3.6第三节解题方法(圆边界)
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y
x
.
21
例题分析与解答
• 沿+x方向射入的电子不需要磁场就满足题意； y
• 沿+y方向射入且运动满足题意的电子，其运动 轨迹如右图示
•此圆的方程为(x-R)2+y2=R2。
a
所以磁场的上边界由圆弧oac确定。
设电子入射方向与x轴成θ角，其运
动轨迹是右图中的圆弧obd。电子只 有在b处离开磁场才能满足题意
侧有一竖直挡板，
，P，现有一质量m＝
带电荷量q＝＋2×10－14 C的粒子，
.
18
4
[解析] (1)粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹
力提供向心力，由qv0B＝mvr20，T＝2vπ0r得：粒子在
磁场中做圆周运动的半径r＝
mv0 qB
＝0.3
m，粒子在
磁场中做圆周运动的周期T＝
2πm qB
＝2π×10－5
1、沿半径射入时，质子离开磁场时的运动方向？ 磁场中的运动时间？
2、沿与半径成30°角射入时，质子离开磁场时的 可能的运动方向？磁场中的可能的运动时间？
在圆形磁场区域内沿径向射入 的粒子,必沿径向射出.
两个圆心和粒子进、出磁场的点， 四点构成菱形。
.
8
磁场为圆形磁场 、与轨迹半径相等
例一：如图圆形边界磁场，半径为a，有一质子m、q 进入该磁场做匀速圆周运动，轨道半径也为a。 1、沿半径射入时，质子离开磁场时的运动方向？ 磁场中的运动时间？ 2、沿与半径成30°角射入时，质子离开磁场时的 可能的运动方向？磁场中的可能的运动时间？
.
9
3．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方 向垂直于纸面向里．x轴为过磁场边O点的切线，如图所 示．从O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子， 设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中的偏转半径也 为r．已知电子的电量为e，质量为m． （1）速度方向分别与Ox方向的夹角成60°和90°的电子 在磁场中的运动时间分别为多少？ （2）所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？ （3）设在x轴上距O点2r处，有个N点，请设计一种匀强 磁的场电分子布都， 能使 够由 汇聚O点至向N点平面．内y各个方向发射的速率均为v0
与半径成θ角射入磁场，必与半径成θ射出。
θ
θ
.
3
d:圆轨迹半径和磁场半径相等时，几何特点
两个圆心和粒子进、出磁场的点， 四点构成菱形：对边平行且相等
对角线垂直且平分。
.
4
二一、、利用磁场控制带电粒子运动
1．原理：真空条件下，圆形匀强磁场区域中， 若一个初速度为 v0 的带电粒子(m、q)，沿磁 场区域的直径射入磁场，射出时偏转了 θ 角， 则若决磁定R＝场？_m半q_Bv_径0，已ta知nθ2为＝r_，Rr_，求故偏t转an角θ2＝由_什mq_B_v么r，0 因通素过调 节_B_和_v__0 的大小可以控制粒子的偏转角度 θ.
y
O
Nx
结论：从O点进入的粒子，均平行X轴向右运动（菱形）；
反之，平行X轴运动的粒子，汇聚于O点
.
12
穿过圆形磁场的最值特点
例二、在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内， 有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图 所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场 边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比 为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则
14
有界磁场的设计
例1、一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于 Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的 区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴 的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于Oxy平 面、磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在
一个长方形区域内，试求这个长方形磁场区域的最小 面积（重力忽略不计）。
.O
Nx
10
3．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，电子 在磁场中的偏转半径也为r．
y
y
o1 O3
O
x
O
x
o2
结论：从O点进入的粒子，均平行X轴向右运动（菱形）；
反之，平行X轴运动的粒子，汇聚于O点
.
