简单几何体的表面积和体积课件

VⅠ λ2＋λ＋1 19 2 5 ∴ ＝ ＝ ，解之得 λ＝ (λ＝－ 舍去)， 3 3 VⅡ 2－λ2－λ 8 ∴AF：FC＝2：1.
若某几何体的三视图(单位： cm)如图所示， 则此几何体的 体积是________cm3.
解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱台和一个正 四棱柱的组合体，四棱台下底面边长为 8，上底面边长为 4， 高为 3，上面正四棱柱底面边长为 4，高为 2，则体积为 1 2 V＝3(4 ＋82＋4×8)×3＋4×4×2＝144cm3.
因为 PD＝AD,
所以 MD⊥PA. 所以 MD⊥AB.
因为 AB⊥平面 PAD,
因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面 PAB. 所以 EF⊥平面 PAB.
点评：本题考查空间几何体中的线线、线面的平行与垂 直以及三棱锥体积的求法，考查了空间想象能力以及逻辑推 理能力．
( 文 )(2011· 湖南十二校第二次联考 ) 已知某几何体的三视 图如下，则该几何体的表面积是( )
3
(2011· 山东烟台一模)如图， 水平放置的三棱柱的侧棱长和 底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1，正视图是边长为 2 的正方形，该三棱柱的侧视图面积为( )
A．2 3 C ．2 2
B. 3 D．4
解析：该三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的高是侧棱 π 长 2，底边长为点 C 到 AB 的距离 2sin3＝ 3，故其侧视图的 面积为 2 3.
答案：144
旋转体的表面积与体积
[例 4]
已知球的半径为 R，在球内作一个内接圆柱，这
个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的 最大值是多少？
分析：球与圆柱均为旋转体，圆柱的轴过球心，故圆柱 的轴截面内接于球大圆，作出轴截面图，可找出球半径与圆 柱的底半径、高之间的关系，写出侧面积的表达式转化为函 数极值求解．
2 ∴GO＝ FO －FG ＝ ， 2
答案：C
割补与等积变换
[例 5]
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边
长为 1 的正方形， 且△ADE、 △BCF 均为正三角形， EF∥AB， EF＝2， 则该多面体的体积为 ( )
2 A. 3 4 C. 3
3 B. 3 3 D. 2
解析：如图所示，过 BC 作与 EF 垂直的截面 BCG，作平 3 1 面 ADM∥平面 BCG，∵FO＝ 2 ，FG＝2.
(4)等底面积等高的柱(锥)体的体积相等， 锥体的体积是等 1 底面积等高的柱体体积的3. (5)三棱锥 A－BCD 中，有 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－
ABC.
3．卷起、展开与折迭 (1)将平面图形卷成旋转体(或将旋转体侧面展开)、 将平面 图形折成多面体，要注意折(卷、展)前后几何量的对应关系和 位置关系，弄清哪些量发生了什么变化，哪些量没有变化， 特别注意其中的平行、垂直位置关系． (2)多面体或旋转体的表面距离最值问题，常通过展开图 来解决．
取 AC 的中点 O，连接 DO，则 DO⊥AC，
又平面 ADC⊥平面 ABC， 平面 ADC∩平面 ABC＝AC，DO⊂平面 ADC，从而 DO ⊥平面 ABC，∴DO⊥BC， 又 AC⊥BC，AC∩DO＝O， ∴BC⊥平面 ACD.
(2)由(1)可知 BC 为三棱锥 B－ACD 的高， BC＝2 2，S△ACD＝2， 1 1 4 2 ∴VD－ABC＝VB－ACD＝ S△ACD· BC＝ ×2×2 2＝ ， 3 3 3 4 2 故几何体 D－ABC 的体积为 3 .
答案：D
(理)(2011· 惠州调研)已知几何体的三视图如图，若图中圆 半径为 1，等腰三角形腰为 3，则该几何体表面积为( )
A．4π C．5π
B．3π D．6π
解析：由三视图知，该几何体是一个圆锥与一个半球的 组合体，球半径与圆锥底半径均为 1，圆锥母线长为 3， 1 ∴表面积 S＝ ×4π×12＋π×1×3＝5π. 2
2 2 2
2 柱底面半径为 R， 高 h＝2 2 等于 2πR2.
