第5章 参数估计与(单)假设检验 练习题
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1 9 。 ( xi 10) 2 2 ，试求 的双侧置信区间（ = 0.05 ） 9 i 1
（
（ 8.847 , 11.153 ）
）
24、从一批钉子中随机抽取 16 枚，测得平均长度为 2.125 cm ，样本标准差为 0.01713 cm ， 假设钉子的长度 X 服从方差为 0.012 的正态分布， 求总体 X 的均值 的置信度为 90% 的置信区 间（计算结果保留小数点后三位有效数字） 。 （ （ 2.121 , 2.129 ） ）
）
x x2 2 16、设总体 X 密度函数为： f ( x; ) 2 e 0
2
x 0 ， （参数 > 0 且未知） ， 取样本 其它
（X1 ，X2 ，… ，Xn ） ，求总体未知参数 的最大似然估计量和矩估计量。 （
ˆ
MLE
1 n 2 Xi 2n i 1
4 2 2 u / 2 的最小正整数 L2
）
22、设总体 X ~ N ( , 102 ) （ 未知） ，若要使 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的长度 为 4，求样本容量 n 最小应为多少？ （ 97 ）
23、由总体 X ~ N ( , 2 ) （ 2 未知）取得一个样本 X1 ，X2 ，… ，X9 ，计算出x = 10，
；
ˆ X ME
Leabharlann Baidu
2
，其中 X
1 n Xi n i 1
）
x 17、设总体 X 具有密度函数 f ( x; ) 0
1
0 x 1 其它
（ 其中 为未知参数，且
> 0 ） ，取自总体 X 的一组样本（ X1 ，X2 ，… ，Xn ） ，求 的矩估计量和极大似然估计
X 、S2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 X 2 cS 2 为 2 的无偏估计量.
（
1/n
）
6、设 X1 ，X2 是取自总体 N ( , 2 ) （ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量
ˆ1 1 3 1 1 1 1 ˆ2 X1 X 2 ， ˆ 3 X 1 X 2 中哪个最有效。 X1 X 2 ， 4 4 2 2 3 2
28、设总体 X ~ N ( , 2 ) ，参数
X
，2 均未知， （X1 ，X2 ， · · · ，Xn ）为简单随机样本，
n 1 n 2 ， X W ( X i X ) 2 ，若假设 H0 ： = 0，H1 ： 0。试写出假设检验时使用的统 i n i 1 i 1
ˆ （1） MLE 2.5 ； （2）0.4562
）
14、 设 （ X1 ， X2 ， … ， Xn ） 为总体 X 的一组样本， 总体 X 密度函数为： f ( x; )
1 e 2
1
x
（ 参数 未知，且 > 0 ） ， （1）试求未知参数 的极大似然估计量； （2）检验其无偏性。 （
（
ˆ2
）
3x 2 7、设某总体 X 的密度函数为： f ( x, ) 3 0
0 x 其它
， （ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为该
4 3n 1 Yn 哪 X 与 3n 3
总体的样本， Yn = max ( X1 , X2 , … , Xn ) ，试比较未知参数 的估计量 个更有效？ （ n > 1 时，
）
11 、 设 样 本 X1 ， X2 ， … ， Xn 为 取 自 分 布 密 度 为 f ( x ) 的 总 体 ， 其 中
( x) r 1 e x f ( x) 0 x0 （ r 已知） ， > 0，求参数 的极大似然估计。 x0
ˆ M L E r 1 n ，其中 X X i X n i 1
）
19、作 n 次独立重复试验，观察到事件 A 发生了 m 次，试证明 P ( A ) = p 的矩估计值和极 大似然估计值均为 m / n 。
20、 设 （ X 1 , X 2 ,, X m ）是取自总体 X ~ b ( n , p ) 的容量为 m 的简单随机样本， 其中 n > 1， 0 < p < 1，求参数 p 2 的无偏估计量 . （
p2
1 1 1 m 1 m X S 2 ， 其中 X X i ， S 2 ( X i X ) 2 < 不唯一 > n n m 1 i 1 m i 1
）
21、方差 2 已知，置信度为 1 ，为使正态总体均值 的置信区间长度不大于 L ，样 本容量至少为多少？ （ 不小于
（
前者大于后者
）
ˆ 0 ，试证 ( ˆ ) 2 不是 2 的无偏估计。 2、设 ˆ 是未知参数 的无偏估计，且有 D
3、设随机变量 X 与 Y 相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = 2 ，试问：k 取何值时， Z = k ( X 2 Y 2 ) + Y 2 是 2 的无偏估计 。 （ 16 / 7 ）
1 2
；
（2） （ 0.98 , 0.98 ）
）