11
（3）设在x轴上距O点2r处，有个N点，请设计一种匀强 磁场分布，使由O点向平面内各个方向发射的速率均为v0 的电子都能够汇聚至N点．
粒子轨迹方程应用
• 在xoy平面内有许多电子（质量为m，电量 为e），从坐标原点不断地以大小相同的速 度 个垂V0直沿于不x同o方y平向面射的入匀第强Ⅰ磁象场限，。要现求加这上些一电 子穿过磁场后都能平行于x轴向+x方向运动， 求符合该条件的磁场的最小面积。
y
ห้องสมุดไป่ตู้
v
.
x
23
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板， 且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重
力不计．求：
(1)粒子在磁场中做圆周. 运动的半径；
17
电粒(子1)粒在子在 磁磁场场中中做运圆周动运的动的几半径 何；关系分析
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)正三角形磁场区域的最小边长．
所所示，在倾角为30°
带电粒子运动习题
圆形边界磁场中的几何特点
.
1
圆周运动的规律： 粒子在磁场中做圆周运动的对称规律： a.速度与轨迹圆的弦的夹角不变。 b.轨迹圆上两点的切线交点与这两点的距离相等。
.
2
C.两个圆相交的几何特点: 红色圆为磁场边界 黑色圆为运动轨迹
进入、射出圆形磁场的速度方向，与半径夹角不变。 即：向圆心射入的粒子，必背离圆心射出；
特点： 向心射入、背心射出
.
5
.
6
O 30°
30° 30°
E
R=OE r=EM
三角形OEM中可知 R = r
F
Bqv mv2 r
r
30°60°
rM
解得
v BqR m
思考：从F点射出的速度与OF夹角是多大？
特点：两个圆的圆心连线垂直公共弦、平分对角
.
7
磁场为圆形磁场 、与轨迹半径相等
例一：如图圆形边界磁场，半径为a，有一质子m、q 进入该磁场做匀速圆周运动，轨道半径也为a。
（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少
.
13
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角， 其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表 示）？最大偏转角多大？
(3)若要粒子在磁场中运动
时间最长粒子运动的方向如何？
圆形边界磁场 中的旋转圆问题
当轨迹半径大于磁场半径时，
轨迹上的弦越长，.圆心角越大。
s＝
6.28×10－5 s.
(2)画出粒子的运动轨迹如图所
示，由粒子的运动轨迹可知t＝56T，
.
19
得t＝53π×10－5 s＝5.23×10－5 s. (3)由如图粒子的运动轨迹和数学知识可得正三 角形磁场区域的最小边长：L＝ 2r＋corsc3o0s°30°，得L＝ r( 43＋1)＝0.99 m.
y
a →v
.
O
b v
x 15
y a →v
O
bx
v
轨迹半径： R m v qB
2m v
磁场最小半径：r
. 2qB
16
不清 有界磁场的设计
例2 如图所示，在倾角为30°
的斜面OA的左侧有一竖直挡板，
其上有一小孔P，现有一质量m＝
4×10－20 kg，带电荷量q＝＋2×10－14 C的粒子，
从小孔以速度v0＝3×104 m/s水平射向磁感应强度 B＝0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区
[答案] 见解析
.
20
有界磁场的设计
4、如图所示，在xoy平面内有许多电子（质量为m， 电量为e）从坐标原点O不断地以相同大小的速度v。 沿不同的方向射入第I象限，现加上一个垂直于xoy平 面的匀强磁场，磁感应强度为B，要求这些电子穿过 该磁场后都能平行于x轴正方向运动， 试求符合该条件的磁场的最小面积。
o
b
θ
R
d
c
x
所以确定动点b的轨迹方程即可确定磁
θ
场的下边界。由图可知
x=Rsinθ y=R(1-cosθ) 得x2+(y-R)2=R2 可知b点的轨迹方程是以点的坐标是（0，R）为圆心、R为半径的圆弧。 磁场的最小区域由两个圆(x-R)2+y2=R2、x2+(y-R)2=R2相交的区域组成
S 1 4 π R 2 1 2 R 2 2 . π 2 1 R 2 m 2 V 2 0 e 2 2 B π 2 2 2.2
x
.