R
2
－
2 最大侧面积 R2＝ 2R， 2
(文)(2011· 山东潍坊)如图是一个空间几何体的三视图，这 个几何体的体积是( )
A．2π
B．3π
C．6π
D．9πቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：由三视图知，该几何体是中空的圆柱，中间挖去 的也是一个圆柱，其体积 V＝(π·22－π·12)×3＝9π.
解析：(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q－ A1D1P 的组合体． 由 PA1＝PD1＝ 2，A1D1＝AD＝2，可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 1 S＝5×2 ＋2×2× 2＋2×2×( 2)2
2
＝22＋4 2(cm2)， 1 体积 V＝2 ＋ ×( 2)2×2＝10(cm3)． 2
第九章
第二节 简单几何体的表面积和体积
泰安二中数学2017年8月27日星期日
基础梳理导学
重点难点 引领方向
重点：柱、锥、台、球的表面积与体积公式及其应用． 难点：公式的灵活运用．
夯实基础 稳固根基 1．圆柱的侧面积 S＝2πRh(R、h 分别为圆柱的底面半径 和高)． 2．圆锥的侧面积 S＝ πRl (R、l 分别为圆锥底半径和母 线长)． 3．球的表面积 S＝4πR2(R 为球半径)． 4．柱、锥、台的全面积等于侧面积与底面积的和．
解析：作轴截面如图，令圆柱的高为 h，底面半径为 r， 侧面积为 S，
h 则22＋r2＝R2，即
h＝2× R2－r2，
∴S＝2πrh＝4πr· R2－r2 ＝4π r2· R2－r2 r2＋R2－r2 2 ≤4π· ＝ 2π R ， 2 2 当且仅当 r ＝R －r ，即 r＝ 2 R 时取等号，此时内接圆
答案：A
棱锥的表面积与体积
[例 2] (2012· 广东文， 18)如图所示， 在四棱锥 P－ABCD
中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB 的中点， 1 F 是 DC 上的点且 DF＝ AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高． 2
(1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E－BCF 的体 积； (3)证明：EF⊥平面 PAB.
分析：(1)利用线线垂直证明线面垂直． (2)利用 E 为 PB 中点推得 E 到底面距离是 P 到底面距离 的一半是关键． (3)取 PA 的中点 M，证明四边形 MEFD 是平行四边形得 EF∥MD，只需证明 MD⊥平面 PAB.
解析：(1)证明：因为 AB⊥平面 PAD，PH⊂平面 PAD， 所以 PH⊥AB， 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高， 所以 PH⊥AD. 因为 AB∩AD＝A， 所以 PH⊥平面 ABCD.
(2)连结 BH，取 BH 中点 G，连结 EG，
因为 E 是 PB 的中点，
所以 EG∥PH， 因为 PH⊥平面 ABCD，所以 EG⊥平面 ABCD， 1 1 则 EG＝ PH＝ ， 2 2 1 11 2 VE－BCF＝3S△BCF· EG＝3· FC· AD· EG＝ 12 . 2·
(3)证明：取 PA 中点 M，连结 MD，ME, 1 因为 E 是 PB 的中点，所以 ME 綊 AB. 2 1 因为 DF 綊 AB，所以 ME 綊 DF， 2 所以四边形 MEFD 是平行四边形． 所以 EF∥MD，
答案：B
(理)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90° ，CD∥ AB， AB＝4， AD＝CD＝2， 将△ADC 沿 AC 折起， 使平面 ADC ⊥平面 ABC，得到几何体 D－ABC，如图 2 所示．
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D－ABC 的体积．
解析：(1)证明：由条件可得 AC＝BC＝2 2， 从而 AC2＋BC2＝AB2，故 AC⊥BC，
5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或锥体)体 积相等．
2 π r h . 6．柱体体积 V 柱＝Sh.特殊地，圆柱体积 V＝ 1 2 1 πr h 3 7．锥体体积 V 锥＝3Sh.特殊地，圆锥体积 V＝ .
