第三章力系的平衡原理

省力装置
FCE B E FAy MA C D FDE F DE D FDA FDB
E
F
B FAy MA FAx C F CE F DB
F FDA
FAx
A
作业： 3-2 3-3
§3-２ 物体系统的平衡问题
一、 静定与静不定问题的概念
静定: 只用静力平衡条件能求解的问题。 (各构件全部外力)
求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力. 解： AB、BC杆为二力杆.选销钉B为研究对象.

Fx 0
F BA cos θ F BC cos θ 0
F BA F BC
F
y
0
F BA sin θ F BC sin θ F 0
FBA FBC = ta n h l
4.各杆件自重不计或平均分布在节点上。 理想桁架 桁架中每根杆件均为二力杆
理想节点
桁架的实际节点
4. 桁架的求解方法 根据所选研究对象不同，分为结点法，截面法与联合法. 1）.结点法 ——依次选铰结点为研究对象求各杆内力。 2）.截面法
未知量个数Nr≤独立方程数Ne
超静定: 只用静力平衡条件不能求解的问题
未知量个数Nr>独立方程数Ne
判断下面结构是否静定？
二、物体系统的平衡问题
1.一般步骤:
1)确定研究对象。 2)确定问题性质。 3) 画受力图（注意力系的等效条件）。 4)建立坐标系。 5)建立平衡方程，求解未知量。 2. 典型例题


F Ay 2 . 32 kN

解得
M
A
0
M
A
M 2 q l 2 l F B s in 6 0 3 l F c o s 3 0 4 l 0


M
A
10 . 37 kN
例
Biblioteka Baidu
已知：P , a ,各杆重不计；
求：B 铰处约束力. 解： 取整体，画受力图
M
F iy 0
F BC F 1 cos 30

F 2 cos 60

0
解得： F BC 27 . 32 kN
例3-２已知：
q 20 kN m
1
P 100kN ,
M 20kN m ,
, l 1m ;
F 400kN ,
求： 固定端A处约束力. 解： 取T型刚架，画受力图. 其中
F A x 7 .5 k N
作业：3-4 3-7 3-10
三、 桁架
1. 工程实例 房屋建筑
通讯
机 械
国 防
桥 梁
2.桁架的分类
按材料可分为:
钢筋混凝 木桁架 土桁架
钢桁架
按空间形式可分为:
平面桁架
空间桁架
组成桁架的所有杆件 轴线都在同一平面内
组成桁架的杆件轴 线不在同一平面内
3. 特点
P ED sin 45 CE
o

1000 1 0 . 707 1
1414 ( N )
练习 求: 解:
已知:
F=20kN, q=10kN/m,
M 20 kN m ,
L=1m;
A,B处的约束力.
取CD梁,画受力图.


M
C
0
F B s in 6 0 l q l
忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图. 用解析法，建图示坐标系
F ix 0
F BA F 1 cos 60

F 2 cos 30

0
F1 F 2 P
解得： F BA 7 . 321 kN
F ix 0
F N F B sin 0
FR l R
2 2
F N F tan
取轮,画受力图.

解得
F ix 0
FR l R
2 2
F ox F A sin 0
F ox

解得
F iy 0
F oy F A cos 0
F oy F
F Bx F Ax
F By
F Ay
思考-2 已知：如图所示结构，P，l，R. 求：固定端A处约束力. 解题思路：
先分析杆CD
再分析杆AB 总结： 二力杆的分析； 一般不拆滑轮。
F BC
F Ax
F Ay M
A
练习
已知: P=60kN, P1=20kN, P2=10kN,风载F=10kN, 尺寸如图;
NB
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
XC Y C
解：1、取BC杆为研究对象
X 0
XC 0
NB

mC 0
N
N

B
2 a Pa 0
P 2
B
Pa 2a
B
mA
X
A
Y 0
Y C N
B
0
YA
NB
Y C N
解得
FB=870kN

解得
F iy 0
F A F B P1 P2 P3 0
FA=210kN
例
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的
m 1 m 2 m 3 m 4 15 N m
孔,每个钻头的力偶矩为
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 合力偶距
F B y 7 7 .5 k N
F Ax FBx F
取吊车梁,画受力图.

M
D
0
8 F 4 P1 2 P2 0
'
E
F
'
E
1 2 .5 k N
取右边刚架,画受力图.

M
C
0
6 F By 10 F Bx 4 P F E

0
F B x 1 7 .5 k N
l 2
F cos 30 2 l 0

解得
FB=45.77kN
取整体,画受力图.

