(
)
n
1 ( ) 1 2
1
1 2
结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间
tr 越长；当 一定时，n 越大，则tr 越短。
2 峰值时间 tp
xo (t) [1
e nt
1 2
暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动
时间函数；振荡程度与 有关： 越小，振荡越
剧烈。
06-7-20
时域瞬态响应分析
6
2 临界阻尼( 1) 此时，该二阶系统的极点是二重实根，
X 0 (s) n2 Xi (s) (S n )2
X
o(s)
(s
n 2 n )2
1 s
系统性能指标可以在时域里提出，也可以在频 域里提出，时域内的比较直观。时域分析性能指标 是以系统对单位阶跃输入响应的瞬态响应形式给出 的。
时域瞬态响应性能指标包括：
（1）上升时间 t（r Rise Time） ：响应曲线从零时刻到首次
到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所 需的时间。如系统无超调，理论上到达稳态值时间需无穷大， 则上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的 90%所需的时间。
2 n s
2n 2 (s n n
1
2
1)
2n 2 (s n n
1
2
1)
06-7-20
时域瞬态响应分析
15
进行拉氏反变换
x0
(t )
[t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 n
2 2 2 2n
二阶系统的时间响应演示文稿
二阶系统的特征方程为 二阶系统的特征方程为 特征方程 有两个极点 有两个极点
s2 + 2ζωn s + ωn = 0
s1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 −1
显然，二阶系统的极点与二阶系统的阻尼比 和固有频率 显然，二阶系统的极点与二阶系统的阻尼比ζ和固有频率 极点与二阶系统的阻尼比 有关，尤其是阻尼比ζ更为重要 随着阻尼比ζ取值的不同 更为重要。 取值的不同， 有关，尤其是阻尼比 更为重要。随着阻尼比 取值的不同，二 阶系统的极点也各不相同。 阶系统的极点也各不相同。 (1)当0<ζ<1时，称二阶系统为欠阻尼系统，其特征方程的根 欠阻尼系统， 当 时 称二阶系统为欠阻尼系统 是一对共轭复根，即极点是一对共轭复数极点 是一对共轭复根，即极点是一对共轭复数极点
3.3 二阶系统的时间响应
可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 二阶系统总包含两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换， 二阶系统总包含两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换， 使系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时， 使系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出 二阶振荡环节。 振荡的特性，所以，二阶系统也称为二阶振荡环节 振荡的特性，所以，二阶系统也称为二阶振荡环节。二阶系统对 控制工程来说是非常重要的， 控制工程来说是非常重要的，因为很多实际控制系统都是二阶系 统，而且许多高阶系统在一定条件下也可以将其简化为二阶系统 来近似求解。因此， 来近似求解。因此，分析二阶系统的时间响应及其特性具有重要 的实际意义。 的实际意义。 二阶系统的典型传递函数为 二阶系统的典型传递函数为
二阶系统的性能指标
二阶系统的性能指标1. 超调量（Overshoot）：超调量是指系统实际输出值达到或超过设定值后的最大偏离程度。
超调量大小与系统阻尼比有关，阻尼比越小，超调量越大。
超调量的大小是评价系统抗干扰性的重要指标之一、超调量较小的系统具有更好的稳定性和抗扰性能。
2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳定状态的时间。
也就是系统输出值从设定值到接近设定值所需要的时间。
系统的调节时间越短，说明系统响应快速，性能越好。
3. 稳态误差（Steady-state Error）：稳态误差是指系统输出与期望输出之间的差异，它表示系统在稳态下的输出误差大小。
