4.测试系统静动态特性

• 将此公式两边作傅里叶变换，在变换过程中利用 傅里叶变换的微分性质得：
Y (ω ) ⎡ a n ( jω ) n + a n −1 ( jω ) n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 ( jω ) + a 0 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ = X (ω ) ⎣ bm ( jω ) m + bm −1 ( jω ) m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 ( jω ) + b0 ⎤ ⎦
4.2 测试系统的静态特性 • 测量过程分为静态测量与动态测量 • 仪器的静态特性用仪器的激励与响应的 稳定值之间的相互关系表示:
– – – – – – 重复性 灵敏度 分辨力 线性误差 迟滞与回程误差 稳定度与漂移
4.2 测试系统的静态特性 如果测量时，测试装置的输入、输出 信号不随时间而变化，则称为静态测量。 静态测量时，测试装置表现出的响应 特性称为静态响应特性。
Y ( s) H ( s) = X ( s)
式中 Y ( s )为输出信号的拉氏变换 X ( s )为输入信号的拉氏变换 S = a+j ω (a>0)
Y ( s ) = ∫ y (t )e − st dt
0
∞
X ( s ) = ∫ x (t )e − st dt
0
∞
输入量 x
bm S m + bm −1S m −1 + + b1S + b0 an S n + an −1S n −1 + + a1S + a0
非线性原因： (结构原理性原因除外) 温 度 湿 度
外界干扰 压 力 冲 击 振 动 电 磁 场 场
输入 x
检测系统
输入 y = f(x)
摩 擦
间 隙
松 动
迟 蠕 滞 变
变 老 形 化
误差因素
4.3.1 测试系统的动态特性
• • • • • 微分方程 传递函数 频率响应函数 脉冲响应函数 后三者之间的关系
3 频率响应函数(Frequency response)
简谐激励信号：x(t)=x0cos(ωt+φx) 稳态输出： A= Y0/X0; Φ= φy-φx y(t)=y0cos(ωt+φy) A(ω)= Yi/Xi; Φ(ω)= φyi- φxi
优点：可 用试验方 法求得
物理意义是频率响应函数是在正弦信号的激励下 ，测量装置达到稳态后输出和输入之间的关系。直 观反映了测试系统对各个不同频率的正弦信号的响 应特性。
1.重复性
表示由同一观测者采用相同的测量条件、方法及仪器对同 一被测量进行多次测量所得结果之间的符合程度。重复性 是测量仪器随机误差大小的指标。
2. 灵敏度
当测试装置的输入x有一增量△x,引起输出y发生相 应变化△y时,定义: S=△y/△x y y △y △x x 线性:S为特性曲线的斜率 △y △x x 非线性:S=dy/dx
第4章 测试系统基本特性
•概述 •测试系统静态特性 •测量装置的动态特性
•线性系统及其主要性质 •测试系统动态特性描述 •环节的串、并联 •系统的动态特性分析
•动态特性参数获取
4.1 概述
• 测试系统
输入x(t) X(s) 系统 h(t) H(s) 输出y(t) Y(s)
无论复杂度如何，把测量装置作为一个系统 来看待。问题简化为处理输入量x(t)、系统传输 特性h(t)和输出y(t)三者之间的关系。
4.3 测试系统的动态特性
测量系统基本要求
理想的测试系统应该具有单值的、确定的输 入－输出关系。对于每一输入量都应该只有单一 的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定 另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。
线性 y 线性 y 非线性y
x
x
x
4.3.1 线性系统及其主要性质
• 定常线性系统 常系数线性微分方程(General Differential equation)
A(ω)- ω曲线称为幅频特性曲线，ϕ(ω)- ω曲线称为相频 特性曲线。实际作图时，常画出20lgA(ω)-lgω和ϕ(ω)lgω曲线，两者分别称为对数幅频曲线和对数相频曲 线，总称为伯德图（Bode图）。
传递函数与频率响应函数:
• 传递函数:
瞬态过程 + 稳态过程
频率响应函数:
稳态过程
4. 脉冲响应函数