27、假设钢珠的直径服从正态分布，现从钢珠的生产线中抽取容量为 9 的样本（单位：mm） ， 测的直径的平均值x = 31.05，s2 = 0.252 ，试求：总体 和 2 的双侧置信区间（ = 0.05；
2 2 2 t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333， 0 . 95 (9) 3.325， 0. 05 (9) 16.919， 0. 025 (8) 17.535， 2 。 （ （ 30.858 , 31.242 ） ； （ 0.0285 , 0.2294 ） ） 0 . 975 (8) 2.18 ）
x C ，其中参数 0 < < 1，C 为已知常数， xC
且 C > 0，从中抽得一样本 X1 ，X2 ，… ，Xn ，求参数 的矩估计量。 （ 1 C /X ，其中 X
1 n Xi n i 1
）
1 0 x 2 , 1 , x 1, 其中 （0 < < 1）为未知参 10、设总体 X 的概率密度函数为 f ( x; ) 2 ( 1 ) 其它 0,
X 1 X
2
量。
（
ˆ
ME
， 其中 X
1 n ˆ Xi ； MLE n i 1
n n ln X i i 1
2
）
xe x 18、 设随机变量 X ~ f ( x) 0
x0 （ 未知参数 > 0 ） ， 且 EX = 。 取样本 （ X1 ， x0
3n 1 Yn 更有效 3n
）
8、从某正态总体取出容量为 10 的样本，计算出
ˆ2 。 ˆ 和 方差的矩估计
xi 150 ， xi2 2720 。求总体期望与
i 1 i 1
10
10
（
15 ；47
）
1 1 (1 ) C 1 x 9、设总体 X 具有密度 f ( x; ) 0
和最大似然估计量。 （
ˆ
MLE
ln(1 xi )
i 1
n
ln(1 x ) n
i 1 i
n
ˆ ；
MLE
ln(1 X
i 1
n
i
)
ln(1 X
i 1
n
）
i
)n
13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死 亡人数 X 服从参数为 的 Poisson 分布，求： （1） 的极大似然估计值； （2）利用（1）的结果 求 P(X>2) 。 （
ˆ 数， 是取自总体 X 的样本。 （1）求未知参数 的矩估计量 （X 1 , X 2 ,, X n） ME ，并判断其无偏 ˆ 2 是否为 2 的无偏估计量，说明理由。 性，说明理由； （2）判断 ME
（
ˆ 2 2 EX 1 ，是； （2）不是， E ˆ 2 4 DX 2 2 （1） ME ME 2 n
ˆ MLE （1） 1 n （2）无偏估计量 Xi ； n i 1
）
15、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ~ N ( , 2 ) ，Y ~ N ( , 2 2 ) ，其中 > 0 是未 知参数，设随机变量 Z = X Y . （1）求 Z 的概率密度函数 f Z ( z ) ；
X2 ，… ，Xn ） ，求总体期望 的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。
ˆ ME X ，其中 X （
ˆ MLE 2 EX 2 E
1 n 1 n ˆ MLE 2 X 2 ，其中 X X i ， X i ，无偏； n i 1 n i 1
2 DX 2 2 ( DX > 0 ) ，有偏 n
第5章
参数估计与假设检验练习题
1、设随机变量 X 的数学期望为 ，方差为 2 ， （X1 ，X2 ， · · · ，Xn ）为 X 的一个样本， 试比较 E (
1 n 1 n 2 与 ( X ) ) E ( ( X i X ) 2 ) 的大小。 i n i 1 n i 1
计量的表达式。
（
T
X W / n(n 1)
，其中 X
n 1 n 2 ， X W ( X i X )2 i n i 1 i 1
）
29、设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为 150，从该批产品中抽取容量为 25 的一组样本，并测得该项指标的平均值为 1645（单位） ，问是否可以认为这批产品得该项指标值 为 1600（单位）？（ = 0.05 ； t / 2 ( 24 ) = 2.064 ， 0 ( 1.96 ) = 0.975 ，t ( 25 ) = 1.708 ） （ U - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以 ）
4、设正态总体 X ~ N ( , 2 ) ，参数 ，2 均未知， （ X1 ，X2 ，… ，Xn ） （ n2 ）
ˆ 2 C ( X i 1 X i ) 2 为 2 的无偏估计。 为简单随机样本，试确定 C，使得
i 1 n 1
（
1 2(n 1)
）
5、 假设总体 X 的数学期望为 ， 方差为 2 ，( X 1 , X 2 , ..., X n ) 为来自总体 X 的一个样本，
2 ˆ MLE （2） 设 （ Z1 , Z 2 ,, Z n ） 是取自总体 Z 的简单随机样本， 求参数 2 的最大似然估计量 ； 2 ˆ MLE （3）证明 是 2 的无偏估计量 .
