广西普通高中2021届高三上学期高考精准备考原创模拟卷(一)数学(理)试题

广西普通高中2021届高考精准备考原创模拟卷（一）理科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2B x x =<，则A B ⋂=（ ） A ．{|14}x x -<< B ．{|04}x x << C ．{0,1,2,3} D ．{1,2,3} 2．若()1a bi i bi +=-，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则ab 等于（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．13．从4个男生、3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是（ ） A ．57 B ．45 C ．3135 D ．34354．已知0.8 2.13log 0.8,3,0.3a b c ===，则（ ）A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b << 5．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．483π-B ．42π-C ．283π- D ．8π- 7．如图是一个计算：201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+的算法流程图，若输入2019n =，则由上到下的两个空白内分别应该填入（ ）A ．12(1),2n S S n n n -=--⋅=- B ．1(1),1n S S n n n -=--⋅=-C ．1(1),2n S S n n n -=+-⋅=- D ．1(1),1n S S n n n -=+-⋅=-8．将函数()cos2sin (0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．现在需要制作一个长和宽分别为m a 和m b 的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m 和20元/m ，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（ ） A ．225m 3 B ．225m 4 C ．225m 8 D ．225m 1610．在ABC 中，,120AB BC ABC =∠=．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B．2 C．12D11．在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 作斜率为1的直线，与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，过线段AB 的中点P 作一条垂直于x 轴的直线，与直线:l y c =-交于Q ，若QAB的面积为2，则c 的值为（ ） AB ．12C ．14D ．1812．设定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x 时，()f x x '<，若存在01()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，则0x 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数是15，则实数a 的值为_______．14．已知实数x ，y 满足约束条件2,220,20,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩则3x z y =-+的最大值为__________．15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c，已知1,60,a A b ===，则ABC 的面积 为_____________．16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 中，()115,2212n n n a a a n n *-==+-∈N 且． （1）求23,a a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 18．（12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知O 为平行四边形11BDD B 的中心，E 为1CC 的中点．（1）求证：OE ∥平面ABCD ；（2）若1B 在平面ABCD 上的射影为四边形ABCD 的中心，OE BD ⊥，1BB BD =，23ABC π∠=，求平面1BED 与平面ABCD 所成二面角（平面角不大于2π）的大小． 19．（12分）在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年．（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率（直接用组合数表示）；（2）为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中n a b c d =+++）临界值表供参考：3.84120．（12分）设函数2()cos ,()sin af x x xg x x=+=．（1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性；（2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立，求a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎭．（1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q ．（ⅰ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ⅱ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2213y x +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是1ρ=，四边形ABCD 的顶点都在曲线2C 上，点A 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭，点A 与C 关于y 轴对称，点D 与C 关于直线6πθ=对称，点B 与D 关于x 轴对称．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线CD 的距离d 的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||2|f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．2021届高考精准备考原创模拟卷（一） 理科数学参考答案、提示及评分细则1．D ∵集合{|1}A x x =∈>-Z ，集合{}2|log 2{|04}B x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=． 2．B 因为()1a bi i bi +=-，所以1b ai bi -+=-，所以1,b a b -==-，所以1,1a b ==-．所以1ab =-．3．C “抽取出的3人不全是男生”记为事件A ，则A 表示“抽取出的3人全是男生”，34374()35C P A C ==，所以31()1()35P A P A =-=． 4．C ∵0,1,01a b c <><<，∴ab a c <<．5．B 由题得()lncos()lncos ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数．所以图象关于y 轴对称，所以排除A ．C ．又,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以cos (0,1)x ∈，所以lncos (,0)x ∈-∞，所以D 错误，故答案为B ． 6．D 由题意可知几何体的直观图如图：几何体的底面面积为211221422ππ⨯-⋅⨯=-，所以几何体的体积为8π-，故选B ．7．A 将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入12(1),2n S S n n n -=--⋅=-，才可以计算出201920172015201353-+-+⋅⋅⋅-+，所以选A ．8．B函数()cos2sin 0)22x x f x ωωω⎛=-+> ⎝sin sin 2sin 3x x x x πωωωω⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移3πω个单位，得2sin 33y x ππωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，∴函数()2sin y g x x ω==；又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴44Tπ，即244ππω，解2ω，所以ω的最大值为2．故选B ．9．C 由已知得，2040100a b +，所以25a b +，所以22(2)1(2)1525222228a b a b ab ⋅+⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当2a b =，25a b +=，即55,24a b ==时取等号，所以可裱框相片的最大面积为258平方米． 10．C 设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a ，c ，因为120ABC ∠=，所以AC BC >，因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，所以2,2AC BC a AB BC c -===，在三角形ABC 中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC +-=⨯⨯，所以222214428c c AC c+--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以c a =，故选C ． 11．C 由题知0c >，设直线AB 的方程为y x c =+，与2y x =联立消去y 得，20x x c --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12121,x x x x c +==-，因为P 是AB 的中点，P 的横坐标为12122x x +=，所以111,,,222P c Q c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以QAB的面积为121111(14||||222224c PQ x x PQ c +⎛⎫⋅-==⨯+= ⎪⎝⎭，因为QAB 的面积为22=1142,4c c +==．