材料力学经典讲解

材料力学研究问题的程序
设计截面 强度或刚度校核
应力 外力 内力 变形 载荷与约束反力
强度条件
确定许可荷载
刚度条件 解超静定问题
σ ≤ [σ] f ≤[f] θ ≤ [θ]
危险点处的最大应力≤材料的许用应力
最大变形位移值≤允许变形位移值
材料力学内容的简单回顾 基本变形问题：
拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲
N A
工程实际中是否允许将极限应力作为工作应力
N A
•
？
s b
0
不允许！
前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件 的实际应力——工作应力。 • 工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。 只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成 的构件的工作应力是相同的。 • 对于同样的工作应力，为什麽有的构件破 坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。
研究工程材料力学行为和构件安 全设计理论的学说称为材料力学。
材料力学研究的问题
（1）在各种外力作用下，杆件的内力 和变形，以及外力、内力和变形之间的 关系； （2）杆的几何形状和尺寸对强度、刚 度和稳定性的影响； （3）常用工程材料的主要力学性质。 在此基础上，建立保证杆件的强度、 刚度和稳定性的条件。
平面假设
圣维南定理 典型低碳钢拉伸时的力学特性
材料拉伸（压缩）时的力学性质 （常温、静载）
脆性材料铸铁压缩时力学特性 四个阶段 四个极限应力 两个塑性指标 一个弹性模量
塑性材料、脆性材料的失效准则
塑性流动、脆性断裂
强度极限σb、 屈服极限σs 的确定 塑性流动 材料失效时的极限应力
σs、σ0.2
脆性断裂
55kN 25kN C
3
20kN D
E
FN 3 25 20 0
FN 3 5(kN) ( )
FN3
25kN
20kN
求DE段内的轴力
R
40kN
55kN 25kN
20kN
4
FN 4 20( kN )
( )
FN4
20kN
40kN
A
55kN 25kN 300
C
20kN
D
FN1=10kN （拉力） FN2=50kN （拉力）
1
E
R
FN1
FN1 R 0
FN1 R 10( kN ) ( )
求BC段内的轴力
R
A 40kN B
2
55kN 25kN C D
20kN
E
R
40kN
FN2
FN 2 R 40 0
FN 2 R 40 50( kN ) ( )
求CD段内的轴力
R
A
40kN B
600
B
500
400
E
FN3= - 5kN （压力）
FN4=20kN （拉力）
N
单位：KN
x
0
选一个坐标系，用其横坐标 表示横截面的位置，纵坐标 表示相应截面上的轴力。 拉力绘在x轴的上侧， 压力绘在x轴的下侧。
40kN A 600 B 300 50
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
计算轴力的法则： 任一截面的轴力=∑（截面一侧载荷的代数值）。
轴力的符号： 离开该截面为正，指向该截面为负。
轴力图突变： 在载荷施加处，轴力图要发生突变，突变量等 于载荷值。 根据以上三条可以很方便地画出轴力图。
低碳钢拉伸时的力学性能
σp—比例极限 σe—弹性极限 σs—屈服极限
ζ
屈服阶段
ζb
σb—强度极限 伸长率
组合变形问题：
拉（压）-弯、偏心拉伸（压缩）、弯曲-扭转、拉弯扭
压杆稳定问题：
受压直杆的稳定条件
动应力问题：
动荷载、交变应力
内力：轴力、剪切力、扭矩、弯矩
内力是外力引起的抗力，所以应用截面法，根据 静力学平衡方程及边界荷载法就可求出内力。回顾我 们在研究基本变形问题和组合变形问题时，杆件横截 面上的内力，诸如轴力、剪力、扭矩和弯矩等无一不 是应用截面法及边界荷载法求得的。 内力是杆件横截面上分布内力系的合力或合力偶 矩，因此它们不能确切表达横截面上各点处材料受力 的强弱。为了解决杆件的强度计算问题，我们就必须 探讨受力杆件横截面上的应力分布规律和应力计算。
（1）极限应力的差异；
（2）构件横截面尺寸的变异； （3）荷载的变异； （4）计算简图与实际结构的差异； （5）考虑强度储备。
许用应力