稳态误差大小可以反映系统的静态稳定性能。
稳态误差越小，说明系统的精度越高。
4. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指从初始状态到系统输出值首次达到超调值的时间。
峰值时间越短，说明系统响应速度越快。
峰值时间较短的系统对输入信号的快速变化能够更快地响应，并快速趋于稳定。
除了上述常见指标外，还有一些常用的性能指标包括上升时间（Rise Time），峰值偏差（Peak Overshoot），调节时间百分比（Percent Overshoot）等，这些指标可根据需要进行评价。
上升时间是指系统响应从0%到100%的时间，或者从10%到90%的时间。
上升时间越短，说明系统的响应速度越快。
峰值偏差是指系统在超调过程中达到的最大偏差值。
系统的峰值偏差越小，说明系统对输入信号的超调响应越小。
调节时间百分比是指系统从初始状态到输出值在一定范围内的时间。
调节时间百分比的指标可以根据具体要求进行设置，一般常见的有2%，5%或10%等。
评价二阶系统性能的指标取决于具体的应用和要求，需要根据实际情况进行选择。
对于不同的应用领域，对于性能指标的要求可能会有所不同。
因此，在实际应用中，需要根据系统的具体要求和特点，选择和优化适合的性能指标，以便更好地评估和改进系统的性能。
大学自动控制原理3.3二阶系统时间响应
极点位置影响响应的衰减速度，零点 位置影响响应的振荡频率。
特点
二阶系统的单位阶跃响应具有振荡和 衰减的特性，其形状由系统的极点和 零点决定。
单位冲激响应
定义
01
单位冲激响应是系统在单位冲激函数输入下的输出响应。
特点
02
与单位阶跃响应类似，二阶系统的单位冲激响应也具有振荡和
衰减的特性。
与单位阶跃响应的区别
根轨迹分析
通过分析系统的根轨迹来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析
通过分析系统的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
05
二阶系统的设计方法
串联校正
串联校正是指通过在系统输出端串联一个适当的装置，以改善系统的性能。常用的 串联校正装置有滞后器、超前器和积分器等。
串联校正的优点是结构简单，易于实现，适用于各种类型的系统。
二阶系统的分类
根据系统参数的性质，二阶系统可以分为欠阻尼、临界阻尼 和过阻尼三种类型。
欠阻尼系统的输出在达到稳态值之前会有一个振荡过程；临 界阻尼系统的输出则不会出现振荡过程；过阻尼系统的输出 则会有一个较大的超调量。
03
二阶系统的时域分析
单位阶跃响应
定义
极点与零点对响应的影响
单位阶跃响应是系统在单位阶跃函数 输入下的输出响应。
电机控制系统
电机控制系统的稳定性
二阶系统的时间响应特性对于电机控制系统的稳定性至关重要， 能够保证电机在各种工况下的正常运行。
电机控制系统的动态性能
二阶系统的快速响应能力有助于提高电机控制系统的动态性能，实 现更精确的速度和位置控制。
电机控制系统的鲁棒性
二阶系统的鲁棒性使其在电机控制系统中具有广泛的应用，能够适 应各种不确定性和干扰。
二阶系统性能指标ppt课件
tr
n 1 2
1.05 3.46
0.60(秒)
tp
n
1 2
3.46
0.91(秒)
p
e
1 2
100% e
0.5 1 0.52
100% 16.3%
；.
31
ts
3 ln 1 1 2 n
3 ln 1 10.52 0.5 4
1.57(秒)
0.05
ts
4 ln 1
1 2
14
结论：
当ξ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为 最小。设计二阶系统，一般选ξ=0.707,为最 佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且 超调量也不大。
；.
15
系统的瞬态响应指标
；.
16
；.
17
试分析：1）该系统能否正常工作？ 2）若要求=0.707，系统应作如何改进？
R(s)
10
1 2 100% ；.
8
最大超调量
仅与阻尼比ξ有关， 故可以通过实验 求取最大超调量 然后可求系统阻
尼比。
ξ越大，Mp 越小， 系统的平稳性越好 ξ = .4~0.8 Mp = 25.4%~1.5%。
M p e 1 2 100%
；.
9
单位脉冲响应 可由阶跃响应求导数得到
；.
10
调节时间 根据调节时间的定
（4）如果 要 0求.707
，
应怎样改变系统参数Kk值。
；.
