第二章 空间解析几何.

第二章 空间解析几何

本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，

熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。

本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式； （2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件； （3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式。

本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的转化；

（2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。

本章教学内容：

§1 图形与方程

1．1 一般方程与参数方程

１．概念：

一般地讲，当空间取定一个仿射坐标系后，对于一个图形S ，如果S 上的点的坐标满足某种数量关系，而S 外的点的坐标不满足这种数量关系，我们就把这种数量关系称为S 的一个方程。通常以三个坐标x , y , z 作为变量的三元方程式或三元方程组，这种形式的方程称为图形的一般方程。另外，通过选取中间变量，使得三个坐标都随中间变量变化而变化得到的方程通常称为图形的参数方程。 ２．举例：

在直角坐标系中，以M 0(1, 4, -2)为球心，半径等于２的球面上的点的坐标满足方程式

(x-1)2+(y-4)2+(z+2)2=4,

这个方程就是这个球面的方程，同时称为这个球面的一般方程。如果我们选取两个中

间变量0≤θ≤π, θ≤ϕ <2π使得

⎪⎩

⎪

⎨⎧.cos 22,sin sin 24,cos sin 21θϕθϕθ+-=+=+=z y x 这个方程就是这个球面的参数方程。

３．例题：

在一个直角坐标系中，求参数方程

⎪⎩

⎪

⎨⎧===ht z t r y t r x ,sin ,cos 00ωω (t R ∈) 的图像，这里r 0>0, h ≠0, ≠ω0都是常熟。

解：略。

1． ２ 柱坐标系和球坐标系 １．概念：

取定空间的一个右手直角坐标架［O ; e 1 , e 2 , e 3］.于是在xy 平面上可确定一个极坐标系，它以O 点为极点，x 轴为极轴。设点M 的直角坐标为（x , y , z ）,它在xy 平面上的正投影M 0的极坐标设为（r ,φ）,则M 的位置可由r ,φ, z 这三个数确定。称有序数组（r ,φ, z ）为M 的柱坐标，其中r ≥0, 0φ≤<2π.我们把每一点到它的柱坐标的这种对应关系称为柱坐标系。记R 是M 到O 的距离，当R ≠0时，记∠=θ( e 3 ,OM

), 则M 的位置又可由R , φ, θ这三个数确定。称有序

数组（R , φ, θ）为M 的球坐标，其中R ≥０，０φ≤<2π, 0πθ≤≤.每一点到它的球坐标的这种对应关系被称为球坐标系。 ２．转化公式：

（１）从柱坐标计算直角坐标的公式：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===.,sin ,cos z z y r x φφ （２）从球坐标计算直角坐标的公式：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin θφθφθR z R y R x

§2 平面的方程

２．１ 平面的方程 １. 平面方程的推导：

取定空间的仿射坐标系［O ; e 1 , e 2 , e 3］.设平面π过点M 0，平行于两个不共线的向量u 1，u 2. 于是点M 在π上的充要条件是向量M M 0，u 1，u 2共面。即∃s,t ∈ R , s.t.

M 0=s u 1+t u 2.

此式即为平面π的向量式参数方程。 ２.平面的方程：

（１）平面π的（坐标式）参数方程

⎪⎩

⎪

⎨⎧++=++=++=，

tZ sZ z z ，tY sY y y ，tX sX x x 210210210（s,t ∈R ）. （２）平面π的一般方程

2

2

2

111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0.

计算左边的行列式，得到方程

A x +

B y +

C z +D=0

其中A=

2

2

11Z Y Z Y ，B=

2

2

11X Z X Z ，C=

2

2

11Y X Y X ，D=-2

2

2

111

000

Z Y X Z Y X z y x .

３．例题：

求过点P 1, 平行于向量21P P （－a, b, 0）和31P P （－a, 0, c ）(其中a, b, c 都不为零)的平面方程。 解：略

２．２ 平面一般方程的系数的几何意义 定理 2.1 假设平面π的一般方程是

A x +

B y +

C z +D=0，

则向量r (k, m ,n )平行于π的充要条件是

Ak+Bm+Cn=0.

证明：略。

２．３ 平面间的位置关系

命题 2.1 在一个仿射坐标系中，给出两张平面的方程：

1π：A １x +B １y +C １z +D １=0， 2π：A ２x +B ２y +C ２z +D ２=0.

则

（１）1π平行于2π⇔A 1 ：A 2 = B 1 ：B 2 = C 1 ：C 2 ； （２）1π＝2π⇔ A 1 ：A 2 = B 1 ：B 2 = C 1 ：C 2 = D 1 ：D 2 .

命题 2.2 在一个仿射坐标系中，给出三张平面的方程：

1π：A １x +B １y +C １z +D １=0，