高二数学：数列(讲义)

高考数学基础知识复习：数列概念
知识清单
1．数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n
a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n
a ；
数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n
a ，……，简记作
{}n
a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n
a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +
∈）， 数列②的通项公式是n
a = 1n
（n N +
∈）。

说明：
①{}n
a 表示数列，n
a 表示数列中的第n 项，n
a = ()f n 表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n
a =
(1)n
-=1,21()1,2n k k Z n k
-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公
式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替
()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1
n a -
（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

（6） 数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥
课前预习
1.（04 江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S =2
)
13(1-n a （对于所有1≥n ），且544=a ，
则1a 的数值是
2．（05广东，14）设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条
直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。

3.（01上海）若数列{}n a 前8项的值各异，且n n a a =+8，对任意的+∈N n 都成立，则下列
数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（ ） A
{}12+k a B {}13+k a C {}14+k a D {}16+k a
6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)
n a n n =
+，则5S 等于（ ）
A ．1
B ．
56
C ．
16
D ．
130
4．（07广东理）已知数列{n a }的前n 项和2
9n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）
A ．9
B ．8 C. 7 D ．6
4.（02上海）若数列{}n a 中，1a =3，且1+n a =2
n a （n 是正整数），则数列的通项n a =
5.（04 上海）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点。

○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○ ○○○○○○○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 6．（全国2文）已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．
7．（07江西理）已知数列{}n a 对于任意*
p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若11
9
a =
，则36a = ．
9．若数列{}n a 的前n 项和2
10(123)n S n n n =-=，
，，，则此数列的通项公式为
8．若数列{}n a 的前n 项和2
10(123)n S n n n =-=，
，，，则此数列的通项公式为
；数列{}n na 中数值最小的项是第
项．
高考数学基础知识复习：等差数列
知识清单
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

3、等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2
a b
A +=
a ，A ，
b 成等差数列⇔2
a b
A +=。

4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-==+。

5、等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，
如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m
a a d n m
-=
-()m n ≠；
（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ②
1
n n S a S a +=奇偶；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②
1
S n
S n =
-奇偶。

6、数列最值
（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；
（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n
S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或1
00n n a a +≤⎧⎨≥⎩。

课前预习
1．（01天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
2．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75 4．（01全国理）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A.1 B.2 C.4 D.6 3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项 5．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若
36S S ＝13，则612
S
S ＝（ ） A ．
3
10
B ．
13 C ．1
8
D ．
1
9
7．（94全国）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260
6．（02上海）设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，
S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A.d ＜0 B.a 7＝0 C.S 9＞S 5
D.S 6与S 7均为S n 的最大值
2．（07重庆理）若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B.4 C. 5 D. 6
4．（07天津理）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
6．等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12
8．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ） Ａ．2
3
-
Ｂ．13
-
Ｃ．
13
Ｄ．
23
3．（07湖北理）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
745
3
n n A n B n +=+，则使得n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22
lim n n n
a n S →∞-= ．
10．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 1．（07江西文）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=
．
高考数学基础知识复习：等比数列
知识清单
1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：
1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，2
1-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：)0(11
1≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则
m n m
n
a q a -=。

3．等比中项
如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，
q
q a S n n --=
1)1(1 或11n n a a q
S q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n
q ，
通项公式中是1
-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

5．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且
n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；
②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅，也就是：
=⋅=⋅=⋅--23121n n n
a a a a a a ，如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11
2,,,,,,12321。

③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 课前预习
1．（02 上海）若数列 {}
n a 中，31=a ，且2
1n n a a =+（n 为整正数），则数列的通项n a =
2．（04上海）在等差数列{}n a 中，当
s r a a =（s r ≠）时，{}n a 必定是常数数列，然而在
等比数列
{}n a 中，对某些正整数r,s （s r ≠），当s r
a a =时，非常数数列{}n a 的一个例子是
3．（04 上海）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。

设{}n a 是个公比为
q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组
①
1
S 与
2
S ②
2
a 与
3
S ③
1a 与
n
a ④q 与
n
a 其中n 为大于1的整数，
n
S 为
{}n a 的前n 项和。

4．（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（ ）
（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189 5．（2000上海，12）在等差数列｛a n ｝中，若a 10＝0，则有等式a 1+a 2+…＋a n =a 1+a 2+…＋a 19
－n
（n ＜19，n ∈N )成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9＝1，则有等式 成
立。

