第16讲--序列密码2(密码学)
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若n次多项式f(x)是不可约多项式且p(f)=qn-1 ，
则称f(x)是GF(q)上的本原多项式。
以本原多项式为联系多项式产生的非零序列均是
m序列。
习
题
一、一个线性移位寄存器如图， （1）写出该线性移存器的线性递推式。 （2）写出该线性移存器的联系多项式。
1
2
3
4
f ( x)
二、已知 f ( x ) x 6 x 1 是6次本原多项式，a是 成的m序列， a的周期是多少？
解：产生 a=01111000……的联系 多项式
设其联系多项式f(x)=1+c1x+c2x2+c3x3+x4 线性递推式at=at-4+c3at-3+c2at-2+c1at-1 0+c3+c2+c1=1 1+c3+c2+c1=0 1+c3+c2+0=0
1+c3+0+0=0
解得：c3=1；c2=0；c1=0 故其联系多项式为1+x3+x4
特例：当q=2时，G(f)中任意两个序列之和仍然属
于G(f)。
(不)可约多项式
(不)可约多项式
定义：若存在g(x),h(x)，使得f(x)=g(x)h(x)，
则称f(x)是可约多项式；否则，称其为不
可约多项式。
定理2：若f(x)|h(x)，则G(f) G(h).
例1：联系多项式为
xn
x n 1
…… ……
x2
x1
输出
f ( x 1 , x 2 , , x n 1 , x n )
图 线性反馈移位寄存器 说明：上图中标有 x i 的小方框表示第i 级寄存器，最右端的寄存器为第1级寄存 器，最左端的寄存器为第n级寄存器.
序列和周期
a 一般地，一个移存器序列表示为： a0 a1a2 ai
其中 ci GF ( q ),1 i n ，则称其为线性反馈移位寄
其中 c n
0 ，若 c n 0
我们说该寄存器是退化
的，否则是非退化的。
移位寄存器序列空间
符号说明：G(f)表示以f(x)为联系多项式的n阶线
性移位寄存器序列构成的空间 定理1：G(f)是GF(q)上的一个n维线性空间。 证明（略）
f(x)=x4+x3+x+1=(x+1)2(x2+x+1) 线性递推式：at=at-4+at-3+at-1 输出序列 000111//000111//…… 周期为6 011//011//…… 周期为3 001//001//…… 周期为3 01//01//…… 周期为2 111111….. 周期为1 000000…… 周期为1
生
习题三
已知流密码的密文串101011和相应的明
文串010001，而且还已知密钥流是使用3 级线性移位寄存器产生的，试破译该密码 系统。
对于序列 a a a a a ，若存在整数p使得对 任意正整数k有 ak ak p 成立，称满足该式的最小正 整数p为序列的周期。
0 1 2 i
r级线性反馈移存器的最长周期: 2 1 ，能 达到最长周期的线性移存器序列称为m序列。
r
线性移位寄存器
解方程法 已知序列a是由n级线性移位寄存器产生的，且知 a的连续2n位，可用解线性方程组的方法得到 线性递推式。 例：设a=01111000是4级线性移位寄存器产生的 序列的8个连续信号，求该寄存器的线性递推 式。
序列密码与线性 移位寄存器
移位寄存器序列的三种表示方法：
线性递推式（一元多项式）：
at+n=c1at+n-1+c2at+n-2+…+cnat ,t>=0 联结多项式： f(x)=1+c1x+c2x2+…+cnxn 状态转移矩阵： 满足： st+1=stTf 称st=(at,at+1,at+2,…,at+n-1)为n维状态
Hale Waihona Puke Baidu
多项式
实例（画出移位寄存器的逻辑框图，写出相 应的线性递推式）
f ( x) x x x 1
4 3 2
答案： 线性递推式： at=at-4+at-3+at-2
非退化的移位寄存器
若反馈函数形如： f ( x1 , x 2 , , x n ) c n x1 c n 1 x 2 c1 x n 存器；否则称其为非线性反馈移位寄存器。
极小多项式
定义：对于一条移位寄存器序列a，称其联系多
项式中次数最低的多项式为a的极小多项式。
定义：满足f(x)|1-xr的最小正整数r为f(x)的周期，
记为p(f(x))，简记为p(f)。
例子： x4+x3+x2+x+1的周期为5
(x4+x3+x2+x+1)(x+1)=x5+1
本原多项式
则称f(x)是GF(q)上的本原多项式。
以本原多项式为联系多项式产生的非零序列均是
m序列。
习
题
一、一个线性移位寄存器如图， （1）写出该线性移存器的线性递推式。 （2）写出该线性移存器的联系多项式。
1
2
3
4
f ( x)
二、已知 f ( x ) x 6 x 1 是6次本原多项式，a是 成的m序列， a的周期是多少？
解：产生 a=01111000……的联系 多项式
设其联系多项式f(x)=1+c1x+c2x2+c3x3+x4 线性递推式at=at-4+c3at-3+c2at-2+c1at-1 0+c3+c2+c1=1 1+c3+c2+c1=0 1+c3+c2+0=0
1+c3+0+0=0
解得：c3=1；c2=0；c1=0 故其联系多项式为1+x3+x4
特例：当q=2时，G(f)中任意两个序列之和仍然属
于G(f)。
(不)可约多项式
(不)可约多项式
定义：若存在g(x),h(x)，使得f(x)=g(x)h(x)，
则称f(x)是可约多项式；否则，称其为不
可约多项式。
定理2：若f(x)|h(x)，则G(f) G(h).
