定积分的定义
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
定积分的定义是通过求解函数的极限来得到，它描述了一个曲线下的面积。
本文将介绍定积分的定义及其相关概念，并解释如何使用定积分求解实际问题。
定积分的定义可以通过分割区间，然后求和极限来得到。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则称函数f(x)在[a,b]上的定积分为∫(a到b)f(x)dx其中，∫表示积分符号，被积函数f(x)是被积函数，dx表示关于自变量x的微元，a和b是积分的上下限。
积分符号∫起源于拉丁语"summa summum"，意思是“求和”。
定积分的基本思想是将区间[a,b]分割为n个小区间，然后在每个小区间中取一个点，记作ξi，将每个小区间的函数值乘以区间长度Δxi，然后求和。
当n趋于无穷大时，这些近似值的和趋于定积分的值。
数学上可以表示为：∫(a到b)f(x)dx = lim(n趋于无穷大)(Σf(ξi)Δxi)上式中，Σ表示求和，f(ξi)表示在区间[xi, xi+1]中某点ξi的函数值，Δxi表示区间[xi, xi+1]的长度。
定积分有很多重要的性质。
首先，如果函数f(x)在[a,b]上非负，则定积分的值表示曲线下的面积。
其次，如果在[a,b]上函数f(x)为负值，那么定积分的值表示曲线与x轴之间有向面积。
在实际应用中，定积分经常用于求解曲线下的面积、体积、质心以及众多概率统计问题。
比如，可以利用定积分计算圆的面积、球的体积，还可以求解质量分布、重心、平衡问题。
此外，在统计学中，定积分有着广泛的应用，例如在概率密度函数中计算概率、求解期望值等。
在计算定积分时，可以使用多种方法。
一种常见的方法是使用基本的积分法则，将被积函数进行重写、分解或代换，以方便求解。
另一种方法是使用数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等。
这些数值方法可用于近似求解定积分，适用于无法解析求解的情况。
定积分的概念是微积分领域中的基础知识之一。
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
定积分的定义
误差更小
定积分的定义
v 右图是正弦在一个周 期上的积分示意。为 20等分情形，取左端 点处的函数值
左端点型
定积分的定义
v 右图是正弦在一个周 期上的积分示意。为 20等分情形，取右端 点处的函数值
右端点型
定积分的定义
v 右图是正弦在一个周 期上积分梯形公式的 示意。为8个分点情形。
梯形公式
定积分的定义
v 右图是正弦在一个周 期上积分梯形公式的 示意。为15个分点情 形。
v 可以看到，梯形公式 比矩形公式精确度高。
梯形，15个分点
定积分的定义
v 现在看看分成40份的 情形。
v 可以看到误差变小了。
v 有理由相信：随着分 点的增加，的定义
v 当然，小区间上的面 积也可以用其他容易 求出面积的图形的面 积来表示，比如梯形。
v 这就是定积分的梯形 算法。
v 右图是取5等分的情形， 就已经非常精确了。
定积分与不定积分定义
定积分与不定积分定义
定积分和不定积分是高数中的重要概念，它们均有其特定的定义。
定积分是指将复杂函数拆分成一系列简单函数，然后将其求和计算出函数在某一区间上的总和。
它可以用来计算曲线下的面积、曲线的位移以及函数的变化等。
定积分是求取函数积分的一种方法，其定义为：若f(x)是定义在区间[a,b]上的连续
函数，则把[a,b]上f(x)的积分称为定积分，记作：∫abf(x)dx不
定积分是指在求取函数的积分时，没有给定区间，即没有给定函数的定义域，而是由求积分的过程中求出区间。
不定积分是求取函数积分的一种方法，其定义为：若f(x)是定义在实数集
上的连续函数，则把f(x)的不定积分称为不定积分，记作：
∫f(x)dx定积分和不定积分的应用十分广泛，它们在数学、物理、经济学等领域都有着重要的作用。
在求解复杂函数的积分问题时，定积分和不定积分可以通过求取函数的定积分和不定积分等方法来解决。
定积分和不定积分是高数中的重要概念，它们的定义和应用都十分广泛，可以用来解决多种复杂函数的积分问题。
在研究高数中，要深入研究定积分和不定积分的定义和应用，以便更好地理解复杂函数的求积分问题。
5.1 定积分的定义
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,
f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分中的一种重要概念，它广泛应用于物理、计算机科学、经济学、统计学等领域。
在本文中，我们将探讨定积分的定义及其相关概念、定理和应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过限定积分上下限，计算函数在给定区间上的面积的方法。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上关于x轴的面积为：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx其中∫表示积分符号，f(x)dx表示微元，最终结果为面积。
