奥数专题——裂项法(一)(含答案)-

奥数专题——裂项法（一）

同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考

例如1

3

1

4

1

12

-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，

把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

11

1

1

11 1

1

1

1

n n

n

n n

n

n n n n

n n n n

-

+=

+

+

-

+ =

+-

+

=

+

()()

()()

即11

1

1

1 n n n n

-

+

=

+

()

或

1

1

11

1 n n n n ()

+

=-

+

下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】

例1. 计算：

1

19851986

1

19861987

1

19871988

1

19941995⨯

+

⨯

+

⨯

++

⨯

……

+

⨯+

⨯

+

1 19951996

1 19961997

1

1997

分析与解答：

1 19851986

1

1985

1

1986

1 19861987

1

1986

1

1987

1 19871988

1

1987

1

1988

1 19941995

1

1994

1

1995

⨯

=-⨯

=-⨯

=-

⨯=-

……

11995199611995119961199619971199611997

⨯=-⨯=- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

11985198611986198711987198811995199611996199711997

⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =

-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：1111211231123100+

++++++++++…… 公式的变式

11221+++=⨯-…n n n ()

当n 分别取1，2，3，……，100时，就有

11212

112223

1123234

11234245

1121002100101

=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯…

1

11121123112100

2122232342991002100101

21121231341991001100101

211212131314199110011001101

211101

++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯

==2100

101

200101

199101

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式

1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少？

分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611-=<>()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法

设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当111n x y

=+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y

-=1。

这里1y

是个单位分数，所以x n -一定大于零，假定x n t -=>0，则x n t =+，代入上式得t n n t y

()+=1，即y n t n =+2。 又因为y 是自然数，所以t 一定能整除n 2，即t 是n 2的约数，有n 个t 就有n 个y ，这一来我们便得到一个比11111n n n n -+=+()

更广泛的等式，即当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y

=+，即 11n n t t n n t -+=+()

上面指出当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y

=+，这里n n ==6362,，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

当t =1时，x =7，y =42

当t =2时，x =8，y =24

当t =3时，x =9，y =18

当t =4时，x =10，y =15

当t =6时，x =12，y =10

当t =9时，x =15，y =10

当t =12时，x =18，y =9

当t =18时，x =24，y =8

当t =36时，x =42，y =7

故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

二.尝试体验：

1. 计算：

11212313419899199100

⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…