凸函数的性质及其应用1

f(x)+f(y) 2
≥f(
x+y 2
)
即，-
arctanx+arctany 2
≥-
arctan(
x+y 2
)
即
2arctan(
x+y 2
)≥arctanx+arctany
例（2）：已知：xi∈(π,2π),i=1,2,…n
求证：sinx1+sinx2+…+sinxn ≥ x1+x2+…+xn
n
n
证明：设 f(x)=sinx 因为 f''(x)=- sinx 由性质 7，f(x)在(π,2π)为凸
＞f(
x+y 2
)
证明 设 f(t)=tlnt(t＞0)
∴f'(t)=1+lnt f''(t)= 1 (t＞0) t
∴f(t)在(0,+∞)上是严格凸函数,
∴
对坌x,y＞0
且
x≠y，有：f(x)+2f(y)
＞f(
x+y 2
)
即：xlnx+2ylny
＞ x+y 2
ln
x+y 2
即：xlnx+ylny＞(x+y)ln
凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，运用
它解题显得巧妙、简练。通过以上例题可以看出，利用凸函数的性质
证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证
明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不
能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等
式的目的。
=3x2-x3,h(x)不是(1,3)上的凸函数，原因是 f(x)=3- x 单调递减的。
性质 5：若 f(x)= 在[a,b]上是二阶可导的凸函数，则对[a,b]内任意
的点 x1,x2#43;…+f(xn) n
≥f(
x1+x2+…+xn n
)
证明：由性质 7 知 f''(x)≥0,x∈[a,b]
本案设计中，全玻璃展示柜的出现不仅减轻了柜体的视觉重量
功能区域、干净整洁的环境、良好的通风设施、悦耳的背景音乐、亲
感，而且更加突显展品的视觉效果。专卖店是卖场，是舞台，装饰只 是发挥背景衬托的作用，最重要的还是突出对产品的展示效果，换 句话说就是产品的营销方式是主角、是主题，装饰是道具、是配角。 4 店面入口设计的重要性
理工科研
凸函数的性质及其应用
２００９．３（下旬刊）
狄雷
（南京晓庄学院 江苏·南京 ２１１１７１）
中图分类号：O174.13
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2009）03- 272- 02
摘 要 给出了凸函数的定义及性质；探讨了凸函数在证明 不等式当中的应用。
关键词 凸函数 性质 应用
凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命 题的讨论证明和应用。在高等数学中利用导数讨论函数的性质时， 经常遇到这类特殊函数，本文对凸函数的定义、性质作出较为详尽 的介绍，并利用这些特殊性质证明一些初等不等式、函数不等式和 积分不等式。 1 凸函数的定义：
２７２
证明：坌x1,x2∈(a,b)对且 x1＜x2 和坌λ∈(0,1)，因为 f(x)与 g(x)在[a, b]上单调递增。
故[f(x1)- f(x2)][g(x2)- g(x1)]≤0 f(x1)g(x2)+f(x2)g(x1)≤f(x1)g(x1)+f(x2)g(x2) 又因为 f(x)与 g(x)为[a,b]上的凸函数
因此有 f(xi)≥f(c)+f'(c)(xi- c),i=(1,2,…n)
n
所以Σf(xi)≥nf(c) i=1
n
Σ 故
1 n
i
=
1
f(xi)≥f(c)=f(
x1+x2+…+xn n
)
3 凸函数的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一
类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等
注：1）f(x),g(x)非负不能少。 例如 f(x)=- 1,g(x)=x2,x∈(0,1)均为凸函数，但是 h(x)=f(x)g(x)=-x2，
显然 h(x)不是凸函数，原因是 f(x)=- 1 为负。
