不定积分的解题方法与技巧_韩仲明

x
4蘩e cos2xdx
x
x
所
以
x
：蘩e cos2xdx=
e
cos2x+2e
sin2x
+c，
5
所以：原式=（
1
-
1
cos2x-
1
x
sin2x）e +c.
2 10
5
五、有理函数的积分法
用待定系数法化被积函数 P（x） 为部分方式之和，再对每 Q（x）
个部分分式逐项积分.
例 7.求 不 定 积 分 ：蘩
其一，在中学数学课堂上，教师应该把数学与实际和学生 经验联系起来，联系国内外热点问题和科技前沿问题，重视学 生的动手能力和创新思维的发展。 主要采取以淡化记忆内容 为主的考试方式。
其二， 在联系实际方面， 所出题目要与现实生活关系紧
62
密，最好是学生在社会生活中经常遇到的，以保证学生能充分 地发挥自己的智能。 换句话说，这些题目应该是活题，应该根 据社会的需要、现实生活和学生的实际命题。
其三， 在培养学生发散思维能力方面， 多角度考查学生能 力。 一题多解能让学生自由发挥，培养学生发散思维能力及科学 探索能力，培养其开拓创新精神。 可创设一些相对新颖的情境， 考查学生在不同情境下利用已有知识的创新能力。 注重数学 知识的互相交叉和渗透，但不要过分刻意强调死记硬背知识。
参考文献： ［1］恩 格 斯 .反 杜 林 论 ［M］.北 京 ：人 民 出 版 社 ，1971:55. ［2］李 文 林 .数 学 史 概 论 ［M］.北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2002. ［3］陈金干.孙 映 成.中 外 数 学 简 史 ［M］.徐 州 ：中 国 矿 业 大 学 出 版 社 ，2002. ［4］吴 文 俊 主 编.中 国 数 学 史 大 系 （第 六 卷 ）［M］.北 京 ：北 京 师 范 大 学 出 版 社 ，1996. ［5］吴 文 俊 主 编.中 国 数 学 史 大 系 （第 七 卷 ）［M］.北 京 ：北 京 师 范 大 学 出 版 社 ，1996.
63
不定积分这部分内容的概念、定理并不很多，但是学生在学
习的过程中理解的难度大，而积分的方法和过程较求导数具
有更大的灵活性与技巧性. 正确求解不定积分的前提是对微
分公式与方法相当熟练.初学时难以深入理解和灵活运用，有
时面对问题，完全不知如何下手.基于此，本文通过对各种题
型、各种解题方法的分析讨论，总结了不定积分解题的方法与
过多次使用分部积分公式才能求得最后结果.
x2
例6.求不定积分：蘩e sin xdx.
周刊 2011年第68期 ○ 数学教学与研究
解：原式=
1
x
蘩e （1-cos2x）dx=
1
x
e-
1
x
蘩e cos2xdx
2
22
x
x
x
x
x
而 蘩e cos2xdx =e cos2x +2蘩e sin2xdx =e cos2x +2e sin2x -
在当今的中学数学教育中， 数学老师为了提高学生的逻 辑思维能力，出一道题目甚至涉及几门学科的知识。 这样的题 目即使考生能够解答，也并不能说明考生的综合能力较强。 令 人不解的是，有些题其实就是做文字游戏，这对学生以后的实 际工作并没有多大帮助，相反会束缚他们的思维发展。 另外， 一些数学应用题中存在太多冗余文字及无用数据， 它的目的 虽然是使学生适应大量文字信息应用题， 但这种提高学生数 学思维的方法，其实是对联系实际的扭曲。 以史为鉴，我通过 对中国明代科举考试致使数学衰落的分析和对我国现行中学 数学教育存在的问题的分析，得到如下启示。
函 数F（x）与f（x），在 等 式F′（x）=f（x）中 ，已 知F（x）求f（x），
这是求导问题；已知f（x）求F（x）就是不定积分问题 ，所以不定
积分作为导数运算的逆运算，自然也是高等数学的基本问题
之一.不定积分不仅是整个积分学和积分变换的基础，同时
也是求解微分方程、积分方程等不可缺少的知识工具.尽管
姨% x（x+1）
（
%
姨
x
- 姨% x+1
）