二、交错积分的概念定积分有时会被定义为交错积分的形式，按照这样的定义，定积分是将区间[a,b]分成n等份后，将每等份映射到默区间[a,b]，计算总面积面积的方法。
三、定积分的性质定积分具有一个重要的性质，即可加性。
也就是说，如果f(x)连续，则对于[a,b]和[b,c]的任意选取，有：∫<sub>c</sub><sup>b</sup>f(x)dx+∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f (x)dx=∫<sub>c</sub><sup>a</sup>f(x)dx这个性质对于求复杂函数的面积非常有用，因为它允许我们将求和区间划分成更小的部分，并在不同部分上执行计算，从而得到总面积。
四、定积分的定理除了性质外，定积分还有一些定理，它们可以更简单地求出某些函数的积分。
其中最著名的是牛顿-莱布尼茨公式，它指出：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)d x=F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的原函数。
另外两个常见的定理是平均值定理和拉格朗日中值定理。
平均值定理指出，如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上的平均值等于1/(b-a)∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx；拉格朗日中值定理指出，如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一个数c，使得：f(c)=(1/(b-a))∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx这两个定理为找出区间[a,b]上函数值的平均值或最大值提供了帮助。
定积分的定义
定积分
§6.1 定积分的定义
一、曲边梯形的面积 从几何的角度， 利用曲线的切线斜率可引出导数.现在通过计算曲线所围的平 面图形的面积可引出定积分。 已给连续曲线 y f ( x) , a x b ,(假定 f ( x) 0 )，问 S=?
y ↑
y=f(x )
S
0 a
△ Si
x i-1 xi
i 1 n
是辩证法的运用） 。 反过来，有了定积分的概念，曲边梯形的 面积 A= f ( x) dx
a b
( f ( x) 0 )
y ↑
y=f(x) A 0 a b →x
若 f ( x) 0 ，则 f ( 0 i)
n
(i 1,2, , n) ，此时曲边梯形的面积
n b
A= lim [ f ( xi lim f ( xi f ( x)dx i )] i )
231
的极限，是解决“求总量问题”的数学模型。这种和式极限方法是通过 “化整为零” ,在足够小的局部范围内用初等数学方法求出部分分量的近似值（以 直代曲） 。只有当对总量 S 无限细分，即当
n , 0 时，总量 S 的近似值（ f ( xi ）才能转化为总量的精确值（这 i )
( a, b).
y=f (x) d f (ξ ) c
例 判断 1 x ln xdx 的符号。
2 2
0
1
a
ξ
b
→
x
解
x
1 2 1 2
由积分中值定理有
1 1 2 2 ln xdx ( ln )(1 ) ( ln ) 0, 2 2
1 1. 2
第二积分中值定理： f ( x), ( x) C a , b , 且 ( x) 在 a, b 上不变号，则在 a, b 上至
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分定义法
定积分定义法
定积分的定义法主要有两种形式：Riemann积分和极限法。
Riemann积分是定积分的一种形式，其定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]上任意取分点{x_i} i=0 n，作成一种划分P:a=x0<x1<x2<…<xn=b，并任意取点ξ ∈ [xi-1,xi]，i = 1, 2, …, n。
那么函数f(x)在区间[a,b]上的定积分定义为：∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(ξi)Δxi，其中Δxi=xi−xi−1。
极限法也是定积分的一种定义形式，其定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=b−an，在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n)，作乘积f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)，并求和∑1nf(ξi)Δxi，记λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，若当λ→0时，和的极限存在且相等，则称这个极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx。
以上是定积分的两种定义法，它们从不同的角度描述了定积分的概念。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的定义法来解决问题。
