高等数学(二)复习指导-第10章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

一、基本要求及重点、难点

1. 基本要求

(1) 了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握

其计算方法。

(2) 了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方

法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。

(3) 掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积

分的计算方法，及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方法。 (4) 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分

的原函数。

(5) 了解第一类曲面积分（即对面积的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握

其计算方法。

(6) 掌握高斯公式的条件与结论，并会利用高斯公式计算第二类曲面积分。

2. 重点及难点

：

（1）重点： (a) 熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。

(b) 熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分。 (c) 格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。 (d) 曲线积分与路径无关的概念及条件。

(e) 高斯公式（熟练使用高斯公式计算曲面积分）。

（2）难点： (a) 两类曲线积分的关系。

(b) 格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。

(c) 高斯公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲面的添加）。

二、内容概述

1、曲线积分的基本概念与性质

·

(1) 对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）

定义 设(,)f x y 在x O y 面内的光滑曲线L 上有界. 第一类曲线积分为

1

(,)lim (,)n

i i i L

i f x y ds f s λξη→==∆∑⎰

(见课本).

Γ为空间曲线时，类似地有

1

(,,)lim (,,)n

i i i i i f x y z ds f s λξηζΓ

→==∆∑⎰

.

物理意义 设曲线L 的线密度为(,)x y ρ，则其质量为

(,)L

M x y ds ρ=⎰

性质1 运算性质

[] (,)(,) (,)(,)L

L

L

f x y

g x y ds f x y ds g x y ds ±=±⎰⎰

⎰

(,)(,)L

L

kf x y ds k f x y ds =⎰

⎰ 其中k 为常数．

~

性质2 对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关，即

⎰⎰-

=L

L ds y x f ds y x f ),(),(．

性质3 对积分路径具有可加性，即

1

2

(,)(,)(,)(,)k

L

L L L f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds =++

+⎰

⎰⎰⎰

其中12k L L L L =+++．

(2) 对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）

定义 设(,),(,)P x y Q x y 在x O y 面内的有向光滑曲线L 上有界.

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰[]0

1

lim (,)(,)n

i i i i i i i P x Q y λξηξη→==∆+∆∑．

Γ为空间曲线时，类似地有

(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ

++⎰

#

[]0

1

lim (,,)(,,)(,,)n

i i i i i i i i i i i i i P x Q y R z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑.

物理意义 变力(,) (,)F P x y i Q x y j =+沿曲线L 所作的功为

(,)(,)L

W P x y dx Q x y dy =+⎰．

性质1 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即

⎰⎰-

+-=+L

L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(．

性质2 对积分路径具有可加性，即

1

(,)(,)(,)(,)L

L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +=+⎰

⎰

2

(,)(,)(,)(,)k

L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +++

++⎰⎰

其中k L L L L +++= 21．

（3）两类曲线积分之间的关系

~

平面曲线L 上两类曲线积分有如下关系

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰

[(,)cos (,)cos ]L

P x y Q x y ds αβ=+⎰

其中),(),,(y x y x βα为平面有向曲线L 上点),(y x 处的切线向量的方向角．

空间曲线Γ上两类曲线积分有如下关系

(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

Γ

++⎰

[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]P x y z Q x y z R x y z ds αβγΓ

=++⎰

其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为空间有向曲线Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角．

2、曲线积分的计算公式 (1) 对弧长的曲线积分

（1）设函数(,)f x y 在平面曲线: (t), (t),

L x y φψ==()t αβ≤≤上连续

(),()t t φψ''在区间[], αβ上连续，且22()()0t t φψ''+≠，则

$

[ (,) (), ()L

f x y ds f t t β

α

φψ=⎰

⎰

（2）设平面曲线L 的方程为)(),(b x a x y y ≤≤=且)(x y '在区间[]b a ,上连续，则

[ (,),()b

L

a

f x y ds f x y x =⎰

⎰

（3）设函数),,(z y x f 在空间曲线: (), (),

x t y t φψΓ==),(t z ω=(t α≤)β≤上连

续，(),(),()t t t φψω'''在区间[],αβ上连续，且2

2

()()t t φψ''+2

()0t ω'+≠，则

(,,)f x y z ds Γ

⎰

[ (), (), ()f t t t β

α

φψω=⎰

注意 化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大．

（2）对坐标的曲线积分