dx=-蘩x 姨% x+1
（
%
姨
x
+ 姨% x+1
）
（
%
姨
x
- 姨% x+1
）
dx+蘩（x+1）
%
姨
x
dx
上
式
第
一
个
积
分 蘩x
姨% x+1
2
dx， 令 x+1=u ， 有 蘩x
姨% x+1
dx =
5
3
42
2蘩（u -u ）du=
2
5
u-
2
3
u +c=
2
（x+1）
6
姨
x
23
2
（1+t ）t
1+t
-arctan
6
姨
x
）+c
（2）作三角代换：令x=±sect，0＜t＜ π ,当x＞1时，取正；当x＜2
1时 ，取 负 ，则 dx=±secttantdt，所 以 ：
原 式 =蘩
1
（±secttant）dt=蘩dt=t+c=arccos 1 +c
±sect 姨% sec2t-1
一类换元积分法通常称“凑”微分法，实质上是复合函数求导
运算的逆运算，通过“凑”微分，使新的积分形式是基本积分公
式或扩充的积分公式所具有的形式，从而求得所求积分.“凑”
微分是建立在对微分运算和基本积分公式的熟练程度上，只
有通过大量的实践训练，才能熟练地掌握和应用它的技巧.第
二类换元积分 法 是 直 接 寻 找 代 换x=φ（t），φ（t）单 调 可 导 ，使 代
dx
.
2
2
（x +1）（x +x）
解 ：原 式=蘩［ 1 - 1 - 1+x ］dx=ln|x|- 1 ln|x+1|-
x
2（x+1）
2
2（x +1）
2
2
1 arctanx - 1 蘩 d （ x + 1 ） = ln | x | - 1 ln | x + 1 | - 1 arctanx -
2
4
2
x +1
○ 数学教学与研究 2011年 第68期
周刊
不定积分的解题方法与技巧
韩仲明
（乐山师范学院 数学与信息科学学院，四川 乐山 614004）
摘 要：不定积分是积分学和积分变换的基础，其计算方 法很多， 每种方法都蕴含了丰富的数学知识和解题的灵活性 与技巧性，本文讨论了不定积分常用的计算方法与技巧。
关键词： 不定积分题型 计算方法 解题技巧
2
+
2
2
（1-x ）
2
-
3
5
5
3
1
2
（1-x ）
2
+c
例 3.求 不 定 积 分 ：（1）蘩
dx
；（2）蘩 1 dx.
（1+
3
姨
x
）
%
姨
x
x
姨% 2
x -1
解
：
（1）
作
代
换
：
令
6
姨
x
6
5
=t，则x=t ,dx=6t dt.所以：
5
原式=蘩 6t
dt=6蘩（1-
1
）dt=6（t-arctant）+c=6（
换 后 的 新 积 分 容 易 求 出 ，一 般 来 说 寻 找 代 换x=φ（t）不 是 一 件
容易的事，这就注定不定积分的计算一般都很困难，只有通过
大量练习才能熟练掌握.
5
例2.求不定积分：（1）蘩 1 dx；（2）蘩 x dx.
sinxcosx
姨%
2
1-x
解：（1）法一：原式=蘩
1
dx=蘩
1
2
+c
4
1+x
4
4
4
x
例5.例3（2）另解：作倒代换：x= 1 ，0＜|t|＜1,dx=- 1 dt,则：
t
2
t
原 式=蘩
1
姨1 % 1
t
2
t -1
（- 1 ）dt=-蘩 |t| dt当x＞1-蘩 1
2
t
t
姨%
2
1-t
2
1-t
dt=arccost+c=arccos 1 +c x
同 样 当x＜-1时 ，原 式=arccos（ 1 ）+c，∴蘩 1 dx=arc-
|x|
三、利用倒代换求不定积分
倒代换是换元积分法的一种，利用倒代换，常可消去被积
函数的分母中的变量因子，或者化解被积函数，使不定积分容
易求出.
例4.求不定积分蘩 1 dx 4 x（1+x ）
解：作倒代换：x= 1 ,dx=- 1 dt
t
2
t
3
4
原式=-蘩 t
dt=-
1
2
ln（1+t ）+c=-
1 ln 1+x
面的例子我们看到，不定积分的各种解题方法不是孤立的，很
多题目都可能是几种方法联合使用求解，只有多练习，才能熟
能生巧，才会得心应手.