1. 线性系统及其主要性质
c)微分性 系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微 分，即 若 x(t) → y(t) 则 x'(t) → y'(t) d)积分性 当初始条件为零时，系统对原输入信号的积 分等于原输出信号的积分，即 若 x(t) → y(t) 则 ∫x(t)dt → ∫y(t)dt
1 线性系统及其主要性质
4.3.1测试系统的动态特性
测试系统的数学模型是根据相应的物理定律（如牛顿 定律、能量守恒定律、基尔霍夫电路定律等）而得出 的一组将输入和输出联系起来的数学方程式
1.常系数线性微分方程
– 任何一个具体的输入量和输出量之间的关系都可以写成 下列数学形式
d n y (t ) d n −1 y ( t ) dy ( t ) an + an −1 + + a1 + a0 y ( t ) n n −1 dt dt dt d m x (t ) d m −1 x ( t ) dx ( t ) = bm + bm −1 + + b1 + b0 x ( t ) m m −1 dt dt dt
4.1 概述
系统分析中的三类问题： x(t) h(t) y(t) 1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通 过它们推断系统的传输特性。(系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，可以通 过它们推断导致该输出的输入量。 (反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断 和估计系统的输出量。(预测)
3.线性度
校准曲线与规定直线之间的最大偏差。 线性误差 = B/A×100%
端基直线 最小二乘直线
y B A
x
校准（标定）曲线：用实验来确定被测量的实际值和测量装 置示值之间的函数关系。这个过程称为静态校准（标定）。
4.2 测试系统的静态特性 4. 分辨力 指示装置有效地辨别紧密相邻量值的 能力。
则线性系统的频响函数为：
Y (ω) bm ( jω)m + bm−1 ( jω)m−1 +⋅⋅⋅ + b1 ( jω) + b0 H( jω) = = X (ω) an ( jω)n + an−1 ( jω)n−1 +⋅⋅⋅ + a1 ( jω) + a0
（2）通过传递函数求 • 以 s = jω 代入（3－10）式，也可以得到频响 函数，说明频率响应函数是传递函数的特例。
e)频率保持性 若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统 的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即 若 则 x(t)=Acos(ωt+φx) y(t)=Bcos(ωt+φy)
线性系统的这些主要特性，特别是叠加 原理和频率保持性，在测量工作中具有重要 作用。
系统模型的划分
线性系统与非线性系统 线性系统:具有叠加性、比例性的系统 连续时间系统与离散时间系统 连续时间系统:输入、输出均为连续函数.描述系统特 征的为微分方程. 离散时间系统:输入、输出均为离散函数.描述系统特 征的为差分方程. 时变系统与时不变系统: 由系统参数是否随时间而变化决 定. 对线性时不变系统（线性定常系统）进行分析的理论 和方法最为基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可 近似作为线性定常系统来处理。一般的测试系统都可视为线 性定常系统，即可以用常微分方程描述的系统。
6. 漂移和稳定度 稳定度：测量装置在规定条件下保持其测
量特性恒定不变的能力。
漂移：测量装置的输入未产生变化时其输出发生
变化的现象 。 •仪器自身结构参数的变化 •工作环境的变化 •如温漂、零漂
4.3 测试系统的动态特性
• 动态特性是研究当测试与检测系统的输入和输 出均为随时间而变化的信号时，系统对输出信 号的影响。 • 动态测量中，当输入量变化时人们观察到的输 出量的变化不仅受研究对象动态特性的影响，同 时也受到检测系统动态特性的影响。系统的动态 特性一般通过描述系统的数学模型如微分方程、 或找出系统的动态特性函数如传递函数、频率响 应函数等来进行研究
频率响应函数的求法
（1）通过傅里叶变换求 • 线性系统的输出输入关系为：