F ix 0

F A x F B c o s 6 0 F s in 3 0 0
解得
F Ax 32 . 89 kN

解得
F iy 0
F A y F B sin 6 0 2 q l F c o s 3 0 0
C
0
FBy 2 a 0
FBy 0
取DEF杆，画受力图
M
D
0
F E s in 4 5 a F 2 a 0

Fx 0
M
E
FE co s 4 5 FDx 0
'

0

F Dy ' a F 2 a 0
FDx FE co s 4 5 2 F
F 2 s in 2 15 ,
7 .5 9

F B A F B C 1 1 .3 5 k N
选压块C

Fx 0
F CB cos θ F Cx 0
F Cx
F 2
cot θ
Fl 2h
11 . 25 kN
F
y
0
F
CB
sin F Cy 0
FC y 1 .5 k N
X
C
0
P 2 P 2
YC
（↑）
N
B

（↓）
提问：要求陈述习题分析过程 [例] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 解： 选整体研究 ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩点、Bxy,B点 ④ 列方程为:
X 0 Y 0 mB 0
X
M
B
0;
YB P
YB P 0;
B
P DE 0
解方程得
M B 100011000( Nm)
① 再研究CD杆 ② 受力如图 ③ 取E为矩心，列方程 m E ④ 解方程求未知数
S CA
0 , S CA sin 45
o
CE P ED 0
'
F E s in 4 5 2 F
FD y 2 F
'
对ADB杆受力图
M 0
A
FBx 2 a FDx a 0
FBx F
思考-1 已知：如图所示结构，P和a. 求：支座A，B 处约束力. 解题思路： 先分析整体 再分析BC 总结： 一般先分析整体； 一般不拆滑轮； 矩心尽量取在较多未知力的交点上； 投影轴尽量与较多未知力相垂直。
2 Fx 0 F1 1 q 3l 3 0 k N
F A x F1 F s in 6 0
0
0
解得
F A x 3 1 6 .4 k N
Fy 0
F Ay P F cos 60

0
解得
F Ay 300 kN

M
A
0

M A M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3 l 0
由二力杆铰接，受结点荷载，平面汇交力系。 理想模型: 略去了结点刚性、荷载偏心产生的次应力。
工程中，某些
焊接结构，鉚接结 构，可简化为桁架， 结果偏于安全。
•平面桁架模型
关于平面桁架的几点假设： 1.各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；
2.杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3.载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；
例
已知： OA=R， AB= l,
F ,
不计物体自重与摩擦,
系统在图示位置平衡; 求:
力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，冲头给导 轨的侧压力. 取冲头B,画受力图.
解:

解得
FB
F iy 0
F cos Fl
F F B cos 0

2
l R
2

解得
求: A,B处的约束力.
解:
取整体,画受力图.
A


M
0
12 F By 10 P 6 P1 4 P2 2 P 5 F 0
Fy 0
F Ay F By 2 P P1 P2 0

Fx 0
F Ax F F Bx 0
F A y 7 2 .5 k N
解得 M A 1188 kN m
P1 例3-３ 已知：
7 0 0 k N , P2 2 0 0 k N , A B 4 m
,尺寸如图；
求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图.
F 满载时， A 0 ,
0 、 M O ( F i ) 0 向直角坐标轴投影，得
Fx 0 F y 0 Fz 0 Mx 0 My 0 Mz 0
即空间力系平衡方程基本形式
6个独立方程 可解6个未知量。
平面一般力系 由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程
置各力线于xoy平面，则


P 2
2、取整体为研究对象
m N m
B A
0
A
X 0
XA= 0
YA N
YA
4 a Pa Pa m N
B
0
Y 0
A
4 a 2 Pa
P 0 3P P NB 2
B
∴
XA= 0
YA 3P 2
（↑） （ ）
m
A
2 Pa

解得
M
o
0
F A cos R M 0
M FR
例 已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。
mA
X
A
分析： 整体： 四个反力
NB
YA
→不可直接解出 拆开： AC杆五个反力 →不可解
mA
X A YA
XC YC
XC Y C
BC杆三个反力
→可解
为不安全状况

M
B
0
P3 m in 8 2 P2 1 0 P1 0
解得 P3min=75kN
空载时， F B 0 ,
为不安全状况
4P3max-2P2=0

解得
M
A
0
F3
max=350kN
75 kN P3 350 kN
P3=180kN时

M
A
0
4 P3 2 P1 14 P2 4 F B 0
§3–1 §3–2
一般力系的平衡原理 物体系统的平衡问题
§3–1
一般力系的平衡问题
静力学 力系简化结果 一般
核心内容 平衡条件(几何、解析) 各类平衡问题
特殊
力系的平衡
FR

Fi 0 ,且 M O

M O (Fi ) 0
一、 力系平衡条件 、平衡方程 空间力系平衡的 基本形式 由 Fi
则
M
x
0, M
y
0, F z 0
z

F x 0, F y 0, M F x 0, M
0 0
---基本式 ---二矩式
A
0, M
B
( AB x )
M
A
0, M
B
0, M
C
0
---三矩式
(A,B,C不共线)
例3．1 已知：系统如图，不计杆、轮自重，
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
平面力偶系平衡
N
B
N B 0 .2 m 1 m 2 m 3 m 4 0
N N 300 N

60 0 .2
300 N
A
B
例 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm，忽略自重；