参考文献： ［1］刘 玉 琏 等 .数 学 分 析 讲 义 ［M］.高 等 教 育 出 版 社 ，2003. ［2］复 旦 大 学 数 学 系 编.数 学 分 析 ［M］.高 等 教 育 出 版 社 ， 2002. ［3］ 同 济 大 学 数 学 教 研 室 .高 等 数 学 ［M］. 高 等 教 育 出 版 社 ，2008.
2
-
2
（x+1）
2
+c
53
5
3
5
3
上
式
第
二
个
积
分
：蘩（x+1）
%
姨
x
dx=
2
x
2
+
2
x
2
+c，所 以 ：
53
5
5
3
3
原式= 2 ［-（x+1） 2 +x 2 ］+ 2 ［x 2 +（x+1） 2 ］+c
5
3
不定积分的解题方法很多，除上面介绍的方法外，还有对
三角函数有理式的万能代换法，建立递推公式，等等。 通过上
2
2
1
2
ln （ x + 1）+c
4
六、无理式的积分法
被积函数含有无理根式的积分，虽然比较麻烦点，但总体
思想是作根式代换，使积分化为有理函数的积分，常用的代换
姨 有u= 姨n ax+b ,u=N % ax+b 等. cx+d
例8.求不定积分：蘩 姨% x（x+1） dx.
%
姨
x
+ 姨% x+1
解 ：原 式=蘩
法二：利用三角代换：令x=sint，0＜t＜ π ,dx=costdt,则： 2
5
原
式=蘩
sin
t
5
22
2
costdt=蘩sin tdt=-蘩（1-cos t） dcost=-蘩（1-2cos t+
cost
4
cos t）dcost
5
3
=-［cost-
2
3
cos t+
2
5
cos t］+c=-
1
2
（1-x ）
sec xdx=蘩
1
dtanx=
2
tanxcos x
tanx
tanx
ln|tanx|+c
法 二 ： 原 式 = 蘩 2 dx = 蘩csc2xd2x = ln | csc2x - cot2x | + c = sin2x
ln | tanx|+c
4
22
2
（2）法一：原式= 1 蘩 -x
2
d（1-x ）=
姨%
2
1-x
姨%
2
1-x
dx=arcsinx+c.
（2）原式=蘩［2（
1
x
）-
1
（
1
x
） ］dx=2（
1
x
）
1
-
1
（
1
x
）
1
+
5 52
5 ln 1 5 2 ln 1
5
2
c=
1
（
1
x
）-
2
（
1
x
） +c.
5ln2 2 ln5 5
二、利用换元积分法求不定积分
换元积分法是求不定积分最主要的方法之一，有两类，第
技巧.
一、利用不定积分概念性质和基本积分公式求不定积分
这种方法的关键是深刻理解不定积分的概念、基本性质，
熟练掌握、牢记不定积分的基本积分公式，当然包括对微分公
式的熟练应用.
例
1.（1）已
知
姨%
2
1-x
f′（x）=1
（x≠±1）
求
f（x）；
（2）求
不
定
积
x+1 x-1
分蘩 2 -5 dx. x 10
解：（1）因为f′（x）= 1 ，所 以f（x）=蘩f′（x）dx=蘩 1
1
蘩
-（1-x
）
+2
1-x
2
姨%
2
1-x
2
d（1-x ）
3
1
1
5
=
1
2
蘩［-（1-x ）
2
2
+2（1-x ）
2
2
-（1-x ）
2
2
］d（1-x ）=
1
2
（1-x ）
2
2
5
3
1
+
2
2
（1-x ）
2
2
-（1-x ）
2
+c
3
老师重视考试的甄别与选拔功能， 忽视了促进学生全面发展 的功能。 所以中学的数学考试应该功能异化，不仅仅是为了升 学而考试。
-x
x
姨% 2
x -1
cos 1 +c. |x|
四、利用分部积分法求不定积分
分部积分法的公式是 ：蘩uv′dx=uv-蘩u′vdx，应 用 它 解 题 时 ，
正 确 选 择u、v是 关 键 ，如 积 分蘩xcosxdx中 ，若 选 择 u=cosx,v′=x，
则很难利用上述公式求出不定积分.具体解题时，有时还要通