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例题分析与解答
• 沿+x方向射入的电子不需要磁场就满足题意； y
• 沿+y方向射入且运动满足题意的电子，其运动 轨迹如右图示
•此圆的方程为(x-R)2+y2=R2。
a
所以磁场的上边界由圆弧oac确定。
设电子入射方向与x轴成θ角，其运
动轨迹是右图中的圆弧obd。电子只 有在b处离开磁场才能满足题意
侧有一竖直挡板，
，P，现有一质量m＝
带电荷量q＝＋2×10－14 C的粒子，
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[解析] (1)粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹
力提供向心力，由qv0B＝mvr20，T＝2vπ0r得：粒子在
磁场中做圆周运动的半径r＝
mv0 qB
＝0.3
m，粒子在
磁场中做圆周运动的周期T＝
2πm qB
＝2π×10－5
1、沿半径射入时，质子离开磁场时的运动方向？ 磁场中的运动时间？
2、沿与半径成30°角射入时，质子离开磁场时的 可能的运动方向？磁场中的可能的运动时间？
在圆形磁场区域内沿径向射入 的粒子,必沿径向射出.
两个圆心和粒子进、出磁场的点， 四点构成菱形。
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磁场为圆形磁场 、与轨迹半径相等
例一：如图圆形边界磁场，半径为a，有一质子m、q 进入该磁场做匀速圆周运动，轨道半径也为a。 1、沿半径射入时，质子离开磁场时的运动方向？ 磁场中的运动时间？ 2、沿与半径成30°角射入时，质子离开磁场时的 可能的运动方向？磁场中的可能的运动时间？
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3．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方 向垂直于纸面向里．x轴为过磁场边O点的切线，如图所 示．从O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子， 设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中的偏转半径也 为r．已知电子的电量为e，质量为m． （1）速度方向分别与Ox方向的夹角成60°和90°的电子 在磁场中的运动时间分别为多少？ （2）所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？ （3）设在x轴上距O点2r处，有个N点，请设计一种匀强 磁的场电分子布都， 能使 够由 汇聚O点至向N点平面．内y各个方向发射的速率均为v0
与半径成θ角射入磁场，必与半径成θ射出。
θ
θ
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d:圆轨迹半径和磁场半径相等时，几何特点
两个圆心和粒子进、出磁场的点， 四点构成菱形：对边平行且相等
对角线垂直且平分。
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二一、、利用磁场控制带电粒子运动
1．原理：真空条件下，圆形匀强磁场区域中， 若一个初速度为 v0 的带电粒子(m、q)，沿磁 场区域的直径射入磁场，射出时偏转了 θ 角， 则若决磁定R＝场？_m半q_Bv_径0，已ta知nθ2为＝r_，Rr_，求故偏t转an角θ2＝由_什mq_B_v么r，0 因通素过调 节_B_和_v__0 的大小可以控制粒子的偏转角度 θ.
y
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结论：从O点进入的粒子，均平行X轴向右运动（菱形）；
反之，平行X轴运动的粒子，汇聚于O点
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穿过圆形磁场的最值特点
例二、在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内， 有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图 所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场 边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比 为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则
14
有界磁场的设计
例1、一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于 Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的 区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴 的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于Oxy平 面、磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在
一个长方形区域内，试求这个长方形磁场区域的最小 面积（重力忽略不计）。
.O
Nx
10
3．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，电子 在磁场中的偏转半径也为r．
y
y
o1 O3
O
x
O
x
o2
结论：从O点进入的粒子，均平行X轴向右运动（菱形）；
反之，平行X轴运动的粒子，汇聚于O点
.
