人寿保险趸缴纯保费的厘定

E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内 的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。
基本函数关系
vt vn , t 0
vn , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt btvt 0 , t n
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
n et
0
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
n 0
e2t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 A1 x:n
n 0
e2t
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var
(
zt
)
2A1 x:n
(A1 )2 x:n
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全
保险
基本函数关系
vt
vt
v
m
,
n
t mn , t mn
0, t m zt btvt vt , m t m n
0 , t m bt 1 , t m
vmn , t m n
趸缴纯保费的厘定
符号： m
Ax:n
厘定
1
A m x:n
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
m
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2
m
Ax
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
5、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡， 保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险 人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n 年定期寿险的组合。
假定：(x)岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函数关系
Actuarial present value
Insurances payable at the moment of death
Insurances payable at the end of the year of death
Level benefit insurance
第二章中英文单词对照二
基本符号
(x) —— 投保年龄 x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 时值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例2.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
假定：(x) 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t m
1 , t m bt 0 , t m
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
Ax:m
A x m:n
A1
m x:n
m
1
Ax:n
现值随机变量的方差
记：
m年延期n年定期寿险现值随机变量为 z1 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 z2 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
Var ( z3 )
Var(z1) Var(z2 )
m
A1 x:n
第二章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构
人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 递归方程 计算基数
第二章中英文单词对照一
趸缴纯保费 精算现时值 死亡即刻赔付保险
死亡年末给付保险
定额受益保险
Net single premium
保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
m
1
Ax:n
7、递增终身寿险
定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特 殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增 函数
特别： 一年递增一次 一年递增m次 一年递增无穷次（连续递增）
一年递增一次
现值随机变量
例2.1
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A1 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例2.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
10 0
vt
f30 (t)dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0
70 70 ln1.1
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值 正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在 大数场合下，收费期望现时值等于支出期望 现时值
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险
延期保险 变额受益保险
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment
insurance Deferred insurance Varying benefit
insurance
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保 险标的的一种保险。它包括以保障期内被保 险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障 期内被保险人生存为标底的生存保险和两全 保险。
vt
vt vn
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
vt , t n
v
n
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1
n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为
z2 z3
已知
z3 z1 z2
则
1
1
E(z3) E(z1) E(z2) Ax:n Ax:n Ax:n
假定：(x) 岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
pxxt dt
现值随机变量方差
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) Cov(z1, z2 ) Var(z1) Var(z2 ) E(z1 z2 ) E(z1) E(z2 )
因为
所以
z1 z2 0
Var ( z3 )
Var(z1)
Var(z2 )
A1 x:n
1
Ax:n
例2.4（例2.1续）
1
A30:10
0.422
(2)
Var(zt )2
v20
10
p30
1
A30:10
2
0.0185
Var(zt )3
Var ( zt
Baidu Nhomakorabea
)1
Var ( zt
)2
A1 30:10
1
A30:10
0.0431
6、延期m年n年定期两全保险
定义
被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开 始为期n年的定期两全保险
(3) Pr(zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln
0.9
)
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln 0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
ln v 0.9 60
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡 均给付保险金的险种。
10
10
(2)
2 m
Ax
e0.12t 0.04e0.04t dt 0.04e0.16t
10
0.16
10
0.05047
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
0.0288
4、n 年定期生存保险
定义
被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保 险金的保险。
假定：(x) 岁的人，保额1元，n年定期生存保险
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
例2.2
设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 保险金在死亡即刻赔付 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
例2.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险，保 额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例2.3答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
0.04e0.04t
m Ax
e0.06t 0.04e0.04t dt 0.04 e0.1t dt 0.147
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例2.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
0
1 60
dt
( Ax )2
1 e120 (1 e60 )2
120 60
例2.2答案
0.092
（2）Var
(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922 0.055
70 ln1.21
2、终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内 的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x) 岁的人，保额1元终身寿险