单纯形法小结

x6 x7
b
8 6
x1 1 3
2 3
cj - zj
-3 -M x2 x7 2 2
4M-2 6M-3 1/4 5/2
5/2M5/4
1 0
0
8 4/5
cj - zj
-3 -2 x2 x1 9/5 4/5
0 1
1 0
3/5 -2/5
-3/10 1/5
1/10 -2/5
3/10 -1/5
M+1/2
-1/10 2/5 M+1/2
c/2=2 c=4
0 1 0 b=2 1/2 0 1/2 1 k L -3/2 0
1 0 0
x4 x
5
-2a-1=-7 1=-1+e d/2=-1 a=3 e=2 d=-2
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* X • 二、LP问题max z=CX, AX=b，X≥0，如
是该问题的最优解，又 0为某一常数， 分别讨论下列情况时最优解的变化。 （1）目标函数变为 max z CX （2）目标函数变为 max z (C I ) X C （3）目标函数变为 max z X 约束条件变为 AX b
第二步建表：
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结论：所有的检验数都小于等于零，而其中非基变量x3 所对应检验数 c 3 0, 且存在系数a13 0, 所以x3可作为基
j
换入得到另一个最优解，即该LP问题具有无穷多最优解。
-2 x1 1 3
-3 x2 4 2
-1 x3 2 0
0
0
-M x6 1 0 0
3.对主元列 第k列 , 令1 alk ,0 其他元素
a
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一、已知某LP的初始单纯形表和单纯形法 迭代的表，求未知数a~l的值。
c j X
x c z
5
j
x4
B
6 1
b
j
b -1 a
x1
x2
c 3 -1
x
d e 2
3
1 0 0
x4 x
0 1 0
5
x1
x5
cj z j
x1 x2 1 1/5 x2 1 x3 0 x4 3/5 x5 -1/5
x3
cj-zj
3
3/5
-7/10
0
0
1
0
-1/5
-3/5
2/5
-4/5
试计算确定c1、c2、c3和b1、b2的值。
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续
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x1
x2 2 1
x3 1 3
x4 1 0 0
x5 0 1 0
• 解：建立初始单纯形表,
x1 x2 1 1/5 x2 1 x3 0
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3/ 5 1/ 5 B 1/ 5 2 / 5
1
续
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• 五、设线性规划问题
max z 10 x1 5x 2 3x1 4 x 2 9 5 x1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
（1）分别用图解法和单纯形法求解； （2）对照指出单纯形表中的各基本可行 解对应图解法中可行域的哪一顶点。
单纯形法 小结
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基本概念
• 线性规划模型
– 三个要素：
• 决策变量、目标函数、约束条件
– 线性性
• 线性规划解的性质 – 线性规划问题的可行域是凸集。
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– 最优解必在顶点上得到。
• 线性规划求解方法
– 图解法 – 单纯形法
重点掌握 内容
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单纯形法小结
•一般线性规划问题的标准化及初始单纯形 法表.
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k=-5/2
Q3 (0,9 / 4)
2
最优解
Q2 (1,3 / 2)
1 o
k=-3/4
1
Q1 (8 / 5,0) 2
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cj C Bc j XB
0 0
x x
3
cj z j
0 10
4
9 8
b
10 3 5 10
x1
x2 x
4 2 5 1 0 0
5
0
0
3
x4
0 O（0，0） 1 0
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化成标准型：
cj
CB
-M -M
0
0 x2 4 2
0 x3 2 0 2M-1 1/2 -1
1/2-M
0 x4 -1 0 M -1/4 1/2
M/23/4
0 x5 0 -1 M 0 -1
-M
-M x6 1 0 0 1/4 -1/2
3/41/2M
-M x7 0 1 0 0 1
0
θ
XB
x1 c z
j
x
3
21/5 8/5
j
0 1 0
0 1 0
14/5 2/5 1
1 0 0
-3/5 Q1 (8 / 5,0) 1/5 -2
5 10
x1 c z
j
x2
3/2 1
j
1 5/14 -3/14 Q2 (1,3 / 2) 0 -1/7 2/7 0 -5/14 -25/14
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max z cx1 dx 2
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单纯形法小结
– 目标函数
max Z min Z 不需要处理 令： Z Z ,求 maxZ
松弛变量 : 0 加入变量的系数 剩余变量 : 0 人工变量 : M
• 单纯形法计算步骤框图
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引进松弛变量、人工变量 列出初始单纯行表 计算非基变量各列 检验数σj 所有 σj≤0 否 是 基变量中 有人工变量 是 无可行解 无界解 否 某非基变量 检验数为0 是 无穷多解 否
-M x7 0 1 0 0 1
