因式分解掌握方法与技巧

因式分解

一、因式分解的技巧：

1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提

取公因式，再考虑其他方法。

2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。

（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a ＋b）（a－b）］。

（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。

（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。

a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。

b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。

3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。

二. 因式分解的方法：

（一）提公因式法

方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.

分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。

解：

（二）应用公式法

方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。

例2.

分析：此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。

解：

例3.

分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。

解：

（三）分组分解法

方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路：

1. 按公因式分组：

例4.

分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。

解：

2. 按系数特点分组：

例5.

分析：由观察发现，由系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项

分为一组。

解：

3. 按字母次数特点分组：

例6.

分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。

解：

4. 按公式特点分组：

例7.

分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。

解：

5. 拆项分组：

例8.

分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4＋1，再适当分组，达到因式分解的目的。

解：

6. 添项分组：

例9.

分析：

解：

7. 换元分组：

例10.

分析：观察代数式中的x＋y，xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。

解：，则

8. 按主元分组：

例11.

分析：题中的多项式是关于x的三项式排列的，按其结构分解有一定的难度，可考虑换个角度，选定a为主元，即整理为关于a的多项式。

解：

（四）利用特殊值法

方法介绍：比如说将2或10这些特殊值代入字母，比如说x，求出一个数P，然后将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因式写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即可得因式分解的式子。

例12.

解：令x＝2，则

将105分解成3个质因数的积，即105＝3×5×7

观察到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x＋1，x＋3，x＋5，在x＝2时的值，则原式＝（x＋1）（x＋3）（x＋5）

（五）待定系数法

方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例13.

分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：

利用恒等式的性质可得：

（六）十字相乘法：

方法介绍：对于mx2＋px＋q形式的多项式，如果ab＝m，cd＝q且ac ＋bd＝p，则多项式可因式分解为：（ax＋d）（bx＋c）。

例14.

分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：

解：

（七）双十字相乘法：

方法介绍：可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起，先分解因式后，然后再与剩下的项再用十字相乘法。

例15.

分析：可先将其先去括号后的项6a2＋11ab＋3b2应用十字相乘法可分为（2a＋3b）（3a＋b）。

解：

（八）巧用换元法：

方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。

1. 取相同部分换元

例16.

分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m2－5m看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。

解：

2. 取部分式子换元

例17.

分析：观察题目特点，可考虑设1＋x＋x2＝y。

解：

3. 取倒数换元

例18.

解：

以上我介绍了八种方法，除了这些方法外，还有求根法、图像法、配方法等，因为这些知识将在九年级的学习中将会学到，所以以后将继续介绍这些方法。

三、分解因式：（30分）

1 、234352x x x --

2 、 2

633x x -

3 、 2

2

)2(4)2(25x y y x ---4、2

2

414y xy x +-- 5、x x -5

6、13-x

7、2ax a b ax bx bx -++--2

8、81182

4+-x x 9 、2

4

369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x (1)(x ＋p)2－(x ＋q)2； ( 2)16(a －b)2－9(a ＋b)2； (3)x2－6x ＋9； (4)16x2＋24x ＋9；

(5)25x4＋10x2＋1； (6)4(x ＋p)2＋12(x ＋p)(x ＋q)＋9(x ＋q)2；

1. =--211122x x

2. =--6752x x

3. =-+2152x x

4. =+-42562

x x

5. ()()=---4254x x

6. ()()=----42552

x x 7. =--3072

x x

8. =+-253092x x 9. =--61972x x 10. =++-209202x x 11. =++939362

x x

12. =--435924x x 13. =+-43792

4x x 14. ()()()()=+-+-+-2

2

22021417y y x x

15. =-----12322

2y y x xy xy 16. =--c ab c b a bc a 3

22320920

17. ()()()()=-----12123

3

x x x x 18. =---b a ab a 242

3

19. =+--22221b a b a 20 ()()=-+-y z y z y x

22