（
f Z ( z)
1 6
e
z2 6 2
ˆ MLE ，z R ；
1 n 2 Zi 3n i 1
25、从一大批电子元件中随机抽取 100 只，测得元件的平均寿命为 1000 小时，如果电子元件 的寿命服从正态分布，且均方差 = 40 小时，求 = 0.05 时，电子元件平均寿命的置信区间。 （ （ 992.16 , 1007.84 ） ）
26、设总体 X 容量为 4 的样本为 0.5，1.25，0.8，2.0，已知 Y = lnX 服从正态分布 N ( , 1 )， （1）求总体 X 的数学期望； （2）求 的置信度为 95%的置信区间。 （ （1） e
（
ˆ M L E
r 1 n ，其中 x xi ； x n i 1
）
(1 x) 1 , x (0,1) 12、设总体 X 的概率密度为 f ( x ; ) ，其中 > 0 是未知参数， x (0,1) 0,
（X1 ，X2 ，…… ，X n ）是取自总体 X 的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值
（
（ 8.847 , 11.153 ）
）
24、从一批钉子中随机抽取 16 枚，测得平均长度为 2.125 cm ，样本标准差为 0.01713 cm ， 假设钉子的长度 X 服从方差为 0.012 的正态分布， 求总体 X 的均值 的置信度为 90% 的置信区 间（计算结果保留小数点后三位有效数字） 。 （ （ 2.121 , 2.129 ） ）
）
x x2 2 16、设总体 X 密度函数为： f ( x; ) 2 e 0
2
x 0 ， （参数 > 0 且未知） ， 取样本 其它
（X1 ，X2 ，… ，Xn ） ，求总体未知参数 的最大似然估计量和矩估计量。 （
ˆ
MLE
1 n 2 Xi 2n i 1
4 2 2 u / 2 的最小正整数 L2
）
22、设总体 X ~ N ( , 102 ) （ 未知） ，若要使 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的长度 为 4，求样本容量 n 最小应为多少？ （ 97 ）
23、由总体 X ~ N ( , 2 ) （ 2 未知）取得一个样本 X1 ，X2 ，… ，X9 ，计算出x = 10，
；
ˆ X ME
Leabharlann Baidu
2
，其中 X
1 n Xi n i 1
）
x 17、设总体 X 具有密度函数 f ( x; ) 0
1
0 x 1 其它
（ 其中 为未知参数，且
> 0 ） ，取自总体 X 的一组样本（ X1 ，X2 ，… ，Xn ） ，求 的矩估计量和极大似然估计
X 、S2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 X 2 cS 2 为 2 的无偏估计量.