例1：联系多项式为
xn
x n 1
…… ……
x2
x1
输出
f ( x 1 , x 2 , , x n 1 , x n )
图 线性反馈移位寄存器 说明：上图中标有 x i 的小方框表示第i 级寄存器，最右端的寄存器为第1级寄存 器，最左端的寄存器为第n级寄存器.
序列和周期
a 一般地，一个移存器序列表示为： a0 a1a2 ai
其中 ci GF ( q ),1 i n ，则称其为线性反馈移位寄
其中 c n
0 ，若 c n 0
我们说该寄存器是退化
的，否则是非退化的。
移位寄存器序列空间
符号说明：G(f)表示以f(x)为联系多项式的n阶线
性移位寄存器序列构成的空间 定理1：G(f)是GF(q)上的一个n维线性空间。 证明（略）
f(x)=x4+x3+x+1=(x+1)2(x2+x+1) 线性递推式：at=at-4+at-3+at-1 输出序列 000111//000111//…… 周期为6 011//011//…… 周期为3 001//001//…… 周期为3 01//01//…… 周期为2 111111….. 周期为1 000000…… 周期为1
生
习题三
已知流密码的密文串101011和相应的明
文串010001，而且还已知密钥流是使用3 级线性移位寄存器产生的，试破译该密码 系统。
对于序列 a a a a a ，若存在整数p使得对 任意正整数k有 ak ak p 成立，称满足该式的最小正 整数p为序列的周期。
0 1 2 i
r级线性反馈移存器的最长周期: 2 1 ，能 达到最长周期的线性移存器序列称为m序列。
r
线性移位寄存器
解方程法 已知序列a是由n级线性移位寄存器产生的，且知 a的连续2n位，可用解线性方程组的方法得到 线性递推式。 例：设a=01111000是4级线性移位寄存器产生的 序列的8个连续信号，求该寄存器的线性递推 式。
序列密码与线性 移位寄存器
移位寄存器序列的三种表示方法：
线性递推式（一元多项式）：
at+n=c1at+n-1+c2at+n-2+…+cnat ,t>=0 联结多项式： f(x)=1+c1x+c2x2+…+cnxn 状态转移矩阵： 满足： st+1=stTf 称st=(at,at+1,at+2,…,at+n-1)为n维状态
Hale Waihona Puke Baidu
多项式
实例（画出移位寄存器的逻辑框图，写出相 应的线性递推式）
f ( x) x x x 1
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答案： 线性递推式： at=at-4+at-3+at-2
非退化的移位寄存器
若反馈函数形如： f ( x1 , x 2 , , x n ) c n x1 c n 1 x 2 c1 x n 存器；否则称其为非线性反馈移位寄存器。
极小多项式
定义：对于一条移位寄存器序列a，称其联系多
项式中次数最低的多项式为a的极小多项式。
定义：满足f(x)|1-xr的最小正整数r为f(x)的周期，
记为p(f(x))，简记为p(f)。
例子： x4+x3+x2+x+1的周期为5
(x4+x3+x2+x+1)(x+1)=x5+1
本原多项式