均匀设计和均匀设计软件

均匀设计表U9*(94)和它的使用表
均匀设计表 U9*(94) U 9*(94)的使用表
均匀设计表的使用表的产生方法
均匀设计表U13 *(134 ) 和它的使用表及3 因素时各次试验2 7 12
3
4
S 2 3 4 试验次数序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 3 3 2 因素 1选用水平 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
o § § § §
正交试验设计利用： 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情 况的试验结果 但是， 当试验中 因素数或水平数比 较大时，正交试验的次数也 会很大。如 5因素 5水平， 用正交表需要安 排 5× 5＝ 25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用 5次试验 就可能 得到能满足需要 的结果
9 9 3 10 10 8 11 11 13 12 12 13 13 4 9
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + L + bm xm
试验结果分析
^
(8 − 1)
令 xik 代表因素xi 在第 k次 试验时取的 值，y k 表 示响 应值 y在第k次 试验的结果。
n _ _ Lij = ∑ xik − x i xik − x j i , j = 1,2,L , m k =1
列 号
D 0.0962 4 3 4 0.1442 0.2076 因素3选用水平 11 8 5 2 13 10 7 4 1 12 9 6 3
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 9 2 5 8 1 4 7
3 7 6 1 8 5 2 9 6 3
4 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(8 − 10) (8 − 11)
利用均匀设计表来安排试验的步骤： 步骤1 根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 步骤2 选择适合该试验的均匀设计表 ，然后根据该表的 使用 表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这 些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好 了
o 正交设计具有正交性，如果试验按它设计，可以估计出因素的主 效应，有时也能估计出它们的交互效应。 o 均匀设计是非正交设计，它不可能估计出方差分析模型中的主效 应和交互效应，但是它可以估出回归模型中因素的主效应和交互 效应
§ §
均匀设计法与正交设计法的不同： 均匀设计法不再考虑 “数据整齐可比 ”性，只考虑试验点在试验范围内充分 “均衡分散”
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
5 7 10 10 3 9 4 10 8 9 6 7 3 2 6 8 9 5 2 5 4 7 1 3 1 8 2 6 4 1 11 11 11
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表的是 哪个因素的水平，需按使用表确定，使用表 s一栏的数字是试验 的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行试验时该如何 选择设计表的列；使用表中 D栏代表不同因素数选择设计表的不 同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均匀性越好，试验成功的 几率和结果的可靠性越大。
i =1 i =1 j ≥1 i=1 m T m 2 (T = Cm )
L11b1 + L + L1M bm = L1 y L21b1 + L + L2 mbm = L2 y LL L b + L + L b = L mm m my m1 1 N _ _ b0 = y − ∑ bi yi i =1
均匀表的代号 因素数：列
U7(76)
因素的水平 数 试验次数
均匀设计表分为U型和U*型两种类型 U*型表的均匀性较好，而U型表可容纳更多的试验因素
均匀设计表 U11 1110，可 安排10因素， 11水平的试验，共进行 11次试验。 均匀设计表 的试验次 数一般为奇数，使用 时根据水平数选用， 例如做 5水平的试验， 选用 U554， 7水平选用U 776表 当水平数为偶数时，用 比它大 1的奇数表 ，划去最 后一行可 得到。例如 U101010表是通过 U11 1110 表 划去最后一行得到 的 利 用U表安排的试验点是很 均匀的， 例如对 2因素 11水平试验点的布 置，可 由U111110表及其使用 表 来确定，布点 情况如图， 从布点图 可以直观 看出布点 是均衡分散的
均匀设计适合于多因素多水平试验
o 正交设计用于水平数不高的试验，因为正交设计的试验数至少为 水平数的平方。 o 例如：有五个因素，每个因素取 31水平，其全部组合有 315=286251514 个 o 若用正交设计，至少需要做312=961次试验 o 而用均匀设计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验 o 正交设计的数据分析程式简单，有一个计算器就可以了，且 “直观 分析”可以给出试验指标Y随每个因素的水平变化的规律 o 均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选 变量的技巧，非使用电脑不可
i = 1, 2,L , m
xi = ∑ xi
i =1
_
N
i = 1,2,L m
1 N ∑ yk N i =1 回归方 程组系 数由下 列正规方程组决定： y=
_
(8 − 6)
当 各因素与响 应值关系是 非线性 关系时 ，或 存在因素 的交 互作 用时，可采用 多项 式回归 分析的方法 例 如各因素与 响应值 均为二 次关系时的 回归方 程为 ： y=b0 + ∑ bi xi + ∑ bij xi x j + ∑ bii xi 2
均匀设计表 § 均匀设计表符号表示的意义