（
1/n
）
6、设 X1 ，X2 是取自总体 N ( , 2 ) （ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量
ˆ1 1 3 1 1 1 1 ˆ2 X1 X 2 ， ˆ 3 X 1 X 2 中哪个最有效。 X1 X 2 ， 4 4 2 2 3 2
28、设总体 X ~ N ( , 2 ) ，参数
X
，2 均未知， （X1 ，X2 ， · · · ，Xn ）为简单随机样本，
n 1 n 2 ， X W ( X i X ) 2 ，若假设 H0 ： = 0，H1 ： 0。试写出假设检验时使用的统 i n i 1 i 1
ˆ （1） MLE 2.5 ； （2）0.4562
）
14、 设 （ X1 ， X2 ， … ， Xn ） 为总体 X 的一组样本， 总体 X 密度函数为： f ( x; )
1 e 2
1
x
（ 参数 未知，且 > 0 ） ， （1）试求未知参数 的极大似然估计量； （2）检验其无偏性。 （
（
ˆ2
）
3x 2 7、设某总体 X 的密度函数为： f ( x, ) 3 0
0 x 其它
， （ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为该
4 3n 1 Yn 哪 X 与 3n 3
总体的样本， Yn = max ( X1 , X2 , … , Xn ) ，试比较未知参数 的估计量 个更有效？ （ n > 1 时，
）
11 、 设 样 本 X1 ， X2 ， … ， Xn 为 取 自 分 布 密 度 为 f ( x ) 的 总 体 ， 其 中
( x) r 1 e x f ( x) 0 x0 （ r 已知） ， > 0，求参数 的极大似然估计。 x0
ˆ M L E r 1 n ，其中 X X i X n i 1
）
19、作 n 次独立重复试验，观察到事件 A 发生了 m 次，试证明 P ( A ) = p 的矩估计值和极 大似然估计值均为 m / n 。
20、 设 （ X 1 , X 2 ,, X m ）是取自总体 X ~ b ( n , p ) 的容量为 m 的简单随机样本， 其中 n > 1， 0 < p < 1，求参数 p 2 的无偏估计量 . （
p2
1 1 1 m 1 m X S 2 ， 其中 X X i ， S 2 ( X i X ) 2 < 不唯一 > n n m 1 i 1 m i 1
）
21、方差 2 已知，置信度为 1 ，为使正态总体均值 的置信区间长度不大于 L ，样 本容量至少为多少？ （ 不小于
（
前者大于后者
）
ˆ 0 ，试证 ( ˆ ) 2 不是 2 的无偏估计。 2、设 ˆ 是未知参数 的无偏估计，且有 D
3、设随机变量 X 与 Y 相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = 2 ，试问：k 取何值时， Z = k ( X 2 Y 2 ) + Y 2 是 2 的无偏估计 。 （ 16 / 7 ）
1 2
；
（2） （ 0.98 , 0.98 ）
）
27、假设钢珠的直径服从正态分布，现从钢珠的生产线中抽取容量为 9 的样本（单位：mm） ， 测的直径的平均值x = 31.05，s2 = 0.252 ，试求：总体 和 2 的双侧置信区间（ = 0.05；
2 2 2 t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333， 0 . 95 (9) 3.325， 0. 05 (9) 16.919， 0. 025 (8) 17.535， 2 。 （ （ 30.858 , 31.242 ） ； （ 0.0285 , 0.2294 ） ） 0 . 975 (8) 2.18 ）
x C ，其中参数 0 < < 1，C 为已知常数， xC
且 C > 0，从中抽得一样本 X1 ，X2 ，… ，Xn ，求参数 的矩估计量。 （ 1 C /X ，其中 X
1 n Xi n i 1
）
1 0 x 2 , 1 , x 1, 其中 （0 < < 1）为未知参 10、设总体 X 的概率密度函数为 f ( x; ) 2 ( 1 ) 其它 0,
X 1 X
2
量。
（
ˆ
ME
， 其中 X
1 n ˆ Xi ； MLE n i 1
n n ln X i i 1
2
）
xe x 18、 设随机变量 X ~ f ( x) 0
x0 （ 未知参数 > 0 ） ， 且 EX = 。 取样本 （ X1 ， x0
3n 1 Yn 更有效 3n
）
8、从某正态总体取出容量为 10 的样本，计算出
ˆ2 。 ˆ 和 方差的矩估计
xi 150 ， xi2 2720 。求总体期望与
i 1 i 1
10
10
