上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测6月高三数学试题(解析版)

上海市静安区2019-2020学年第二学期教学质量检测 高三数学试卷 2020.06

一. 填空题（本大题共11题，每题6分，共66分）

1．若3

6

sin =

x ，则()x 2cos -π的值为 ▲ ． 2．若幂函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则⎪⎭

⎫ ⎝⎛-81f 的值为 ▲ ．

3．若1n

x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ▲ ．

4．若函数)(x f y =)R (∈x 是偶函数，在区间(]0,∞-上是增函数，2=x 是其零点，则

0)(>x f 的解集为 ▲ ．

5．现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一

名男生的概率为 ▲ ．

6．在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组⎪

⎩⎪

⎨⎧≤≤≤≤y

x y x 2,2,

20所确定的区域为D ，若),(y x M 为

区域D 上的动点，点)1,2(A ，则OA OM z ⋅=的最大值为 ▲ ．

7．已知,A B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为

()(

)()

0,0,0,2,1,1,0,2,2O A

B -，则,A B 两点的球面距离为 ▲ ．

8．设由复数组成的数列{}n a 满足：对任意的*N n ∈，都有i 1

=+n

n a a （i 是虚数单位），则数列{}n a 的前2020项和的值为 ▲ ． 9．一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图

所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时， 量得水面宽度30=AB 米，则当水面升高1米 后，水面宽度为 ▲ 米．（精确到0.1米）

10．设),(n n y n A )N (*

∈n 是函数x

x y 1

2+

=的图像上的点， 直线1+=n x 与直线n y y =的交点为n B ，1+∆n n n A B A 的 面积为n S ，则n n S ∞

→lim 的值为 ▲ ．

11．如图，直线MN 是互相垂直的异面直线MP 和NQ 的公垂线，若1=MN ，2=PQ ，则四面体PMNQ 的 体积的最大值为 ▲ ．

二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）

12．设R x ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 （ ）． A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件；

C ．充要条件；

D ．既不充分也不必要条件．

13．方程08922

2

=+-y xy x 的曲线C 所满足的性质为 （ ）．

①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y x =对称．

A ．①③；

B ．②③；

C ．①④；

D ．①②．

14．当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠

肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约%25，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生

M

P

Q

N

第11题图

“医疗资源挤兑”现象，只需要约 （ ）． A ．7天； B ．10天； C ．13天； D ．16天．

三、解答题（本大题共有4题，共66分）

15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）

如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2

π

θ=时，AC 与底面所成

角为5

15

arctan

． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值．

16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像

向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π⎛⎫

≤= ⎪⎝⎭

成立． （1）求()f x 的解析式；

（2）若锐角ABC ∆的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ∆的周长l 的取

值范围．

D

17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分）

已知抛物线Γ：2

4y x =的焦点为F ，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，且

0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”．

（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ∆是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．

18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分） 设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*

∈n ，若{}

n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列．

（1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式；

（3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足312

2a a a ⋅=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列．