o o 均匀设计属于近年发展起来的 “伪蒙特卡罗方法”的范筹。 将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时， 计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际 应用 o 乌拉母（ S.Ulam ）与冯诺依曼 (J.von Neumann) 在 40年代提出蒙特 卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是 将一个分析问题化为一个 有同样解答的概率问题 ，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题 ，这 样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。 蒙特卡罗方法的 关键是找一组随机数作为统计模拟之用 ，所以这一方法的 精度在于随机数的均匀性与独立性。
均匀设计独特的布（试验）点方式： § 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 § 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个 试验点 § 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各因素， 每个因素的每个水平一视同仁。 § 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1
在正交设计表中，当考察某一因素各水平的效应时，其他因素出现在待考察因素 各水平的机会是均等的，因此正交设计表中各列的地位是相等的，各因素安排在 表中任何一列都是允许的。 均匀设计表不同：表中各列不平等，因素所应安排列的位置是不能随意变动的。 当试验中因素个数不同时，需要根据因素的多少，依据 使用表来确定因素所应占 用的列号。
均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方 法 通常要用回归分析或逐步回归分析的方法
(8 − 2) (8 − 3) (8 − 4) (8 − 5)
Liy = ∑ xik − xi yk − y K =1
N _ _ _ L yy = ∑ y k − y i =1 N 2
UD与OD的比较
试验数相同时的偏差的比较 当因素数 s=2-5 时两种试验的偏差比较 例如，当 s=2 时， 若用 L82 7来安排试验， 其偏差为 0.4375 若用U*88 8表，则偏差最好时要达 0.1445 。 显然后者 比前者均匀性要好 得多 值得注意 的是，在比较中没 有全部用 U* 表，如果全部用 U*表， 其均匀设计的偏差 会进一步 减小。这种比较方法 对正交设计 是不公平 的，因为当 试验数给 定时，水平 数减少， 则偏差会 增大。所以 这种比较 方 法正交设计明显地吃亏。 表的前 两列给出 了两种设计水平数相 同，但 试验数不同的比较 ，其中当 均 匀设计的试验数 为 n 时，相应正交设 计的试验数为 n2，例 如U66 2的 偏差 0.1875 ，而 L366 2的偏差为 0.1597 ， 两者差 别并不很大。所以用 U662安排 的试验 其效果虽 然比不上 L366 2，但其 效果并 不太差，而试验次数却 少了 6 倍。 水平数相同时偏差的比较
什么是均匀设计(Uniform Design)
均匀设计和均匀设计软件
所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的 方法，均匀设计也不例外 均匀设计由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法 中的“伪蒙特卡罗方法”(即统计模拟方法)的一个应用 只考虑试验点在试验范围内均匀散布，不考虑 整齐可比 将“数论方法”和“统计试验设计”相结合，发明的一种全新的试验设计 方法
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 原 4因 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 6 5 4 3 2 1
§ 用U6(64)的1， 3 和 1，4 列分别画图，得到下面的图 (a)和 图 (b)。 § (a)的点散布比 较均匀，而 (b)的点散布并不均匀。 § 均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因 此， 每个均 匀设计表 必须有一个附加的使用表 。
s 2 3 1 2
列 号 2 3 4
D 0.1574 0.1980
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
9 11 4 8 13 5 8 2 3 13 12 10 7 7 2 4 11 1 6 12 1 9 10 5 6 3
因素 2选用水平 9 4 13 8 13 12 7 2 11 6 13 10 5
列 号 D 0.1632 0.2649 0.3528 0.4286 0.4942
• 例如，做 2因素11水平的试验，应选用U11（116）表 • Uniform Design Version 3.00 • 表中共有6列，现在只有2个因素，根据U11（11
6 ）的使用表，应取
1，5列安排试验。当有四个因素时，应取1，3，4，5列。
两因素均匀设计布点图
关于均匀设计的使用表
§ 每 个均匀设计表都附 有一个使用表 ，它指 示我们 如何从 设计表中 选用适当的列，以及由 这些列所组 成的试验方案的均匀度 。 § § 例如： U 6(64)的使用表。它告诉我们 ，若有两 个因素，应选用 1，3两列来 安排试验；若 有 三 个因素，应选用 1，2， 3三列， … 最 后1列D 表示刻划 均匀度的偏差 (discrepancy) ，偏差 值越小， 表示均匀 度越好 。
(8 − 9)
（8－7）
其 中xi x j反映了因素间 的交互效应， xi 2反映因素的二 次项 效应 ，通过变量代换 (8-9)式可 化为多元线 性方程 求 解。
应用举例
即令 方 程(8 − 9)化为
x1 = xi x j (i = 1,2,L m; j ≥ 1) y = b0 +
^ 2 m+T l =1
§ 如U6(64)表示要做6次试验，每个因素有6个水平，该表有4列。
U6(64)
试验号 列号
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 6 5 4 3 2 1
U*6(64)的使用表
s
2 3 4
列 1 1 1 3 2 2
号 3 3 4
D
0.1875 0.2656 0.2990
均匀设计表U11(116)和它的使用表
均匀设计表 U11(116 )
1 2 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 11 3 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 11 4 5 6 因素 S 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 5 4 3 2 2 5 4 3 3 5 4 4 5 5 6
U 11(11 6)的使用表