环境系统分析PPT第8讲(1)
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中值误差可从误差分布的累积曲线上 求出，也可按下式计算：
环境系统分析PPT第8讲(1)
常 用 e0..5 的 10% 作 为 水 质 模 型 验 证 标 准，还有用绝对中值误差的。(公式分母 中yi去掉)
利用相关系数、相对中值误差和绝 对中值误差等验证方法还可验证所用参 数估值方法哪种效果更好些。
环境系统分析PPT第8讲(1)
2、相关系数法 统计学上衡量曲线拟合程度的量。
y和y'分别为观测值和计算值的平均 值。r越大相关关系越好（0≤ r ≤1）。
环境系统分析PPT第8讲(1)
当对y=α+βy‘+ε作回归分析证明 α=0和β=1时用相关系数验证才有实际 意义。ε表示计算值y和实测值y’之间 的误差。
环境系统分析PPT第8讲(1)
对于复杂的数学表达式，海森矩阵的 解析值很难计算，可以数值梯度来近似 的解析值。
对于海森矩阵的对角元素：
对于非对角元素：
环境系统分析PPT第8讲(1)
第五步：计算参数θi的修正值 θi1 第六步，计算新的目标函数值Z1
第七步 ，比较Z1和Z0
若
，则停止运算，并输出参数
环境系统分析PPT第8讲(1)
三、数学模型的灵敏度分析
X(km)
08
28 36 56
DO(mg/l) 10.0 8.5 7.0 6.1 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧 （Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为
Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的
变化规律符合下述方程:
环境系统分析PPT第8讲(1)
试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 常数Ka。 解：首先，建立目标函数
环境系统分析PPT第8讲 (1)
2020/11/23
环境系统分析PPT第8讲(1)
第四章 数学模型的参数估计及灵敏度分析
前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划
一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中
三维解析模型在大气质量的预测中普通采用
在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质
°, …θm °, 允许迭代误差为ℇ.
第二步：计算目标函数的初值
第三步：计算目标函数对参数的梯度。
环境系统分析PPT第8讲(1)
在函数的形式比较复杂，不易求得梯度 的解析式时，可以计算其数值梯度. 第四步：计算参数修正步长λ
环境系统分析PPT第8讲(1)
二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海森矩阵 。
环境系统分析PPT第8讲(1)
6、经验公式计算法 如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中
的方差等。除经验公式计算法外，其余方 法均应有自度量和因变量的实测输入输出 数据，注意使用条件，范围。
二、模型的验证与误差分析 在模型建立且参数估值之后，还应对
模型进行验证和误差分析方可投入应用。
环境系统分析PPT第8讲(1)
环境系统分析PPT第8讲(1)
2、一元线性回归分析法
亦称最小二乘法
该法有两个假定：
①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 值则含有测量误差；
②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（因变量偏差）的平方和 最小的直线。
环境系统分析PPT第8讲(1)
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 由
的估计值θi1 （i=1,2……n）
否则令
返回第三步 。
环境系统分析PPT第8讲(1)
若以相对误差表示则可取
|(Z1-Z0)/Z1| ≤ε
否则计算的允许选代误差（也称截断 误差）要视目标函数的绝对值大小而定。 用最优化方法估值时，要由经验给定参数 的初值。
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例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定 数据如下：
3、相对误差法
ei=∣yi-yi ∣ /yi
n组观测值与相应计算值数据可得n 个误差值，将这n个误差值从小到大排列， 可以求得小于某一误差值的误差的出现 频率以及累积频率为10%、50%和90%的误 差。
环境系统分析PPT第8讲(1)
通常采用中值误差（累积频率为50%） 作为衡量模型精确度的度量。 中值误差与统计学上的概率误差是一致的。
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5、网格法
假定有n个等定参数，且已知各参数 的取值范围，把各搜索区间（取值范围） 分成若干个等分，则参数空间
θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值，并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。
若精度还不够，则可再分细些。
在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。
环境系统分析PPT第8讲(1)
一、 模型参数的估值方法
n 有经验公式，图解法，最小二乘法和最优化 方法等估值方法
n 除经验公式外，其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。
1、 图解法
对经适当处理后以转换为直线的公式，均 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 精度和绘制直线的精度。
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3、多元线性回归分析 （原理相同）
以二元为例
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4、最优化估值方法 函数一般式 ： 建立目标函数：
使其最小（ Z min）。 对一个连续可微的目标函数可采用最速下 降法（一阶梯度法）。
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梯度法的步骤如下： 第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ 1°,θ 2
环境系统分析PPT第8讲(1)
用一阶梯度法，据前述的七步，编制计 算 机 程 序 ， 给 定 初 值 ， K0d=1.0d-1=0.042h-1 ， K0a=2.0d-1=0.083h-1 当目标Z=0.4681时，得 到参数的最优估计值:
Kd=0.053 h-1=1.27 d-1 Ka=0.19 h-1=4.67 d-1。（ℇ取的是0.0001）。
验证所用的数据应与参数估值时所用数 据独立，以模型的计算结果和实测数据之间 的吻合程度来判断。
常用方法：
1、Fra Baidu bibliotek形表示法
观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据 各自变量可得上面相应的两值。