定积分的定义
0
1
0
1
2.已知
2
0 f
x dx
8,则 ［2 f 0
x －2x］dx
________ .
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
吗？
提示:能.推广公式为
b f（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
6.已知 1x3dx 1，2 x3dx 15，2 x2dx 7，4 x2dx 56 .
0
41
41
32
3
求：（1） 2 3x3dx. 0
2
0 f
x dx
2
2
0
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
3.4 定积分的概念和性质
的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为 负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的 负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数） 性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n
定积分的概念与性质
(i
)xi
.
根据定积分的定义,
曲边梯形的面积为
A
b
a
f
(x)dx
.
变速直线运动的路程为
S
T2v(t)dt
T1
.
说明：
定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
b
a
f
(x)dx
b
a
f
(t)dt
b
a
f
(u)du
.
9
•定积分的几何意义
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
这是因为
b
a
f
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
3
y
y f (x)
oa
b
x
4
•求曲边梯形的面积 以直代曲
(1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, xixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(i)xi (xi1<i<xi);
.
•定积分各部分的名称 n
————积分符号, f (i)xi ———积分和.
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
8
二、定积分定义
❖定积分的定义
b
a
f
(x)dx
lim
0
n
i1
-定积分的概念
y
yf( x )
O
ax1
x i 1 x i
b
x
第四步：取极限
令 x max { x } (i 1,2, n), 则 i
n
曲边梯形面积 :S lim f ( ) x . i i
x 0 i 1
极限存在与否， 与分法 T 及点 的选择 . i
2. 变速直线运动的路程
y
yf( x )
A A 0 f g
yg ( x )
O
a
b
x
性质 6 b 若 f ( x ) 1x [ a , b ] 则 x )dx b a f(
a
y
1
f (x ) 1
O
a
b
x
性质 7 (估值定理 )
设 M , m 分别为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大 , 最小 , 则
以及两直线 x 及 x 轴， a ,x b 所围成 , 求其面积 S .
S?
y
yf( x )
设 f ( x ) 0 ,
f (x ) 在 [a ,b ] 上连续
O
ax1
x i 1 x i
任意引入分点
b
x
第一步：分割
称为区间的一个分法 T
a x x x x x x b , 0 1 i 1 i n 1 n
S . i与 i 的选择有关
x i 1
i xi
对每个小曲边梯形均作上述的代替
y
yf( x )
如何求精确值？
极限过程是什么？
O
ax1
x i 1 x i
b
x
第一节 定积分的概念与性质
第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例设()y f x =在区间[],a b 非负、连续．由直线x a =、x b =、0y =及曲线()y f x =所围成的图形（如图所示）称为曲边梯形．在区间[],a b 中插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= ，把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -它们的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，则可按下式近似计算曲边梯形的面积A ：()()()()11221.nn n i i i A f x f x f x f x ξξξξ=≈∆+∆++∆=∆∑如记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，则 ()01lim .ni i i A f x λξ→==∆∑二、定积分的定义定义 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入1n -若干个分点 0121,n n a x x x x x b -=<<<<<=把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为1102211,,,.n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-∆=-在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作和()1.ni i i S f x ξ==∆∑记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆ ，如果当0λ→时，和S 的极限总存在，且闭区间[],a b 的分法及点i ξ的取法无关，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即()()01lim ,nbiiai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰ 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[],a b 叫做积分区间．如果()f x 在[],a b 上的定积分存在，那么就说()f x 在[],a b 上可积．定理1 设()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积．