0
n
s 塑性材料： ns b 脆性材料： nb
一般来讲
nb ns
因为断裂破坏比屈服破坏更危险
拉 伸 曲 线
ζe ζp ζs
强化阶段

l1 l l
100%
断面收缩率
线弹性阶段

O

A A1 A
100%
ζ—ε
强度指标(失效应力)
脆 性 材 料 韧性金属材料
脆性材料
塑性材料
b

[ ]
b
ns
s

[ ]
s
ns
塑性材料和脆性材料力学性能比较
塑性材料
延伸率 δ > 5% 断裂前有很大塑性变形 抗压能力与抗拉能力相近 可承受冲击载荷，适合于 锻压和冷加工
σb
许用应力
强度条件
三类计算问题： 强度校核、截面设计、确定许可载荷
纵向变形
横向变形
变形能
功能原理
功能原理求位移的载荷唯一性限制
是否静不定问题及静不定次数的判定 静力方程 静不定问题 力法解静不定问题的基本步骤 温度应力与装配应力 物理方程 几何方程 剪切面积的判定 剪切和挤压 的实用计算 挤压面积的判定 挤压强度校核 剪切强度校核
解:
求支座反力
Fx 0
R 40 55 25 20 0
40kN 55kN 25kN 300 C 500 D
R 10kN
20kN 400 E
A
600
B
R
A
40kN B
55kN 25kN C D
20kN E
求AB段内的轴力
R
A
40kN B
55kN 25kN C D
20kN
衡量构件承载能力的3个方面 变形固体的三个基本假设 按作用方式分
解决问题的思路
一般条件下的两个限制
表面力 体积力 分布力
集中力
静载荷
外力
外力的分类
按随时间变化情况分 内力 应力 应变 变形
交变载荷 冲击载荷
动载荷
研究内力的方法——截面法（截、取、代、平)） 与截面垂直的分量-正应力σ 线应变ε 位移
杆件变形的基本形式
内容 种类 轴向拉伸 及 压缩 外力特点 变形特点
剪切
扭转
平面弯曲
组合受力变形
轴向拉.压 剪 切
受力 内力
P P P P P P
扭 转
m
弯 曲
m m
变形特点
轴力 N
剪力 Q 挤压力 Pjy
扭矩 T
剪力 弯矩
(截面法)
应力
强度 条件
max
Tmax [ ] Wt
轴向拉.压
16
(1 4 )来自百度文库
圆扭转时的变形
刚度条件
max
Tmax 180 [ ] GI p
强度和刚度校核 强度条件和刚度条件的应用 截面设计 许可载荷的确定 扭转变形能
1 T 2l u m 2 2GI p
注意两种条件并用
圆柱形密圈弹簧的应力与变形

切应力互等定理
纯剪切 剪切胡克定律 解释不同的破坏现象 变形几何关系 圆扭转时的应力 物理关系
m 2 r 2 t
E G 2(1 )
强度条件
max
静力关系
Tmax [ ] Wt
抗扭截面系数
Wt
Ip R
D 4 (1 4 )
32 D/2
D 3
向截面内一点的简化
与截面相切的分量-切应力τ
国际制单位
角应变（切应变）γ 线位移（点移动的直线距离）
σ——ε τ——γ
角位移（一线段（面）转过的角度）
构件的几何模型
杆件变形的4种基本形式
（等）直杆、曲杆 受力特点
板（壳） 变形特点
块体
两大主线：应力分析（讨论强度问题） 变形分析（讨论刚度问题） 四个基本假设:
内力 应力 分布规律 几何量
拉（压）
扭转
Pl l EA Tl GI p
EA：拉伸刚度
GIp：扭转刚度
弯曲
M EI
EI：弯曲刚度
内力 应变 刚度
拉（压）
EA：拉伸刚度
扭转
GIp：扭转刚度
弯曲
EI：弯曲刚度
内力 变形能 刚度
2
第一章
构件 变形固体
知识网络图
材料力学的任务
脆性材料
延伸率 δ < 5% 断裂前变形很小 抗压能力远大于抗拉能力
适合于做基础构件或外壳
材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件 的改变而改变
材料的极限应力
材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材 料所能承受的最大应力值。 所谓正常工作，一是不变形，二是不破坏。
s b
0
塑性材料为屈服极限 脆性材料为强度极限
物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l 与P和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。
引入比例常数E,则 （胡克定律）
E——表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹
性模量，亦称弹性模量。单位：MPa、GPa.

