材料力学截面性质

二 零次矩 一次矩
S y = xdA
A
次
矩 极惯性矩
I p = ( x 2 + y 2 )dA
A
惯性矩
I x = y 2dA
A
惯性积
I xy = xydA
A
定义
A = dA
A
∫
∫ ∫
∫ ∫
S x = ydA
A
I y = x dA
2 A
Байду номын сангаас
∫
∫
符号 单位
轴过 形心 关于 形心 计算
恒正
m2
可正可负
m3
恒正
A A 2 2 2 极惯性矩 I p = ∫ ( x + y )dA = ∫r dA A A
惯性积 I xy = ∫ xy dA
A
常用图形的惯性矩
I xy = I x′y abA ′ +
平行移轴公式 转轴公式
+ I x = I x′ a 2 A
+ I y = I y ′ b 2 A
I xy = ∫ xy dA
A
3 7 = 3a 2 · – a + 3a 2 · –a = 15a 3 Sy 2 2 A = 2 · 3a 2 5 ∴ yc = – a 2
极惯性矩 ( polar moment of inertia )
I p = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = ∫r 2 dA
1 性矩为 Ix = — π D 4(1–α 4 ) ，极惯性矩为 64
α 为内径与外径之比。 重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。
三、平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )
y b a c x y’ x’ d A y’
+ I x = ∫( y′ a ) 2 dA
判断形心惯性主轴
重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零；此 时坐标轴一定是惯性主轴。
例 证明正方形中任意通过形心的轴都是 形心惯性主轴。 如图，对于平行于底边的形心坐标系， 正方形的惯性矩和惯性积为 1 = I y =— a4 Ix 12
y’
y x’ x
I xy = 0
对于其它任意的形心坐标系，其惯性积为 1 I x′y = − –( I y − I x ) sin 2α + I xy cos 2α = 0 ′ 2 故正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。
8 1 I y = – π − — a4 + 9π 8
8 17 4 1 –π a 2 · 2 − — a 2 = — π − – a 4 3 8 3π 2
2
故原图形对 y 轴的惯性矩为 80 34 8 17 1 & =— ( 4a )( 4a )3 − 2 · — π − – a 4 = — − —π a 4 = 13.3a 4 Iy 3 8 3 8 12
x K
1 1 1 = – · —π ( 2a ) 4 = – π a 4 Ix 8 2 64 故图形对 x 轴的惯性矩为
64 π 1 1 = —( 4a )3 ( 4a ) − 2 · –π a 4 = — − – a 4 = 20.55a 4 Ix 3 4 8 12 半圆对 K 轴的惯性矩 半圆对 y 轴的惯性矩为 1 1 1 = – ·— π ( 2a )4 = – π a 4 IK 8 2 64 1 = –π a4 + Ix 8 1 – π a 2 · (2a )2 = 9 π a 4 – 2 8
A
π 2R
4R 1 r sinθ rdrdθ Q A = – π R 2 ∴ yc = — ∫ ∫0 3π 4 0
R
r
θ
dA
x
1 = ∫ sinθ dθ · ∫r 2 dr = – R 3 3 0 0
π 2
同理
4R =— xc 3π
组合图形 组合图形的面积矩 组合图形的面积
Sy =
∑S
i i
yi
=
∑x
y’ y Q Q’ O α R K P’
= x cos α + y sinα — — — — — ′ P′K = SK − SP′ SK − PR = y = — — = PK cosα − OP sinα = − x sinα + y cos α
x’
P
S x
= x′ x cos α + y sinα = y′ − x sinα + y cosα
π 2
R
动脑又动笔
求如图矩形的惯性 矩与惯性积。
y D x D
y
实心圆
x
1 = I y = —π D 4 Ix 64 1 I p = —π D 4 32
y
空心圆
d x
D
1 I x = I y = — π (D 4 − d 4 ) 64 1 = —π D 4 (1 − α 4 ) 64
1 I x = I y = —π R 4 16 1 1 D 4 = —π — = —–π D 4 256 16 2 d α =— D
四、转轴定理 ( rotation-axis theorem )
y’ y
— — x = OP y = OQ
x’ α x
=— y = — x′ OP′ ′ OQ′
— — — — — ′ OP′ OR + RP′ OR + PS = = x = — — = OP cosα + PK sinα
1. 两种坐标的转换
I x = ∫ y 2 dA = ∫ ∫ r 2sin 2θ rdrdθ
A 0 0
1 3 I y = — hb 12 I xy = ∫ xy dA = ∫ x dx · ∫ y d y = 0
A −b 2 −h 2 b2 h2
1 = ∫ sin 2θ dθ · ∫ r 3dr = —π R 4 16 0 0 1 I y = —π R 4 16 1 I p = –π R 4 8
2. 转轴公式的推导
y’ y
x’ α x
1 1 = – ( I y + I x ) + – ( I y − I x ) cos2α + I xy sin 2 α I y ′ 2 2 1 1 I x′ = – ( I y + I x ) − – ( I y − I x ) cos2α − I xy sin 2α 2 2 1 = − –( I y − I x ) sin 2α + I xy cos 2α I x y 2