定理2 设()f x 在区间[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积． 定积分的几何意义．在[],a b 上()0f x ≥时，定积分()ba f x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在[],a b 上()0f x ≤时，定积分()baf x dx ⎰表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的相反数．在[],a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形面积减去下方图形面积所得之差．习题5-13.利用定积分的几何意义，证明下列等式：（1）121xdx =⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分12xdx ⎰表示由直线2y x =、1x =及x 轴围成的图形的面积，该图形是三角形，底边长为1，高为2，因此面积为1，即12 1.xdx =⎰（2）4π=⎰；证 根据定积分的几何意义，定积分⎰表示的是由曲线y x 周、y轴围成的在第一象限内的图形的面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有.4π=⎰（3）sin 0xdx ππ-=⎰；证 由于函数sin y x =在区间[]0,π上非负，在区间[],0π-上非正．根据定积分的几何意义，定积分sin xdx ππ-⎰表示曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形1D 的面积减去曲线[]()sin ,0y x x π=∈-与x 轴所围成的图形2D 的面积，显然图形1D 与2D 的面积是相等的，因此sin 0.xdx ππ-=⎰（4）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰．证 由于函数cos y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上非负．根据定积分的几何意义，定积分cos xdxππ-⎰表示曲线c o s 0,2y x xπ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴所围成的图形1D 的面积加上曲线cos ,02y x x π⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与x 轴和y 轴所围成的图形2D 的面积，而图形1D 的面积和图形2D 的面积显然相等，因此2202cos 2cos .xdx xdx πππ-=⎰⎰。
定积分概念
b x
三:
定积分的基本性质
性质1.
b
a
kf ( x )dx = k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.
b
a
[ f ( x ) g( x )]dx = f ( x )dx g( x )dx
a a
定积分的基本性质 性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
三:
b
a
f ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx
a
b
y
y=-f (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S = [- f ( x)]dx
a b
S = [- f ( x)]dx
a
=b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
= S f (x)dx a f (x)dx =a c
b
f (x
= S f (x)dx a f (x)dx =a c
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
f )( dx x)dx = = f (x f )( dx x) dx )f (x f= )( dx x dx f (x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a c c a c
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2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
=8－4=4.
答案:4
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于 每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求 定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再 相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
2
0 f
x dx
2
20
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
B.一定为负
C.可能为正,也可能为负
D.不能判断
【解析】选A.由定积分的概念可知,
2
1
f
x的d值x 为曲边梯形
的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.
积求定积分的值.
2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.
【解析】1.（1）012d表x 示的是图（1）中阴影所示长方形的
面积，由于这个长方形的面积为2，所以
1
0 2dx
2.
答案:2
(2)
2
1
x表dx示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯形的面积为 3所, 以
2
2 xdx 3 .
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
6.已知 1x3dx 1，2 x3dx 15，2 x2dx 7，4 x2dx 56 .
0
41
41
32
3
求：（1） 2 3x3dx. 0
（2） 4 6x2dx. 1
（3）（2 3x2 2x3）dx. 1
【解析】（1） 2 3x3dx 3( 1x3dx 2 x3dx)
0
0
1
3( 1 15) 12.
44
（2） 4 6x2dx 6( 2 x2dx 4 x2dx) 6( 7 56) 126.
2
－2
f
x
dx
2
20
f
x
dx.