25
解：系统的闭环传递函数为
GB s Kk / s2 s Kk ,
写成标准形式
GB (s)
s2
n2 2n s
2 n
由此得 自然振荡角频率 n Kk 2
二阶系统时域响应
1
1
Y(s) R(s)(s) 1
n2
0
t
s (s s1)(s s2) 过阻尼系统单位阶跃响应( >1)
1 c1 c2
s s s1 s s2
系统输出无振荡和
y(t)1 2
2 n1ess11t
es2t
s2
,
t0
超调，输出响应 终趋于稳态值1。
最
A
13
上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和 过阻尼系统。其阻尼系数、特征根（闭环极点）、特征根分布和 单位阶跃响应如下表所示：
三、二阶系统的性能指标 四、二阶系统对其他典型输入信号的响应
五、具有零点的二阶系统分析
六、改善二阶系统性能的措施
A
2
一、二阶系统的数学模型
• 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；
• 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶 系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二 阶系统具有很重要的意义；
• 求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何 二阶系统的动态性能指标。
1）平稳性：主要由ζ决定。
超调量%
%e12 100%
ζ =0时，等幅 振荡，不能 稳定工作。
振荡次数N
ζ↑→σ%↓,N↓ →平稳性↑。
1.5 1 2 , 5%
N ts Td
2
1 2
, 2%
A
ζ一定时，
ωn↑→ ωd ↑ →平稳性↓ 34 。
2）快速性：由ζ和ωn决定。
(1)上升时间 tr
ur(t)
n2
s2 2ns n2
L C uc(t)
2n
R L
n2
1 LC
n
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1 过阻尼 s 2 1 1, 2 n n
1 0 发散
06-7-20
t
j
时域瞬态响应分析
3
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
1.当
பைடு நூலகம்
0 1时，称为欠阻尼
2
Im
s1
jd
X 0 (s) n X i ( s ) ( s n jd )(( s n jd )
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。
xo (t ) 1 e ntnt e nt 1 e nt (1 nt )
此时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。
1
5.84 n ts 4.75 n
（6）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。
06-7-20 时域瞬态响应分析 19
上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反 映系统的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映 系统的相对稳定性。
2
2 n
s 2 [( s n ) 2 (n 1 2 ) 2 ]
06-7-20
时域瞬态响应分析
13
xo (t ) (t
2
n
e nt
n 1
2
sin(n
2 1 2 1 2 t arctan )] 1(t ) 2 2 1
1
Δ 2 Δ 5
06-7-20
时域瞬态响应分析
7
3.过阻尼( 1)
X o( s )
s1, 2 n n
n 2
2
1
( s n n 2 1)( s n n
1 2 1) s
A3 A1 A2 s s n ( 2 1) s n ( 2 1)
即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。
x0 (t )
综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响 应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重要参量。
当 = 0时，系统不能正常工作，而在 = 1时，系统暂态
响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况 （0 1 ）是最具有实际意义的。
衰减快 慢
A1 1
A2
A3
jω
1 2 2 1( 2 1)
1 2 2 1( 2 1)
S2
0
σ
S1
ξ
xo (t ) 1 1 2 1( 1)
2 2
基本上由S1决定
2 1 ) n t
e (
2 1 ) n t
闭环极点的分布与阻尼比的关系
0 无阻尼 s1, 2 j n
闭环极点
j
单位阶跃响应
c(t )
j
1
t
0 1 欠阻尼
s1, 2 n j n 1 2
j
c(t )
1
t
1 临界阻尼 s 1, 2 n
c(t )
1
t
j
1
c(t )
06-7-20 时域瞬态响应分析 6
2 临界阻尼(
1)
2
此时，该二阶系统的极点是二重实根，
n 2 n 1 1 1 X o( s ) 2 2 ( s n ) s s ( s n ) s n
