初中数学几何部分圆的证明与计算题

初中数学-圆的证明与计算题-解析版

1.如图，AB是⊙O的直径，点D是»AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD 与AE交于点F.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD 的长．

第1题图

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

∴∠ABD＝∠DBE，

如解图，连接DO，

第1题解图∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠EBD＝∠OBD，

∴∠EBD＝∠ODB，

∴OD∥BE，

∴PD

PE

＝PO

PB

，

∵P A＝AO，

∴P A＝AO＝OB，

∴PO

PB

＝2

3

，

∴PD

PE

＝2

3

，

∴

PD

PD＋DE

＝2

3

，

∴PD＝4.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若AE＝4，cos A

＝2

5

，求DF的长．

第2题图

（1）证明：如解图，连接OD，

第2题解图∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠B，

又∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠ODB＝∠C，

G

∵DF ⊥AC ，

∴∠DFC ＝90°，

∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°，

∵OD 是⊙O 的半径，

∴DF 是⊙O 的切线；

(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，

∴AG ＝12AE ＝2.

∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25，

∴OA ＝5，

∴OG ＝OA 2－AG 2＝21，

∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，

∴四边形OGFD 为矩形，

∴DF ＝OG ＝21.

3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .

(1)求证：AD ＝AN ；

(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．

第3题图

(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，

∴∠BAD ＝∠BCD ，

∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，

∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°，

∵∠ANE ＝∠CNM ，

∴∠BAM ＝∠BCD ，

∴∠BAM ＝∠BAD ，

在△ANE 与△ADE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE

∠AEN ＝∠AED

， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)，

∴AN ＝AD ；

(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD ,

∴AE ＝12AB ＝22，

∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，

如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，

第3题解图

∵△AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，

∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，

解得x1＝2，x2＝－4

3(舍)，

∴AO＝2x－1＝3，

即⊙O的半径为3.

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

(1)求证：∠1＝∠F；

(2)若sin B＝

5

5

，EF＝25，求CD的长．

第4题图（1）证明：如解图，连接DE.

第4题解图

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°.

∵E是AB的中点，

∴DA＝DB，

∴∠1＝∠B.

∵∠B＝∠F，

∴∠1＝∠F；

(2)解：∵∠1＝∠F，

∴AE＝EF＝25，

∴AB＝2AE＝4 5.

在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，

∴BC＝AB2－AC2＝8.

设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，

解得x＝3，

∴CD＝3.

5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C 作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.

(1)求证：DA=DC；

(2)求∠P及∠AEB的度数.

第5题图

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵CB⊥AE，

∴AD⊥AE，

∴∠DAO＝90°，

又∵直线DP和⊙O相切于点C，

∴DC⊥OC，

∴∠DCO＝90°，