d n y (t ) d n −1 y ( t ) dy ( t ) + a n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 + a0 y (t ) an n n −1 dt dt dt d m x (t ) d m −1 x ( t ) dx ( t ) = bm + bm −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 + b0 x ( t ) m m −1 dt dt dt
输出量 y
bmS m + bm−1S m−1 + + b1S + b0 H(s) = n n−1 an S + an−1S + + a1S + a0
作为一种数学模型，和其它数学模型一样，装置 的传递函数与测量信号无关，也不能确定装置的物理 结构，只表示测量装置本身在传输和转换测量信号中 的特性或行为方式。 传递函数以测量装置本身的参数表示出输入与输 出之间的关系;等式中的系数是由测试系统本身结构特 性所唯一确定的常数 。
– y：输出量；x：输入量；t：时间 – 系统的阶次由输出量最高微分阶次n决定。
举
例
例.RLC电路，如果输入电压是随时间变化的 ur (t ) ，
其输出是随时间变化的电压 uc (t ) 则可建立输入和输出之间的微分方程： duc (t ) di (t ) 1 L + Ri (t ) + ∫ i (t )dt = ur (t ), i (t ) = C dt C dt
–y：输出量；x：输入量；t：时间 –系统的阶次由输出量最高微分阶次n决定。
时域描述的缺点： • 不能直接反映测试系统对不同频率信号的 动态性能； • 微分方程求解运算也较复杂或困难。
2.
传递函数(Transfer function)
• 描述系统动态特性更为广泛的函数是传递函数 • 传递函数的定义：x(t)、y(t)及其各阶导数的初始值 为零，系统输出信号的拉普拉斯变换(拉氏变换)与输 入信号的拉氏变换之比，记为 H ( s )
d 2 u c (t ) du c ( t ) u r ( t ) = LC + RC + u c (t ) 2 dt dt
可见此电路是二阶线性系统，如果电气结构参数R、 L、C在运行过程中不发生变化，则是定常系统。
4.3.1 线性系统及其主要性质 时不变线性系统性质：
a)叠加性 系统对各输入之和的输出等于各单个输入的 输出之和，即 若 x1(t) → y1(t)，x2(t) → y2(t) 则 x1(t)±x2(t) → y1(t)±y2(t) b)比例性 常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的 常数倍，即: 若 x(t) → y(t) 则 kx(t) → ky(t)
Y (ω ) = X (ω ) H (ω )
（3）通过试验求
H(jω)一般为复数，写成实部和虚部的形式： H ( jω ) = Re (ω ) + jI m (ω ) 或：
H ( jω ) = A(ω )e jφ (ω )
其中：
A(ω ) = H ( jω ) = Re (ω )2 + I m (ω )2 , 幅频特性 Im (ω ) ，相频特性 φ (ω ) = ∠H ( jω ) = arctan Re (ω )
– 任何一个具体的输入量和输出量之间的关系都可以 写成下列数学形式
d n y (t ) d n −1 y ( t ) dy ( t ) an + an −1 + + a1 + a0 y ( t ) n n −1 dt dt dt d m x (t ) d m −1 x ( t ) dБайду номын сангаас ( t ) = bm + bm −1 + + b1 + b0 x ( t ) m m −1 dt dt dt
若装置的输入为单位脉冲δ(t)，因δ(t)的 拉氏变换为1，有： Y(s)=H(s)X(s)=H(s)， y(t)= L-1[H(S)] 记为h(t)，称它为脉冲响应函数。
灵敏度、分辨力：都是用来描述测量装置对被测量 变化的反应能力的指标
5.回程误差（滞后误差）
测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过 程中，对于同一个输入量所得到的两个数值不同的 输出量之间差值最大者为hmax y
产生原因： 装置死区 滞后现象
h x
如铁磁材料的磁滞、结构材料的受力变形的滞后 现象、机械结构中的摩擦和游隙等