（
15 ；47
）
1 1 (1 ) C 1 x 9、设总体 X 具有密度 f ( x; ) 0
和最大似然估计量。 （
ˆ
MLE
ln(1 xi )
i 1
n
ln(1 x ) n
i 1 i
n
ˆ ；
MLE
ln(1 X
i 1
n
i
)
ln(1 X
i 1
n
）
i
)n
13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死 亡人数 X 服从参数为 的 Poisson 分布，求： （1） 的极大似然估计值； （2）利用（1）的结果 求 P(X>2) 。 （
ˆ 数， 是取自总体 X 的样本。 （1）求未知参数 的矩估计量 （X 1 , X 2 ,, X n） ME ，并判断其无偏 ˆ 2 是否为 2 的无偏估计量，说明理由。 性，说明理由； （2）判断 ME
（
ˆ 2 2 EX 1 ，是； （2）不是， E ˆ 2 4 DX 2 2 （1） ME ME 2 n
ˆ MLE （1） 1 n （2）无偏估计量 Xi ； n i 1
）
15、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ~ N ( , 2 ) ，Y ~ N ( , 2 2 ) ，其中 > 0 是未 知参数，设随机变量 Z = X Y . （1）求 Z 的概率密度函数 f Z ( z ) ；
X2 ，… ，Xn ） ，求总体期望 的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。
ˆ ME X ，其中 X （
ˆ MLE 2 EX 2 E
1 n 1 n ˆ MLE 2 X 2 ，其中 X X i ， X i ，无偏； n i 1 n i 1
2 DX 2 2 ( DX > 0 ) ，有偏 n
第5章
参数估计与假设检验练习题
1、设随机变量 X 的数学期望为 ，方差为 2 ， （X1 ，X2 ， · · · ，Xn ）为 X 的一个样本， 试比较 E (
1 n 1 n 2 与 ( X ) ) E ( ( X i X ) 2 ) 的大小。 i n i 1 n i 1
计量的表达式。
（
T
X W / n(n 1)
，其中 X
n 1 n 2 ， X W ( X i X )2 i n i 1 i 1
）
29、设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为 150，从该批产品中抽取容量为 25 的一组样本，并测得该项指标的平均值为 1645（单位） ，问是否可以认为这批产品得该项指标值 为 1600（单位）？（ = 0.05 ； t / 2 ( 24 ) = 2.064 ， 0 ( 1.96 ) = 0.975 ，t ( 25 ) = 1.708 ） （ U - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以 ）
4、设正态总体 X ~ N ( , 2 ) ，参数 ，2 均未知， （ X1 ，X2 ，… ，Xn ） （ n2 ）
ˆ 2 C ( X i 1 X i ) 2 为 2 的无偏估计。 为简单随机样本，试确定 C，使得
i 1 n 1
（
1 2(n 1)
）
5、 假设总体 X 的数学期望为 ， 方差为 2 ，( X 1 , X 2 , ..., X n ) 为来自总体 X 的一个样本，
2 ˆ MLE （2） 设 （ Z1 , Z 2 ,, Z n ） 是取自总体 Z 的简单随机样本， 求参数 2 的最大似然估计量 ； 2 ˆ MLE （3）证明 是 2 的无偏估计量 .
（
f Z ( z)
1 6
e
z2 6 2
ˆ MLE ，z R ；
1 n 2 Zi 3n i 1
25、从一大批电子元件中随机抽取 100 只，测得元件的平均寿命为 1000 小时，如果电子元件 的寿命服从正态分布，且均方差 = 40 小时，求 = 0.05 时，电子元件平均寿命的置信区间。 （ （ 992.16 , 1007.84 ） ）
26、设总体 X 容量为 4 的样本为 0.5，1.25，0.8，2.0，已知 Y = lnX 服从正态分布 N ( , 1 )， （1）求总体 X 的数学期望； （2）求 的置信度为 95%的置信区间。 （ （1） e
（
ˆ M L E
r 1 n ，其中 x xi ； x n i 1
）
(1 x) 1 , x (0,1) 12、设总体 X 的概率密度为 f ( x ; ) ，其中 > 0 是未知参数， x (0,1) 0,
（X1 ，X2 ，…… ，X n ）是取自总体 X 的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值