t0
X 0 (s) n X i ( s) ( S n ) 2
时域瞬态响应分析
18
（2）峰值时间 t（Peak Time） ：响应曲线从零时刻到达 p 峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需的 时间。
（3）最大超调量 M （Maximum Overshoot） ：单位阶跃 p 输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分 数表示。
（4）调整时间 t（Settling Time） ：响应曲线达到并一直 s 保持在允许误差范围内的最短时间。 （5）延迟时间 t （Delay Time） ：响应曲线从零上升稳态 d 值50％所需的时间。
响应曲线如图3-21 （ P88)所示
06-7-20
n
n
时域瞬态响应分析
14
当时间 t 时，其误差：
e() lim [ xi (t ) xo (t )]
t
2
n
3 过阻尼（ 1）系统的单位斜坡响应
X 0 ( s) 1 X 0 (s) 2 X i ( s) s
n
n
o
R
s1, 2 n j n 1 2
一对共扼复根
s2
jd
d n 1
2
称为阻尼自然振荡角频率
X 0 ( s) n 2 1 X 0 ( s) X i ( s) X i ( s) ( s n jd )(( s n jd ) s
arctan
1 2
1 2—阻尼振荡角频率；
n —衰减因子；
cos
——迟后角度。 sin 1 2
06-7-20
时域瞬态响应分析
5
结论：在零初始条件情况下，欠阻尼二阶系统的 暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动 时间函数；振荡程度与 有关： 越小，振荡越 剧烈。
n
1 2
( n 1 2 )
( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
xo (t ) [
n
1 2
e nt sin(d t )] 1(t )
0 1时，二阶系统的单位脉冲响应是以 d 为角频率的衰 减振荡，响应曲线如图3-18（P85)所示。随着 的 减小，其振荡幅度加大。
dxo1 x0 (t ) dt
d 1 (1 e ( dt 2 2 1( 2 1)
2 1 )n t
1 2 1( 1)
2 2
e (
2 1 ) n t
)
06-7-20
时域瞬态响应分析
12
n { [e ( 2 2 1
即： xo (t ) [1
e nt 1 2
( 1 2 cosd t sin d t )] 1(t )
1
或：
xo (t ) [1
e nt 1
2
sin(d t arctan
1 2
)] 1(t )
1 2
式中 d n
（1）上升时间 t（Rise Time） ：响应曲线从零时刻到首次 r 到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所 需的时间。如系统无超调，理论上到达稳态值时间需无穷大， 则上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的 90%所需的时间。
06-7-20
时域瞬态响应分析
17
06-7-20
2
1 ) n t
e
(
2
1 ) n t
]} 1(t )
响应曲线如图3-19 （ P86)所示，系统没有超调。
3.3.3 二阶系统的单位斜坡响应
xi (t ) t t ) 1(
1 X i (s) 2 s
1 欠阻尼 （ 0 1）系统的单位斜坡响应
X ( s) n 1 X 0 (s) 0 X i (s) 2 X i (s) ( s n jd )(( s n jd ) s
当时间 t 时，其误差：
e() lim [ xi (t ) xo (t )]
t
2
n
响应曲线如图3-20 （ P87)所示，随着 的减小，其振荡幅度加大。 2 临界阻尼（ 1 ）系统的单位斜坡响应 2 X (s) n 1 X 0 (s) 0 X i (s) 2 X i (s) ( s n ) 2 s 2 2 n 1 n 1 2 2 s s ( s n ) s n 2 2 nt n t 进行拉氏反变换 x0 (t ) (t te te ) 1(t )
第三章 时域瞬态响应分析
第 六 讲
二阶系统响应与时域指标
06-7-20 时域瞬态响应分析 1
3.3 二阶系统的瞬态响应
二阶系统开环和闭环传递函数分别为： 2
n G(s) 2 s 2 n s 2 X o (s) n 2 2 X i (s) s 2 n s n
1
X i (s )
06-7-20
时域瞬态响应分析
10
3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应
xi (t ) (t )
X i (s) 1
2
1 欠阻尼（0 ） 系统的单位脉冲响应 1
X ( s) n X 0 ( s) 0 X i ( s) 1 X i (s) ( s n jd )(( s n jd )
n
2
( s n n 2 1)( s n n 2 1)
2 2 2 2 1 1
1 s2
2 2 2 2 1 1
2n 2 1 2n 2 1 1 2 2 2 s n s ( s n n 1) ( s n n 2 1)
s n n 1 2 2 s ( s n ) 2 d ( s n ) 2 d
时域瞬态响应分析 4
06-7-20
xo (t ) (1 e nt cosd t
1 2