6．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程2
2510x x ++=的两个根,则47a a ⋅=( )
5()2A -
(B 1()2
C - 1
()2D
7.（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）
A ．1
2
2n +- B ． 3n
C ．2n
D ．31n
-
8．（2006年北京卷）设4
7
10
310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）
A ．
2(81)7
n
- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．4
2(81)
7n +-
1．（07重庆文）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8
3．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842
=+x x 的两根，则
=+20072006a a __________.
7．（07全国1理）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．
9．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2
23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ）Ａ．3
Ｂ．2
Ｃ．1
Ｄ．2-
2．（07湖南文）在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41
8
a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4
122-
B ．2
122-
C ．10
122-
D ．11
122-
7．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a 等于（ ） Ａ．4
Ｂ．8
Ｃ．16
Ｄ．32
高考数学基础知识复习：数列通项与求和
知识清单
1．数列求通项与和
（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨
⎧--1
1s s s n n 12
=≥n n 。

（2）求通项常用方法
①作新数列法。

作等差数列与等比数列；
②累差叠加法。

最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。

（3）数列前n 项和 ①重要公式：1+2+…+n=
2
1
n(n+1)； 12+22+…+n 2=
6
1
n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=4
1
n 2(n+1)2；
②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ；
③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q m S n ； ④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。

用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：
)11(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
、)1(1+n n =n 1－11
+n 、n ·n ！=(n+1)!
－n!、C n －1r －
1=C n r －C n －1r 、
)!1(+n n =!1
n －)!
1(1+n 等。

⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。

n n n c b a ⋅=, 其中
{}
n b 是等差数列，
{}
n c 是等比数列，记
n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++，…
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

⑦通项分解法：n n n c b a ±=
2．递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系a n+k =f(a n+k －1,a n+k －2,…,a n )称为数列的递归关系。

由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。

如由a n+1=2a n +1，及a 1=1，确定的数列}12{-n
即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：
（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。

（2）迭代法。

（3）代换法。

包括代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。

最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

课前预习
1．已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+n
i i i a a 11
1。

2．求)(,3211
4321132112111*N n n
∈+++++++++++++++。

3．设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和。

4．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

6．设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，
求和：n
n n n n n C a C a C a S +++=+ 11001
7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n 项和。

典型例题
一、有关通项问题
1、利用1
1(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩求通项．
EG ：数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列
吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？
变式题1、（2005湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；
变式题2、（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11
3
n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．
变式题3、（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且
*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．
2、解方程求通项：
EG ：在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知
658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.
变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于
（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3、待定系数求通项：
EG ：写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111
,41(1).2
n n a a a n -==+> 变式题1、（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的
通项公式；
4、由前几项猜想通项：
EG ：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式. 变式题1、（2007年深圳理科一模）．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n
边形“扩展”而来的多
（1）
（4）
（7）
（ ）
（ ）
边形的边数为
n
a，
则
6
a
=；
34599
1
111
a a a a
+++⋅⋅⋅+＝ .
变式题2、观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.
A．40个B．45个C．50个D．55个
二、有关等差、等比数列性质问题
EG：一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83 B．108 C．75 D．63
变式1、一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。

变式2、（江苏版第76页习题1）等比数列{}
n
a的各项为正数，且56473132310
18,log log log
a a a a a a a
+=+++=
则（）
A．12 B．10 C．8 D．2+
3
log5
EG：设数列{}n a是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）
A．1 B.2 C.4 D.8
变式题1、在各项都为正数的等比数列{}
n
a中，首项
1
3
a=，前三项和为21，则
345
a a a
++=
A 33
B 72
C 84
D 189
三、数列求和问题
EG：已知}
{
n
a是等差数列，其中
1
31
a=，公差8
d=-。

（1）求数列}
{
n
a的通项公式，并作2条直线相
交，最多有1
个交点
3条直线相
交，最多有3
个交点
4条直线相
交，最多有6
个交点
出它的图像；（2）数列}{n a 从哪一项开始小于0？（3）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．
变式题1、已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列
}{n a 前n 项和的最大值．
变式题2、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值．
EG ：求和：21123n n S x x nx -=++++
变式题1、已知数列42n a n =-和124n n b -=，设n
n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 变式题2、（2007全国1文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且
111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
变式题2．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .
3、利用等比数列的前n 项和公式证明
EG ：11
1221= (,0,0)n n n n n n n
a b a a b a b ab b n N a b a b ++---*-+++++∈>>- 变式题、（05天津）已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n .
当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ．
EG ：（1）已知数列}{n a 的通项公式为1(1)
n a n n =+，求前n 项的和；（2）已知数列}{n a 的通
项公式为n a =n 项的和．
变式题1、已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝
12n +，设13242
111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅，求n T ．
变式题2、数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足：a n+2－2a n+1＋a n ＝0（n ∈N*）， （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设n n n n b b b S N n a n b +++=∈-= 21*)()
12(1，，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有32
m S n >
总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由．。