北航2012年偏微分方程期末试卷
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2011—2012 学年第二学期
考试统一用答题册
题号 成绩 阅卷人签字 校对人签字 一 二 三 四 五 六 总分
考试课程 班 姓 级 名
偏微分方程 学 号 成 绩
2012 年 6 月 18 日
注：试题共 1 页，满分 100 分
一、 （本题 10 分）判断以下方程的类型，并将其化成标准形式：
x 2uxx 2 xyu xy y 2u yy xu x yu y 0 .
utt uxx u yy uzz 4、 u ( x, y, z;0) 2 y 3xz,
t 0, x, y, z ut ( x, y, z;0) = 6y 2
.
三、 （本题 18 分）求满足下面定解问题的解：
utt uxx sin 2 x, 0 x , t 0 . u (0, t ) u ( , t ) 0 u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
四、 （本题 10 分）求拉普拉斯方程在半空间内的格林函数，并求解定解问题：
u xx u yy u zz 0 u (0, y, z ) ( y, z )
五、 （本题 12 分）求以下基本解
x0 y, z
t 0
.
Et a 2 Exx E ( x, 0) ( x)
二. （本题共 40 分，每小题 10 分）求解下列定解问题:
ux 3u y =0 1、 ； 3x u( x;0) 8e
2 uxy =6 x y 2、 ； 2 u ( x ;0) 1 cos x , u (0, y ) 3 y
t 0, x utt u xx 3、 ； 2 u ( x;0) 1 2 x 3 x
并用此基本解表示热传导方程定解问题的解
，
ut a 2u xx u ( x, 0) x
t 0Baidu Nhomakorabea
.
六、 （本题 10 分）证明：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一 的，而且连续地依赖于所给的边界条件．
考试统一用答题册
题号 成绩 阅卷人签字 校对人签字 一 二 三 四 五 六 总分
考试课程 班 姓 级 名
偏微分方程 学 号 成 绩
2012 年 6 月 18 日
注：试题共 1 页，满分 100 分
一、 （本题 10 分）判断以下方程的类型，并将其化成标准形式：
x 2uxx 2 xyu xy y 2u yy xu x yu y 0 .
utt uxx u yy uzz 4、 u ( x, y, z;0) 2 y 3xz,
t 0, x, y, z ut ( x, y, z;0) = 6y 2
.
三、 （本题 18 分）求满足下面定解问题的解：
utt uxx sin 2 x, 0 x , t 0 . u (0, t ) u ( , t ) 0 u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
四、 （本题 10 分）求拉普拉斯方程在半空间内的格林函数，并求解定解问题：
u xx u yy u zz 0 u (0, y, z ) ( y, z )
五、 （本题 12 分）求以下基本解
x0 y, z
t 0
.
Et a 2 Exx E ( x, 0) ( x)
二. （本题共 40 分，每小题 10 分）求解下列定解问题:
ux 3u y =0 1、 ； 3x u( x;0) 8e
2 uxy =6 x y 2、 ； 2 u ( x ;0) 1 cos x , u (0, y ) 3 y
t 0, x utt u xx 3、 ； 2 u ( x;0) 1 2 x 3 x
并用此基本解表示热传导方程定解问题的解
，
ut a 2u xx u ( x, 0) x
t 0Baidu Nhomakorabea
.
六、 （本题 10 分）证明：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一 的，而且连续地依赖于所给的边界条件．