对狗追兔子问题的讨论

对狗追兔子问题的讨论

力9 倪彦硕2009011640

假想在平原上有一只野兔和一只猎犬，在某一时刻同时发现对方。野兔立即向洞穴跑去，猎犬也立即向野兔追去。在追击过程中，假设双方均尽全力奔跑，速度大小不变。

（1）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，求猎狗的运动方程和运动轨迹（找出解析解）。

（2）当野兔和洞穴位置给定后，试证明存在某个范围，当猎狗在这一范围内出发时，总可以在野兔进洞前追上它。

（3）证明这一范围是否为椭圆。

（4）如果狗的速度有提前量，结果如何。

（1）解：在一般情况下，我们假设兔子的速度为，方向为，位置为（），初始位置（）

假设狗的速度为，位置为（），初始位置（）

那么经过t时刻，我们可以得到以下方程：

[1]

[2]

[3]

这些微分方程以及积分方程描述了兔子和狗的运动轨迹。如果我们把[2]进一步化简，还可以得到：

[4]

在题目中，因为兔子始终跑直线，所以我们可以把兔子的初始位置变为（0，0），并

让

这样[4]就变为

如果能够解出此微分方程并消去t，就可以得到关于的函数关系。

由[2]式可得：

，从而

以及，从而

上下联立可得：，并且有初值条件，和

，或者是，和。（此方程不会解）有人解出此方程可表达为：

，其中，是狗与兔子纵坐标相同时的纵坐标值，则是与之对应的狗的横坐标位置。

如果我们设兔子洞的坐标是，那么此方程亦可表达为

；这是因为如果恰好在洞口追到兔子，那么显然有。

（2）解：在（1）的前提下，显然兔子从原点跑到洞口需要时间为，这段时间内，狗所跑的路程为。

如果在点开始追击的狗恰好在洞处捉到兔子，那么由第一类曲线积分我们有以下方程：

；

所以有

这个方程给出了每对（）所对应的恰好捉到的点

这在时是连续变化的，所以。显然在图形内部，

在t时刻前就可以跑到洞，也就是可以抓住兔子。

（3）下面要证明边界是椭圆。

我们猜想椭圆的中心是洞口，这是显然的，因为由对称性可以知道洞口必然是图形的几何中心。

设洞口为D点，狗的临界位置为G点，兔子从原点O开始，兔子关于洞口的中心对称点为O’点。设OO’距离为l，GO距离r1，GO’距离r2，GO与Y轴负向夹角，GO’与Y负向夹角，GO与GO’夹角。

由几何关系可得：

在Y负半轴，恰好能追上兔子的狗位置G’到O,O’的距离之和为r，则此时，

令r=r1+r2，则

所以G向O,O’靠近的速度之和为

所以，，两边积分可得。

即G点在椭圆上。

证毕。

（4）Orz……精疲力竭，做不出了……