MATLAB仿真镜像法

线电荷的平面镜像问题

例题4.4的MATLAB仿真实现

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2014-11-5

西安电子科技大学

信息对抗

一、什么是镜像法

镜像法是解静电边值问题的一种特殊方法。它主要用来求分布在导体附近的电荷（点电荷、线电荷）产生的场。如在实际工程中，要遇到水平架设的双线传输线的电位、电场计算问题。当传输线离地面距离较小的时候，要考虑地面的影响，地面可以看作一个无穷大的导体平面。由于传输线上所带的电荷靠近导体平面，导体表面会出现感应电荷。此时地面上方的电场由原电荷和感应电荷共同产生。

镜像法是应用唯一性定理的典型范例。在镜像法应用中应注意以下几点：

1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场

域中一致。

3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

二、点电荷对无限大接地导体平面的镜像

设在自由空间有一点电荷q位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d。如图1所示

图1 点电荷和无限大导体平面

上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。待求场域为z>0空间，边界为z=0的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即

∅(x,y,z)=0 (2.1)

设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。在原边界之外放置一镜像电荷q’，当q’=-q，且和相对于边界z=0对称时，如图2所示。点电荷q和镜像电荷q’在边界上产生的电位满足式(2.1)所示的边界条件。

图2 镜像法图示

根据镜像法原理，在z>0空间的电位为点电荷q 和镜像电荷q’所产生的电位叠加，即

(2.2)

上半空间任一点的电场强度为

E

⃑ =−∇∅ 电场强度E

⃑ 的三个分量分别为 (2.3.1)

(2.3.2)

(2.3.3)

可见，在导体表面z=0处，E x =E y =0，只有E z 存在，即导体表面上法向电场存在。导体表面感应电荷分布可由边界条件决定，即

(2.4.1)

或

(2.4.2)

式中r 2=x 2+y 2。它是导体表面上任一点到原点的距离的平方。

由式(2.4)可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，感应电荷密度分布如图3所示。

图3 导体平面上感应电荷密度分布

导体表面上感应电荷为

q in

=∫ρs dS =−qd 2π∫∫

dxdy (x 2+y 2+

d 2)32

+∞

−∞

+∞−∞=−q

三、 线电荷的平面镜像问题

例题4.4：线密度为ρl 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距d

，

求电位及等位面方程。

解仿照点电荷的平面镜想法，克制线电荷的镜像电荷为−ρl，位于原电荷的对应点，取下图的坐标与坐标系，以原点为参考点。的线电荷ρl点位

φ+=ρl

2πε0ln r2

r1

(3.1)

式中

。

图4 线电荷和无限大接地导体平面图5 线电荷对无限大接地平面的镜像任意一点（x，y）的总点位

φ=φ++φ−=ρl

2πε0ln r2

r1

(3.2)

用直角坐标系表示：

φ(x,y)=ρl

4πε0ln(x+d)2+y2

(x−d)2+y2

(3.3)

则等位线方程为

(x+d)2+y2

(x−d)2+y2

=m2(3.4)其中m是常数，可化成

（x−m 2+1

m2−1d）

2

+y2=(2md

m2−1

)2(3.5)

这个方程表示一族圆，圆心在（x0,y0），半径是R0，其中

R0=2md

|m2−1|，x0=m2+1

m2−1

d ，y0=0

每一个给定的m(m>0)值，对应一个等位圆，电位是

φ=φl

2πε0

lnm(3.6)

四、MATLAB实现

clear all

close all

%x,y为圆心坐标

%r为半径

m=0:0.1:10;

d=1;

for i=1:1:length(m)

x=((m(i))^2+1)/((m(i))^2-1)*d;

y=0;

r=2*m(i)*d/(abs((m(i))^2-1));

a=0:0.001:2*pi;

xx=x+r*cos(a);

yy=y+r*sin(a);

plot(xx,yy)

hold on

end

title('等位圆图形');

axis square

结果：