安全系数： 标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。 确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：
连续性、均匀性、各向同性、小变形
力的分类：
外力：集中力、体积力、表面力 动载荷（冲击、交变）和静载荷 内力：轴力、剪切力、扭矩、弯矩 应力：正应力、剪应力 变形、位移 应变：线应变、角应变
ΔPS τ lim ΔA→0 ΔA
第二章
拉伸与压缩知识网络图
轴力 轴力图
轴向拉伸（压缩）的定义及特征
横截面上的应力计算
原因：
# 实际与理想不相符 生产过程、工艺不可能完全符合要求 对外部条件估计不足 数学模型经过简化 某些不可预测的因素 # 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备 # 考虑安全因素
许用应力

引入安全因数 n ，定义


n
[ ]
（材料的许用应力）
（n>1 ）
胡克定律
实验证明：
Pl l A
应力集中
轴力图
表示轴力沿杆轴变化的图形称为轴力图 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂 直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘 出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为 轴力图 .
将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧.
FN
O
x
（1）作法： A、用截面法求出各段轴力的大小；
B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； C、拉力绘在 x 轴的上侧，压力绘在 x 轴的下侧。 （2）举例：
1.材料的力学性能；拉伸时与压缩时的力学性能 2. 构件的强度、刚度和稳定性； 强度：拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲 刚度：拉伸、压缩、扭转、弯曲 稳定性：压杆稳定、动载荷、交变应力、疲劳 3. 为合理解决工程构件设计中安全性与经济 性之间的矛盾提供力学方面的依据。
强度条件、刚度条件、欧拉公式 应力状态分析与四种强度理论
变形
扭

转
T L GIp
弯
曲
刚度条件 虎克定律
1、静平衡方程 2、变形协调方程（几何方程) 3、物理方程
静不定 问题
Ip
D4
32
Wt
D3
16
转 角
挠 度
拉（压）
扭转
P 1 A T Ip
A：面积
Ip：极惯性矩
弯曲
M y Iz
Iz：关于中性轴的惯性矩
几种主要钢材的屈服极限与强度极限
屈服极限 s A3 钢： 35 钢： 45 钢： 16Mn： 235 MPa 314 353 343
强度极限 b 372-392 MPa 529 598 510
杆件中的应力随着外力的增加而增加，当其达到某 一极限时，材料将会发生破坏，此极限值称为极限应 力或危险应力，以 表示。
剪切与挤压的计算
剪切和挤压与轴向拉伸或压缩无本质联系。剪切和挤压在计 算形式上轴向拉伸或压缩相似。
剪切强度条件：
名义许用剪应力
挤压强度条件：
bs
P [ bs ] Abs
名义许用挤压应力
注意剪切面面积和挤压面有效挤压面积的确定
D
挤压面
h d
h
A dh
d
剪切面
P
Abs
( D2 d 2 )
FN1=10kN （拉力） FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力）
y
10
+
20
FN4=20kN （拉力）
+
x
5
FNmax 50( kN ) 发生在BC段内任一横截面上
画轴力图要求： N图画在受力图下方； 各段对齐，打纵线； 标出特征值、符号、注明力的单位。 注意同一图应采用同一比例。 画轴力图目的： 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； 易于确定最大轴力及其位置。
4
挤压面
因此有：
P [ ] dh
P [ ] 2 d 4
P
第三章 扭转 知识网络图
扭转的基本概念 外力偶矩的计算 圆截面等直杆 受力特点 变形特征
已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩 右手螺旋法则 控制面和突变关系 危险截面
扭矩的符号规定和扭矩图
薄壁圆筒扭转时的切应力