4 3 8．球的体积 V 球＝ πR . 3
1 S下＋S 下) ，特殊地，V 圆台 9．台体体积 V 台＝3h(S 上＋ S上·
疑难误区 点拨警示 1．弄清面积、体积公式中各个字母的含义，准确应用公 式． 2．棱锥、棱台、圆锥、圆台的平行于底面的截面性质的 基础是相似形的知识，要分清究竟是哪个量和哪个量对应． 3．将几何体展开为平面图形时，要注意从何处剪开才合 要求．
思想方法技巧
转化思想 立体几何处理问题的一个基本思想就是转化，包括复杂 向简单转化，高维向低维降维转化等等，割补法、等积变换、 卷、折、展都是转化思想在处理立体几何问题中的体现．
4．对于某些简单几何体的组合体问题，常常通过作出截 面，使构成组合体的各简单几何体的元素，相对地集中在一 个平面图形中，以达到空间问题向平面问题的转化．
考点典例讲练
棱柱的表面积与体积
[例 1]
(2011· 东营调研、杭州模拟)如图，已知某几何体
的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 分析：由正视图与俯视图可知，该几何体是横放的直棱 柱，由侧视图知，该棱柱底面是一个五边形(由一个正方形与 一个等腰三角形构成)．
AF 解析：设棱柱的底面积为 S，高为 h， ＝λ，∵B1C1∥ AC 平面 ABC， 平面 EB1C1F 经过 B1C1 交平面 ABC 于 EF， ∴B1C1 S△AEF AF 2 2 ∥EF，∴EF∥BC，∴ ＝( ) ＝λ ，∴S△AEF＝λ2· S， S△ABC AC 1 1 2 2 ∴VⅠ＝3· h· (λ S＋S＋λS)＝3(λ ＋λ＋1)Sh. 1 2 1 ∴VⅡ＝Sh－ (λ ＋λ＋1)Sh＝ (2－λ2－λ)Sh， 3 3
棱台的表面积与体积
[例 3] 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，过 B1C1 的平
面 EB1C1F 分别与棱 AB、AC 交于点 E、F，平面 EB1C1F 将 三棱柱分成Ⅰ、Ⅱ两部分的体积 VⅠ与 VⅡ之比为 198，求 AFFC 的值．
分析：第Ⅰ部分为棱台，第Ⅱ部分是不规则几何体，可 通过棱柱体积减去棱台体积得到其体积．
1．割补法 割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的(或复杂 的)几何体延伸或补成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的 图形补成完整的图形．割法是把复杂的几何体切割成简单的 几何体．
2．等积变换 在求几何体的体积、高(点到面的距离)等问题时，常常要 通过等积变换来处理，等积变换的主要依据有： (1)平行线间距离处处相等． (2)平行平面间的距离处处相等． (3)若 l∥α，则 l 上任一点到平面 α 的距离都相等．
1 2 ＝3πh(r2 1＋r2＋r1r2)(其中 r1、r2 为两底面半径)． *10.(1)S 直棱柱侧＝ch(其中 c、h 分别为直棱柱的底面周长、 高)． 1 1 (2)S 正棱锥侧＝ ch′＝ nah′(其中 a、c、n、h′分别为正棱 2 2 锥底面的边长、周长、边数和正棱锥的斜高)．
(3)如果正棱台的上、下底面的周长分别是 c′、c，斜高 1 是 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝2(c＋c′)h′. ※11.棱锥的平行于底面的截面性质：棱锥被平行于底面 的平面所截，截面与底面相似，相似比等于截得小棱锥与原 棱锥的对应边(侧棱、高)的比．面积比等于相似比的平方，若 棱锥为正棱锥，则两底面对应半径的比、对应边的比、对应 边心距的比、斜高的比都等于相似比．
A．24 C．36
B．36＋6 2 D．36＋12 2
解析：
由正视图与侧视图知，该几何体是棱锥，且有一条侧棱 与底面垂直，由俯视图知几何体为四棱锥，如图四棱锥 P－ ABCD 是该几何体的直观图，其中底面 ABCD 是矩形，PA⊥ 底面 ABCD，且 AD＝4，AB＝3，PA＝4.易得各侧面都为直角 三角形，计算得其表面积为 36＋6 2.