【证明】由定积分的性质可知
2 f xdx 0 f xdx 2f xdx，
－2
－2
0
由定积分的几何意义及偶函数的图象特征可知
0
－2
f
x
dx
2
0
f
x
dx，
所以
2
f －2
x dx
0
f －2
x dx
则(
)
1
A.0 f
x
dx
2
5B.1
f
x
dx
5
1
C.0 f
x dx
1
10D.0 f
x
dx
2
1
f
x
dx
10
【解析】选D.由定积分的性质可知
2
0
f
x
dx
1
0 f
x
1
1
2
33
（3）（2 3x2 2x3）dx 3 2 x2dx 2 2 x3dx
1
1
1
3 7 2 15 1 . 3 42
二、定积分的运算性质
正确理解定积分的性质，思考下列问题：
探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分
运算吗？
提示:能.推广公式为
a［b （f1 x） f（2 x） f（m x）］dx
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
类型 一 利用定义求定积分
1.利用定积分的定义求
1 x2 2 dx 0
的值.
【技法点拨】用定义法求积分的步骤
（1）分割：将积分区间［a,b］n等分.
（2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者
ξi=xi.
（3）求和：n
i1
b
a n
f（i）.
（4）求极限：bf（x）dx a
2 f xdx 1x 1dx 2 2x2dx.
0
0
1
2.
［2 f 0
x －2x］dx
2
0 f
x
dx－ 2 0
2xdx
因为
2
0
2x表dx示x=0,x=2,y=0,y=2x围成的图形的面积，
所以
2
2xdx 4.
0
所以
［2 f 0
x
－2x］dx
1.5.3 定积分的概念
1.定积分的概念
（1）定积分的定义式 b f（x）dx _lni_m__i_n1_b__n_a_f_（___i）_ . a
(2)积分下限_a_，积分上限_b_，积分区间_［__a_,_b_］__，被积函
数_f_(_x_)_,积分变量x,被积式_f_(_x_)_d_x_.
dx
2
1
f
x
dx
10.
4.计算
2
0
3x－1
dx
_______
.
【解析】 23x－1dx
2 3xdx－
2
1dx
0
0
0
1 2 6－2 1 4. 2
答案:4
5.由 y sin x, x 0, x , y 0所围成的图形的面积写成定积
lim
n
n i1
b
n
a
f（i）.
【变式训练】利用定积分的定义计算
2
1
x
1 dx
的值.
【解析】把区间［1,2］分成n等份,
每个小区间的长度为 x 1 ,
n
在
[ x i－1 ,
xi
]
[1
i上－1取,1
n
i n
]
i
x i－1
1
i－1 i
n
1,2,, n,
1
2
答案: 3
2
2.被积函数 y 9的 x图2 象是以原点为圆心，半径r=3的圆
位于x轴上方的部分（包括与x轴的交点）. 由积分的几何意
义可知，定积分 3 3
9 表x2示dx此半圆的面积.
【互动探究】本题2若改为“求定积分
3
3
9 x2 dx
的值”，
结果怎样？
【解题指南】根据定积分的几何意义，通过求规则图形的面
积分的性质求定积分的策略.
1.已知
f
x
x 1,0 x 1, 2x2,1 x 2,
则
2
0
f
x
dx
(
)
A. 2 x 1dxB. 2 2x2dx
0
0
C. 1x 1dx 2 2x2dxD. 12x2dx 2 x 1dx
0
1
0
1
2.已知
2
0 f
x dx
8,则 ［2 f 0
x －2x］dx
________ .
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
2
【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步 骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域. （2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下 方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果.
类型 三 定积分性质的应用
熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定
并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.
1.利用定积分的几何意义填空.
(1)
1
2dx ______________ .
0
2
(2) 1 xdx ______________ .
2.定积分 3 3
9 x2 dx
的几何意义是什么？
【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面
a kf
x dx
_k__a_b f__x__d_x__（k为常数).
（2） a［b f1 x f2 x ］dx _a_b f_1__x__d_x____ab_f2__x__d_x_ .
（3）
b
a
f
x
dx
_ac_f__x__d_x____cb_f__x__d_x__其__中__a___c___b_.
【拓展延伸】奇函数、偶函数在对称区间上的积分
（1）若f（x）为偶函数，且在［-a,a］上图象连续不断，
则 a f（x）dx 2 a f（x）dx.