0
θ
CB
-M -M
XB
x6 x7
b
x4
x5 0
8 6
-1 0 M -1/4 1/2
M/23/4
2 3
-1 M 0 -1
-M
cj - zj
-3 -M x2 x7 2 2
4M-2 6M-3 1/4 5/2
5/2M5/4
2M-1 1/2 -1
1/2-M
1 0
0
1/4 -1/2
唯一 最优解
找出最大的正检验数σk 存在 aik>0 是
i bi / aik 令 l min{i }
找出主元素alk
否
对所有aik 0计算
迭代运算:1.用非基变量xk替换基变量xl
2.对主元行 第l行 ,令bl / alk bl , alj / alk alj
lj 4.表中其他行列元素, 令aij alk aik aij , bi ablkl aik bi
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大M法，第一步转化成标准型：
max z 2 x1 3x2 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7 x1 4 x2 2 x3 x4 x6 8 s.t.3x1 2 x2 x5 x7 6 x , x , x 0 1 2 3
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（3）若目标函数变为 max z cx1 dx2 讨论c、d的值如何变化，使每个顶 点依次使目标函数达到最优。
解：化为标准型
max z 10x1 5 x2 9 3 x1 4 x2 x3 x4 8 5 x1 2 x2 x1 , x2 , x3 , x4 0
3/41/2M
8 4/5
cj - zj
-3 -2 x2 x1 9/5 4/5
0 1
1 0
3/5 -2/5
-3/10 1/5
1/10 -2/5
3/10 -1/5
M+1/2
-1/10 2/5 M+1/2
cj - zj
0
0
0
-1/2
-1/2
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min w x6 x7
两阶段法：
x1 4 x2 2 x3 x4 x6 8 s.t.3 x1 2 x2 x5 x7 6 x , x , x 0 1 2 3 max w x6 x7 x1 4 x2 2 x3 x4 x6 8 s.t.3 x1 2 x2 x5 x7 6 x , x , x 0 1 2 3
f 4
g h 0
2 i -7
-1 1 j
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1/2 1/2 k
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0 1 l
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解：
c X j B x x5 c
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j
zj
3 f 4
6 1
b
b 2 -1 a 3
x1
x2
c 4 3 -1 2 5 i -7
x
d -2 e 2 2 -1 1 j 5
3
x1
x5
cj z j
g=1 h=0
1 g 0 h 0
cj - zj
0
0
0
-1/2
-1/2
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max z c1 x1 c2 x2 c3 x3 x1 2 x2 x3 b1 s.t.2 x1 x2 3 x3 2b2 x1 , x2 , x3 0
• 四、已知线性规划问题
用单纯形法求解得最终单纯形表如下,表中x4x5为松弛变量
—变量
xj 0 xj 0 x j无约束
不需要处理 令:x x j , x 0
' j ' j
令：x j x x , x , x 0
' j '' j ' j '' j
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单纯形法小结
— 约束条件
b0 b0 不需要处理 约束条件两端同乘 -1 加松弛变量 加人工变量 加剩余变量,再加人工变量
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c
d
>0
>0
=0 >0 >0 <0
>0 =0 <0 <0
c/d c/d>5/2 c/d=5/2 3/4<c/d<5/2 c/d=3/4 c/d<3/4 不限 --不限 不限
最优解的顶点 Q1 Q1,Q2 Q2 Q2,Q3 Q3 Q3 Q1 Q1 O
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单纯形法习题课
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x4 x5 cj-zj x4 3/5
b1 2b2
1 2 x5 -1/5
x3
cj-zj
3
3/5
-7/10
0
0
1
0
-1/5
-3/5
2/5
-4/5
• 根据单纯形法的矩阵描述，有
1
b1 1 • 由 B 2b 3 2 1 • c c B 2 3 3/ 5 4 / 5 ,解出c1=1.5,c2=2,c3=3及b1=5,b2=5。 1 3 7 c1 c2 c3 5 5 10
3 c 4 d
Q3 (0,9 / 4)
2
k=-5/2
k c / d (c 0, d 0)
5 c 3 2 d 4 c 5 d 2
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Q2 (1,3 / 2)
1 o
k=-3/4
1
Q1 (8 / 5,0) 2
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• 解： * * max z CX （a） X 仍为最优解， ； * （b）一般 X 不再是问题的最优解。 （c）最优解变为 X * ，目标函数值不变。
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三、考虑LP问题，分别用大M法和两阶段法求解
min z 2 x1 3x2 x3 x1 4 x2 2 x3 8 s.t.3x1 2 x2 6 x , x , x 0 1 2 3