11
（3）设在x轴上距O点2r处，有个N点，请设计一种匀强 磁场分布，使由O点向平面内各个方向发射的速率均为v0 的电子都能够汇聚至N点．
粒子轨迹方程应用
• 在xoy平面内有许多电子（质量为m，电量 为e），从坐标原点不断地以大小相同的速 度 个垂V0直沿于不x同o方y平向面射的入匀第强Ⅰ磁象场限，。要现求加这上些一电 子穿过磁场后都能平行于x轴向+x方向运动， 求符合该条件的磁场的最小面积。
y
ห้องสมุดไป่ตู้
v
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x
23
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板， 且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重
力不计．求：
(1)粒子在磁场中做圆周. 运动的半径；
17
电粒(子1)粒在子在 磁磁场场中中做运圆周动运的动的几半径 何；关系分析
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)正三角形磁场区域的最小边长．
所所示，在倾角为30°
带电粒子运动习题
圆形边界磁场中的几何特点
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1
圆周运动的规律： 粒子在磁场中做圆周运动的对称规律： a.速度与轨迹圆的弦的夹角不变。 b.轨迹圆上两点的切线交点与这两点的距离相等。
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2
C.两个圆相交的几何特点: 红色圆为磁场边界 黑色圆为运动轨迹
进入、射出圆形磁场的速度方向，与半径夹角不变。 即：向圆心射入的粒子，必背离圆心射出；
特点： 向心射入、背心射出
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5
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O 30°
30° 30°
E
R=OE r=EM
三角形OEM中可知 R = r
F
Bqv mv2 r
r
30°60°
rM
解得
v BqR m
思考：从F点射出的速度与OF夹角是多大？
特点：两个圆的圆心连线垂直公共弦、平分对角
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磁场为圆形磁场 、与轨迹半径相等
例一：如图圆形边界磁场，半径为a，有一质子m、q 进入该磁场做匀速圆周运动，轨道半径也为a。
（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少
.
13
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角， 其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表 示）？最大偏转角多大？
(3)若要粒子在磁场中运动
时间最长粒子运动的方向如何？
圆形边界磁场 中的旋转圆问题
当轨迹半径大于磁场半径时，
轨迹上的弦越长，.圆心角越大。
s＝
6.28×10－5 s.
(2)画出粒子的运动轨迹如图所
示，由粒子的运动轨迹可知t＝56T，
.
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得t＝53π×10－5 s＝5.23×10－5 s. (3)由如图粒子的运动轨迹和数学知识可得正三 角形磁场区域的最小边长：L＝ 2r＋corsc3o0s°30°，得L＝ r( 43＋1)＝0.99 m.
y
a →v
.
O
b v
x 15
y a →v
O
bx
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轨迹半径： R m v qB
2m v
磁场最小半径：r
. 2qB
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不清 有界磁场的设计
例2 如图所示，在倾角为30°
的斜面OA的左侧有一竖直挡板，
其上有一小孔P，现有一质量m＝
4×10－20 kg，带电荷量q＝＋2×10－14 C的粒子，
从小孔以速度v0＝3×104 m/s水平射向磁感应强度 B＝0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区
[答案] 见解析
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有界磁场的设计
4、如图所示，在xoy平面内有许多电子（质量为m， 电量为e）从坐标原点O不断地以相同大小的速度v。 沿不同的方向射入第I象限，现加上一个垂直于xoy平 面的匀强磁场，磁感应强度为B，要求这些电子穿过 该磁场后都能平行于x轴正方向运动， 试求符合该条件的磁场的最小面积。
o
b
θ
R
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c
x
所以确定动点b的轨迹方程即可确定磁
θ
场的下边界。由图可知
x=Rsinθ y=R(1-cosθ) 得x2+(y-R)2=R2 可知b点的轨迹方程是以点的坐标是（0，R）为圆心、R为半径的圆弧。 磁场的最小区域由两个圆(x-R)2+y2=R2、x2+(y-R)2=R2相交的区域组成
S 1 4 π R 2 1 2 R 2 2 . π 2 1 R 2 m 2 V 2 0 e 2 2 B π 2 2 2.2