2）f(x),g(x)单调递增不能少。 例如 f(x)=3-x,g(x)=x2 在(1,3)是非负凸函数，但是 h(x)=f(x)g(x)
上式两端均乘以 λ（λ≥0） λf[tx1+(1-t)x2]≤λtf(x1)+βλ(1- t)f(x2)=tλf(x1)+(1- t)λf(x2) 由凸函数的定义知 λf(x)是[a,b]上的凸函数。 性质 2：两个或几个凸函数之和仍为凸函数。(若 f(x)与 g(x)均为 [a,b]区间上的函数，则 f(x)+g(x)也是[a,b]区间上的凸函数。 证明：坌x1,x2∈[a,b]和坌λ∈(0,1)，因为 f(x),g(x)都是区间[a,b]6 上 的凸函数： 故 f[λx1+(1-λ)x2]≤λ[f(x1)+(1-λ)f(x2)] g[λx1+(1-λ)x2]≤λg(x1)+(1-λ)g(x2)] 两式相加，便得 f[λx1+(1-λ)x2]+g[λx1+(1-λ)x2]≤λ[f(x1)+g(x1)]+(1λ)[f(x2)+g(x2)] 由凸函数的定义知 f(x)+g(x)也是[a,b]区间上的凸函数。 性质 3：若 φ(u)是单调递增的凸函数，u=f(x)也是凸函数，则复合 函数 φ[f(x)]也是凸函数。 证明：因为 φ(u)是单调递增的凸函数和 u=f(x)是凸函数 故 φ'(u)≥0,φ''(u)≥0,u''(x)≥0 故 φ''(x)=φ''(u)u'(x)+φ'(u)u''(x) 显然 φ''(x)≥0 所以 φ[f(x)]是凸函数 性质 4：设 f(x)与 g(x)都是[a,b]上的非单调递增的凸函数，则 h(x) =f(x)g(x)也是其上的凸函数。
故 f[λx2+(1-λ)x1]≤λf(x2)+(1-λ)f(x1) g[λx2+(1-λ)x1]≤λg(x2)+(1-λ)g(x1) 而 f(x)≥0,g(x)≥0 将上面两个不等式相乘，可得 f[λx2+(1-λ)x1]g [λx2+(1-λ)x1]≤λ2g(x2)f(x2)+λ(1- λ)[f(x2)g(x1)+f(x1)g(x2)]+(1- x2)f(x1)g(x1) 由凸函数的定义知 h(x)=f(x)g(x)是[a,b]上的凸函数
定义：设函数 f(x)在开区间 I 有定义，若 坌x1,x2∈I,坌t∈(0,1)有 f [tx1+(1- t)x2]≤tf(x1)+(1- t)f(x2) ，若上式中 x1≠x2,且不等号是严格不等 号，“<”则称 f(x)在区间 I 是严凸函数。
几何解释：设函数 y=f(x)在区间 I 内有定义，如果对于坌x1,x2∈ I,连接(x1,f(x1))和两点的弦都在介于这两点的弧段之下，则称该函数 在区间内是凸函数。
切的服务是让客户愿意驻足的必要条件，这其中形成了顾客、专卖 店、交易三者之间内在的联系。 5 结语
专卖店室内空间环境是产品的展示环境，室内空间界面设计
应由繁杂转向简单，把顾客视线转移到展示品本身，充分运用现代
设 计 手 法 ，以 虚 显 实 ，产 生“ 大 抵 实 处 之 妙 ，皆 因 虚 处 而 生 ”之 效
函数
由性质 8 sinx1+sinx2+…+sinxn ≥sin x1+x2+…+xn
n
n
命题得证。
3.3 利用凸函数的性质证明积分不等式
例:设 f(x)在[a,b]上可积且 m≤f(x)≤M
φ(t)是在[m,M]上的连续凸函数则
乙 乙 φ( 1
b
f(x)dx)≤
1
b
φf(x)dx)
b-a a
b-a a
（上接第 266 页）
店新一轮的较量，其优劣程度直接会影响到销售业绩。市面上有 乎，让客人快速进入专卖店才是专卖店魅力的首要条件。所以，专卖
一部分专卖店是重视装修效果而轻视产品展示效果，有喧宾夺主 店的布局、入口设计是至关重要的。我们必须思考怎样才能让顾客
的感觉。
很“容易”、“自然”地进入店中，显然这是根本。在设计中，必备的
证明：令
fk,n=f(a+
k n
(b-a))
Δxk,n=
1 n
(b-a)
由于 φ(t)是凸函数，故有 φ f1n+f2n+…+fnn ≤ φ(f1n)+φ(f2n)+…+φ(fnn)
n
n
由定积分的定义在上式中令 n→∞ 时
乙 乙 则有 φ( 1
b
f(x)dx)≤
1
b
φf(x)dx)
b-a a
b-a a
是仔细一看就会发现由要证的不等式怎么也构造不出
f(x)+f(y) 2
,所
以构造辅助函数 f(t)=lnt(t＞0)是不行的.
