函数的基本性质练习题(精华)

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高一数学——函数的基本性质
、、知识点：
本章知识结构
1、集合的概念
集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）” 理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象一一即集合中的元素。

集合是由它的元素唯一确定的。

整体一一集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的集合元素的确定性元素与集合的“从属”关系。

不同的一一集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。

我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做①。

理解它时不妨思考一下“ 0与①”及“①（空集）与｛①｝（集合中含有一个元素，即空集）”的关系。

几个常用数集N （自然数集）、NR （正整数集）、N + （正整数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、 R （实数集）
3、集合的表示方法
（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：
A C u A=U
A C u A =山
C u (C u A)二 A
A -
B = A
C u B
二 B C u A = U ① 元素不太多的有限集，如｛0,1, 8｝
② 元素较多但呈现一定的规律的有限集，如｛1 , 2, 3, (100)
③ 呈现一定规律的无限集，如｛1 , 2, 3,…，n,…｝
•注意a 与｛a ｝的区别：a 表示一个元素，｛a ｝表示一个集合
•注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

(2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就 行了。

但关键点也是难点。

学习时多加练习就可以了。

另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。

如｛R|R 二 R 2｝ , ｛R|R = R 2｝ , ｛ ( R, R) |R= R 2｝是三个不同的集合。

4、 集合之间的关系
•注意区分“从属”关系与“包含”关系
“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。

掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学 会正确使用“ --- ”等符号
•注意辨清①与｛①｝两种关系。

5、 集合的运算
集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。

在这里，我们学习了三种创造新集合的方式： 交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运
算规则。

同时，我们还要掌握它们的运算性质： A
B =B A A B =B A A A =A
A A =A A G = ::， A =心A =：：』A = A A ±
B =A B =AA ±B =A B =B
函数的基本性质
基础知识：
1.奇偶性
(1) 定义：如果对于函数 f(R)定义域内的任意 R 都有f(— R)= — f(R)，则称f(R)为奇函数；
如果对于函数f(R)定义域内的任意 R 都有f( — R)=f(R)，则称f(R)为偶函数。

如果函数f(R)不具有上述性质，则f(R)不具有奇偶性•如果函数同时具有上述两条性质，则f(R)既是奇函数, 又是偶函数。

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CD函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
囤由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个R,则—R也一
定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。

(3)简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条
件是它的图象关于R轴对称;
②设f(x) , g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2 .单调性
(1)定义：一般地，设函数R=f(R)的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量R i, R2,当R1VR2时，都有f(R i)vf(R2)(f(R i)>f(R2)),那么就说f(R)在区间D上是增函数(减函数);
(2)如果函数R=f(R)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数R=f(R)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做R=f(R)的单调区间。

(3)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数f(x) •增函数g (x)是增函数；减函数f (x) •减函数g(x)是减函数；
增函数f (x) -减函数g(x)是增函数；减函数f(x) -增函数g(x)是减函数。

3、函数的周期性
如果函数R = f(R)对于定义域内任意的R,存在一个不等于0的常数T,使得
f(R + T) = f(R)恒成立，则称函数f(R)是周期函数，T是它的一个周期.
性质：
①如果T是函数f(R)的周期，贝U kT(k € N + )也是f(R)的周期.
②若周期函数f(R)的周期为T,则f(3 R) (3工0)是周期函数，且周期为—。

妙I
一、典型选择题
1 .在区间(-瑚) 上为增函数的是( )
A. T [
B. ”「
C.D「
(考点：基本初等函数单调性)
2 .函数1'二匸.是单调函数时，::的取值范围()A. i二】
C. '：■-:
D.
■a+b<0，则下列正确的是
B . I 一—
R =3对称，则
(考点：二次函数单调性)
3 •如果偶函数在血切具有最大值，那么该函数在 [』厂切有 ()
A .最大值 B.最小值 C.没有最大值 D.没有最小值
(考点：函数最值)
4 .函数丿二刘打+〃，壮口是()
A .偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与：有关
(考点：函数奇偶性)
5.函数 在仏切和(M)都是增函数，若可E @』)问E (M),且那么()
A. - L B . 一 i L C. - 1 D.无法确定
(考点：抽象函数单调性)
6 .函数 在区间一 二是增函数，则 的递增区间是 ()
A . [3,8]
B .卜7厂2]
C [Oj] D. [-23]
(考点：复合函数单调性)
7 .函数I - - I 「在实数集上是增函数，则 ()
A . I
B . I C.「. D. '：■-.
(考点：函数单调性)
8.定义在R 上的偶函数 ，满足 /(x+l) = -/«
，且在区间[一〔°]上为递增，则()
(考点：函数奇偶、单调性综合)
9 .已知 在实数集上是减函数，若 A .心亠门.「U —「 d 二/' J (考点：抽象函数单调性)
10、设f (F )是定义在R 上以6为周期的函数，f (R )在(0,3)内单调递增，且 R=f (F )的图象关于直线 下面正确的结论是( )
(A) f (1.5)<f (3.5)<f (6.5) (B)f (6.5)<f (1.5)<f (3.5)
(C)f (6.5)<f (3.5)<f (1.5) (D) f (3.5)<f (6.5)<f (1.5)
11、已知 f x 为偶函数，且 f 2 x l=f 2-x ，当- 2 乞x 乞0 时,f X [=2x ,则 f 2006]=()
4
(考点：函数周期性)
二、典型填空题
1•函数在R上为奇函数，且/W-Tz+O > 0 ,则当!<0, /w=_________________________________________________ . (考点：利用函数奇偶性求解析式)
2 •函数》二一『+丨刘，单调递减区间为_______________________ ，最大值和最小值的情况为 ________________ .
(考点：函数单调性，最值)
3、已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),它们在-4,01上的图像分别如
图(2-3)，则关于x的不等式f(x) ・g(x) c0的解集是___________________________________ 。

y
-4;
1
1-
2 0 x -4
、匸2
\ 1 JF
x y=f(x) y =g(x)
图(2-3)
三、典型解答题
1.已知/优)=(“2)1肚[-13], 求函数几+1) 的单调递减区间.
(考点：复合函数单调区间求法)
/(x)= x i005+az5---8 拜护in m、
2 .已知二，，求一匚.
(考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想)
3 .在经济学中，函数的边际函数为m，定义为某公司每月最多生产100 台报警系统装置。

生产」台的收入函数为曰门-」1二"(单位元)，其成本函数为工 -"■■r■ -
(单位元)，利润的等于收入与成本之差.
①求出利润函数亍：;；|及其边际利润函数v 1;; 1;
②求出的利润函数r ；及其边际利润函数1是否具有相同的最大值；
(考点：函数解析式，二次函数最值)
参考答案
一、BAABDBAADBD
1 1 8 1
二、1. 「一一厂'一〔；2. J'■和一一…，・；3. (-2 , 0) U (2,4 )
三、1.解：函数- ■<■/- - -
故函数的单调递减区间为[-2」
2 •解：已知—「中'U..为奇函数，即「匸“".•中: -:■■,也即成■:,
＜■:—＜：■'- 「，得—」-'.
3 .解：去(X)=R(R-C(R=-20F+2W]X-4(K](U etUOO^xey.
购U)二 p(x+l)-p("
= [-20(r+l/+2500(r+l)-4000]-(-20r a + 2500r-4()00)? = 2480-40i
125
'- -4■■- ■'l l：-' ■■■,故当62 或63 时，_= 74120 (元)。

因为＜'- .-■ I-为减函数，当.[〔时有最大值2440。

故不具有相等的最大值.。