12． D构造函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，所以22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，所以()T x 为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x ''=-<，所以()T x 在(,0]-∞上单调递减，所以()T x 在R 上单调递减．因为存在01()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，所以()()000112f x f x x +-+，所以()()()220000*********T x x T x x x ++-+-+，化简得()()001T x T x -，所以001x x -，即012x ． 13．1± 由二项式定理，662166()()rr r r rr r a T C x a C x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭．当622r -=时，2r =，于是2x 的系数为2226()15a C a -=，从而1a =±．14．43作出可行域为如图所示的三角形ABC 边界及其内部区域，易知(2,4)A -，(2,0)B -，(2,2)C ．把3x z y =-+变形为3x y z =+，当且仅当动直线3x y z =+过点(2,2)C 时，z 取得最大值为43．15 sin sin a b A B=，∴sin 1B =，∴13sin 302S ab ==16．2设底面三角形的两条直角边长为a ，b ，因为三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，所以1212ab ⋅=，所以1ab =，将直三棱柱111ABC A B C -补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -与长方体有同一个外接球，所以球O 的半径为222≥=1a b ==时取等号，所以球O 17．解：（1）∵15a =，∴22122113a a =+-=， 2分33222133a a =+-=． 4分（2）假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由{}n b 为等差数列，则有2132b b b =+， ∴213232222a a a λλλ+++⨯=+，即13533228λλλ+++=+，解得1λ=-． 7分 则()()111111111112121112222n n n n n n n n n n n a a b b a a +++++++--⎡⎤-=-=-+=-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 10分 11151222a b --===， 11分 所以存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2，公差是1的等差数列． 12分 18．证明：（1）连结11,,AC BD AC ，如图所示．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，因为1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11,AC BD 相互平分， 因为O 为平行四边形11BDD B 的中心，所以O 为1BD 的中点，所以O 为1AC 的中点， 2分 因为E 为1CC 的中点，所以//OE AC ， 因为OE ⊄平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以//OE 平面ABCD ； 4分（2）因为,//OE BD OE AC ⊥，所以AC BD ⊥， 设四边形ABCD 的中心为1O ，因为若1B 在平面ABCD 上的射影为四边形ABCD 的中心，所以11B O ⊥平面ABCD ． 5分 如图所示，分别以射线1111,,O B O C O B 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系1O xyz ， 设121,3O B ABC π=∠=，则111(1,0,0),(,22B D O E ⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，所以13(3,0,3),2BD BE ⎛=-=- ⎝⎭， 7分 设平面1BED 的法向量为1(,,)n x y z=，则1110,0n BD n BE ⋅=⋅=，30,30,2x x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩令z =1,0x y ==，所以1(1,0,n =． 9分 取平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =， 设平面1BED 与平面ABCD 所成的角为2παα⎛⎫⎪⎝⎭， 所以12123cos 2n n n n α⋅==⋅，所以6πα=． 12分 19．解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=（人）， 2分 从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，抽取的这3人都为中青年的概率为328380C C ； 5分（2）由（1）得，老年人数为802852-=，由此可得22⨯列联表如图，8分由题意2280(15391313)3206.5312852285249K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 10分 因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”． 12分 20．解：（1）()2sin f x x x =-'， 令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，()2cos 0h x x =->'， 3分 所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增； 所以()(0)0h x h =，即()0f x '，所以()f x 单调递增． 6分 （2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立， 所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅恒成立， 8分 令()sin ()k x x f x =⋅，所以()cos ()sin ()k x x f x x f x ''=⋅+⋅， 9分因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x '>>>>，所以()0k x '>，所以()k x 单调递增， 所以2()24k x k ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以24a π． 12分21．解：（1）由题意可得2224,211,2a ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1a b ==， 2分 所以椭圆的方程为：2214x y +=； 3分 （2）设直线l 的方程为：12y x t =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆的方程221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：222220x tx t ++-=，则()2244220t t ∆=-->，即22t <，且212122,22x x t x x t +=-=-． 5分（ⅰ）因为((1221121122PA PBx t x x t x y y k k ⎛⎛+-++-- -+=+=()121222(20x x t x x t +-+--===，所以APB ∠的角平分线平行于y 轴．即可证得直线PQ 与坐标轴平行； 7分（ⅱ）如图所示，当AP BP ⊥时，则45APQ BPQ ∠=∠=，所以直线AP的方程为y x =-y x =-，8分 代入椭圆的方程可得224402x x ⎛+--=⎝⎭，即2520x --=，可得5A x =-，所以可得A 到直线PQ的距离155d =+=； 9分直线BP的方程为：(22y x x =--+=-+， 代入椭圆的方程224402x x ⎛⎫+-+-=⎪⎝⎭，即25140x-+=，可得5Bx =，所以B 到直线PQ的距离2d =-=，10分 而由上可得||QP =所以()12 118||225APQBPQAPBQ S SSPQ d d =+=⋅+=+=⎝⎭四边形，所以四边形APBQ 的面积为85． 12分22．解：（1）由题知点A ，C ，D ，B 的极坐标分别为531,,1,,1,,1,6622ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分 所以点A ，C ，D ，B的直角坐标分别为11,,,(0,1),(0,1)2222⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分 （2）设()00,P x y 是曲线1C上的任意一点，则00cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）， 5分因为C ，D的直角坐标分别为1,(0,1)2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线CD的直角坐标方程为1y =-10y ++=， 6分所以d ===， 8分因为16sin 1614πϕ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以6102d+． 10分 23．解：（1）函数3,2,1()|21||2|31,2,213,.2x x f x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=--+=---⎨⎪⎪->⎪⎩ 3分 令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． 5分（2）若存在0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解， 7分 由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭， 8分 故25422m m -<-，解得1522m -<<． 10分。