我们把要证的不等式稍作变形，两边同乘以
1 2
,得到
xlnx+ylny 2
＞ x+y 2
ln
x+y 2
这时显而易见，若构造辅助函数
f(t)=tlnt(t＞0),则即证
f(x)+f(y) 2
x+y 2
3.2 利用凸函数的性质证明函数不等式
例（1）:证明：对任何非负实数
x,y
有：2arctan(
x+y 2
)≥arctanx+
arctany
证明令 f(t)=- arctant,t∈(0,+∞)
f''(t)=
2t (1+t2)2
＞0,t∈(0,+∞)，因此
f(t)在(0,+∞)上是凸的，由性质 8，对任何的非负实数 x,y 有：
令 x1+x2+…+xn n
=c 把函数 f(x)在 c 点
展开有
f(x)=f(c)+f'(c)(xi- c)+
1 2
f''(ε)(x-c)2
在上式中分别令
x=xi(i=1,2,…n)得
f(xi)=f(c)+f'(c)(xi- c)+
1 2
f'' (ε)
(x-c)2,i=(1,2,…n)
由于
1 2
f''(ε)(x-c)2≥0
果。在空间设计中，应注重销售环境的舒适和安逸，给消费者创造
缓冲、静心之场所。在越来越讲究品牌文化内涵的时代，专卖店作
改造后店面入口效果
为零售终端本身，是单纯的物质构造的实体，同时也是品牌的外延
专卖店入口设计的重要性不言而喻，其成败在很大程度上影响
空间。专卖店的设计应减少平淡无奇的相似与雷同，在消费者视觉
式就是凸函数的一个应用领域但是关键是构造能够解决问题的凸
函数。
3.1 利用凸函数的性质证明初等不等式
例:证明:当
x,y＞0
且
x≠y
时，有
xlnx+ylny＞(x+y)ln
x+y 2
有人看到题中有
ln
x+y 2
就会设
f(t)=lnt，则
f(
x+y 2
)=ln
x+y 2
。但
２００９．３（下旬刊）
理工科研
着客户是否快速进店驻留，购买自己中意的产品。再好的空间设计、 疲劳时产生耳目一新的视觉冲击力，对于彰显品牌的风格和个性
再好的色彩对比、再好的材质肌理、再丰富的产品，便宜的价格，亲 具有重要作用。
切的服务，客人在店外不进来或者进来停留不下来就走，也是白忙
责任编辑 秦艾桢
２７３
参考文献
[1] M.A.克拉斯诺西尔斯基.R.B.鲁季斯基.凸函数和奥尔里奇空间.北京:科学 出版社,1962.
[2] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义:第四版上册,北京.高等教育出版社,2003. [3] 徐森林,薛春华.数学分析.北京:清华大学出版社,2005.
责任编辑 杨呈祥
乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙
这个定义是凸函数的几何特性的直观描述，明确且容易把握。 2 凸函数的性质
性质 1：凸函数与正的常数相乘仍为凸函数(若 f(x)为区间[a,b] 上的凸函数，则对于 λ≥0，有 λf(x)也是[a,b]上的凸函数。
证明：由于 f(x)是区间[a,b]上的凸函数，则坌t∈(0,1)和坌x1,x2∈ [a,b]有 f[tx1+(1-t)x2]≤tf(x1)+(1-t)f(x2)