附录 截面图形的几何性质
截面图形的一次矩、二次矩是如何定义的？ 几种典型截面的二次矩各是多少？ 形心在计算中起着怎样的作用？如何计算 复杂图形的一次矩和二次矩？
一、几何图形的一次矩
面积矩（静矩） S x = ∫ y dA S y = ∫ x dA ( first moment A A of area ) 形心 ( center of an area ) 公式
17 = — a4 Ix 2
c
h b
K C
动脑又动笔
求三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。 1 I K = —bh 3 24 1 — = –h KC 6 1 = — bh 3 IC 18 1 — bh 3 36
例 求如图的截面对 x 和 y 轴的惯性矩。
y a a a a a a a a
已知半圆对 x 轴的惯性矩为
1 1 I p = —π D 4 ( − α 4 ) 32
重要数据 矩形截面对通过形心且平行于底边的坐标 轴的惯性矩为
1 Ix = — bh 3 。 12
重要数据 实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩 为
1 1 4 Ip = — π D 4。 空心圆截面的惯 Ix = — π D ，极惯性矩为 32 64 1 Ip = — π D 4(1–α 4 ) ， 32
A A
动脑又动笔
y h b x
例 求如图半径为 R 的四分之一 圆的惯性矩和极惯性矩。 求如图矩
y
形的惯性矩与 惯性积。
r
θ
Ix = Iy
dA x
I p = Ix + Iy
π 2 R
1 I x = ∫ y dA = ∫ ∫ y dyd x = —bh 3 12 A − h 2 −b 2
2 2
h2 b2
A
x’
2 = ∫ y′ A + 2a ∫y′dA + a 2 ∫ d A d A A A
Q
A
∫ y′dA = 0
+ ∴ I x = I x′ a 2 A + I y = I y ′ b 2 A
同理
I xy = I x′y abA ′ +
重要公式
I xx = I xx′′ + a 22 A I yy = I yy′′ + b 22 A I xy = I xx′′yy′′ + abA xy
例 求如图的截面对形心轴的惯性矩。
y 3a a 7a/ 2 5a/ 2 a 3a/2 3a a a x xc
I x = I1 x + I 2 x
c c
c
I1 x
c
I2x
c
13 4 1 3 2 2 = —–(3a )a + 3a · a = — a 12 4 21 4 1 3 2 2 = — a(3a ) + 3a · a = — a 12 4 5 1 1 = —a(3a )3 +— 3a · a 3 = – a 4 Iy 2 12 12
3. 惯性主轴 ( principal axes of inertia ) 若对某轴的惯性积为零，则称该轴为惯性主轴，如 果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴。
yy yy
x xx x
1200 400 400 600 1386 114 114 413
1319 273
273 481
1400 0 0 400
= cos 2α ∫ x 2 dA + sin 2α ∫ y 2 dA
A A
+ 2cosα sinα ∫xydA
A
= I y cos 2α + I x sin 2α + 2 I xy cosα sinα
1 1 I y′ = – ( I y + I x ) + – ( I y − I x ) cos2α + I xy sin 2 α 2 2
i
ci
Ai
A = ∑ Ai
组合图形的形心公式为 xc = ∑ xci Ai i
∑A
i
i
例 求如图截面的形心 位置。
3a a 3a a
二、几何图形的二次矩
惯性矩 ( moment of inertia )
= ∫ y 2 dA I y = ∫ x 2 dA Ix
A A
惯性积 ( product of inertia )
2. 转轴公式的推导
y’ y
2 I y′ = ∫ x′ A d A
= x′ x cos α + y sinα = y′ − x sinα + y cosα
x’ α
2
x
= ∫ (x 2 cos 2α + y 2sinα + 2 xycosα sinα ) dA
A
1 α = – (1 + cos2α ) cos 2 1 sin 2α = – (1 − cos2α ) 2 1 cosα sinα = – sin2α 2
半圆对 C 轴的惯性矩
y a a a a a a a a 4a/ 3π x C K
4a 1 1 1 = – π a 4 + – · – π ( 2a ) 2 · — − Ic ? 3π 2 4 8 8 1 = – π − — a4 9π 8
2
y 轴与 C 间的距离为
故半圆对 y 轴的惯性矩为
4 −— a 2 3π
Sy 1 xc = – ∫ x dA = — AA A Sx 1 yc = – ∫ y dA = — A AA
y xc x c x dA y yc
∴ S x = yc A S y = xc A
重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。
例 求如图半径为 R 的四分之一圆的形心位置。
y
S x = ∫ y dA =
可正可负
m4
恒正
不为零
等于零
S x = yc A S y = xc A
不为零
I x = I xc + a 2 A I y = I yc + b 2 A
轴为对称轴 时才为零
I xy = I xyc + abA
不为零
本章内容小结
静矩 形心的计算方法 组合图形静矩的计算 惯性矩 I x = ∫ y 2 dA I y = ∫ x 2 dA