由于环境系统问题的复杂性，对于大系 统，有的文献认为，对于观测值和计算值在 2倍误差范围内都认为满意。
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常 用 e0..5 的 10% 作 为 水 质 模 型 验 证 标 准，还有用绝对中值误差的。(公式分母 中yi去掉)
利用相关系数、相对中值误差和绝 对中值误差等验证方法还可验证所用参 数估值方法哪种效果更好些。
环境系统分析PPT第8讲(1)
2、相关系数法 统计学上衡量曲线拟合程度的量。
y和y'分别为观测值和计算值的平均 值。r越大相关关系越好（0≤ r ≤1）。
环境系统分析PPT第8讲(1)
当对y=α+βy‘+ε作回归分析证明 α=0和β=1时用相关系数验证才有实际 意义。ε表示计算值y和实测值y’之间 的误差。
环境系统分析PPT第8讲(1)
对于复杂的数学表达式，海森矩阵的 解析值很难计算，可以数值梯度来近似 的解析值。
对于海森矩阵的对角元素：
对于非对角元素：
环境系统分析PPT第8讲(1)
第五步：计算参数θi的修正值 θi1 第六步，计算新的目标函数值Z1
第七步 ，比较Z1和Z0
若
，则停止运算，并输出参数
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三、数学模型的灵敏度分析
X(km)
08
28 36 56
DO(mg/l) 10.0 8.5 7.0 6.1 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧 （Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为
Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的
变化规律符合下述方程:
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试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 常数Ka。 解：首先，建立目标函数
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2020/11/23
环境系统分析PPT第8讲(1)
第四章 数学模型的参数估计及灵敏度分析
前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划
一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中
三维解析模型在大气质量的预测中普通采用
在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质
°, …θm °, 允许迭代误差为ℇ.
第二步：计算目标函数的初值
第三步：计算目标函数对参数的梯度。
环境系统分析PPT第8讲(1)
在函数的形式比较复杂，不易求得梯度 的解析式时，可以计算其数值梯度. 第四步：计算参数修正步长λ
环境系统分析PPT第8讲(1)
二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海森矩阵 。
环境系统分析PPT第8讲(1)
6、经验公式计算法 如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中
的方差等。除经验公式计算法外，其余方 法均应有自度量和因变量的实测输入输出 数据，注意使用条件，范围。
二、模型的验证与误差分析 在模型建立且参数估值之后，还应对
模型进行验证和误差分析方可投入应用。
环境系统分析PPT第8讲(1)
环境系统分析PPT第8讲(1)
2、一元线性回归分析法
亦称最小二乘法
该法有两个假定：
①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 值则含有测量误差；
②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（因变量偏差）的平方和 最小的直线。
环境系统分析PPT第8讲(1)
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 由
的估计值θi1 （i=1,2……n）
否则令
返回第三步 。
环境系统分析PPT第8讲(1)
若以相对误差表示则可取
|(Z1-Z0)/Z1| ≤ε
否则计算的允许选代误差（也称截断 误差）要视目标函数的绝对值大小而定。 用最优化方法估值时，要由经验给定参数 的初值。
环境系统分析PPT第8讲(1)
例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定 数据如下：
3、相对误差法
ei=∣yi-yi ∣ /yi
n组观测值与相应计算值数据可得n 个误差值，将这n个误差值从小到大排列， 可以求得小于某一误差值的误差的出现 频率以及累积频率为10%、50%和90%的误 差。
环境系统分析PPT第8讲(1)
通常采用中值误差（累积频率为50%） 作为衡量模型精确度的度量。 中值误差与统计学上的概率误差是一致的。
环境系统分析PPT第8讲(1)
5、网格法
假定有n个等定参数，且已知各参数 的取值范围，把各搜索区间（取值范围） 分成若干个等分，则参数空间
θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值，并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。
若精度还不够，则可再分细些。
在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。
环境系统分析PPT第8讲(1)
一、 模型参数的估值方法
n 有经验公式，图解法，最小二乘法和最优化 方法等估值方法
n 除经验公式外，其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。
1、 图解法
对经适当处理后以转换为直线的公式，均 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 精度和绘制直线的精度。
环境系统分析PPT第8讲(1)
3、多元线性回归分析 （原理相同）
以二元为例
环境系统分析PPT第8讲(1)
4、最优化估值方法 函数一般式 ： 建立目标函数：
使其最小（ Z min）。 对一个连续可微的目标函数可采用最速下 降法（一阶梯度法）。
环境系统分析PPT第8讲(1)
梯度法的步骤如下： 第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ 1°,θ 2
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用一阶梯度法，据前述的七步，编制计 算 机 程 序 ， 给 定 初 值 ， K0d=1.0d-1=0.042h-1 ， K0a=2.0d-1=0.083h-1 当目标Z=0.4681时，得 到参数的最优估计值:
Kd=0.053 h-1=1.27 d-1 Ka=0.19 h-1=4.67 d-1。（ℇ取的是0.0001）。
验证所用的数据应与参数估值时所用数 据独立，以模型的计算结果和实测数据之间 的吻合程度来判断。
常用方法：
1、Fra Baidu bibliotek形表示法
观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据 各自变量可得上面相应的两值。
由于环境系统问题的复杂性，对于大系 统，有的文献认为，对于观测值和计算值在 2倍误差范围内都认为满意。
环境系统分析PPT第8讲(1)