习题八假设检验答案

习题八 假设检验

一、填空题

1．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数2,μσ未知，则 检验假设0:0H μ=的t -t -检验使用统计量t

2．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，2σ已知。要检验假设0μμ=应用 U 检验法，检验的统计量是

U =0H 成立时

该统计量服从N （0，1） 。

3．要使犯两类错误的概率同时减小，只有 增加样本容量 ;

4 ． 设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X X

X N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。

（1）当X σ和Y σ已知时，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量为

U =0H 成立时该统计量服从 N （0，1） 。 （2）若X σ和Y σ未知，但X Y σσ=

，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量 为 X Y

T = ；当0H 成立时该统计量服从

(2)t m n +- 。

5．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，要检验假设 22

00:H σσ=，应用 2χ 检验法，检验的统计量是 222

0(1)n S χσ-= ；当0H 成

立时，该统计量服从 2(1)n χ- 。

6．设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X X

X N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。要检验假设220:X Y H σσ=，应用 F 检验法，检

验的统计量为 22X Y

S F S = 。

7．设总体22~(,),,X N μσμσ 都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的 样本均值记为X ，样本标准差记为S （修正），在显著性水平α下，检验假设 01:80;:80;H H μμ=≠的拒绝域为 2

||(1)T t n α≥- 在显著性水平α下，检验假设22220010:;:;H H σσσσ=≠的拒绝域为 222(1)n αχχ≥-或222(1)n αχχ≤- ;

8．设总体22~(,),,X N μσμσ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ，样本标准差记为S （修正），当2σ已知时，在显著性水平α下，检验假设0010:;:H H μμμμ≥<的统计量为

U = ，拒绝域为

{}U u α≤- 。 当2σ未知时，在显著性水平α下，检验假设0010:;:H H μμμμ≤>的统计量为 X T =，拒绝域为 (1)T t n α≥- 。 9．设总体22~(,),,X N μσμσ都是未知参数，从X 中抽取的容量为50n =的样本，已知样本均值1900X ，样本标准差S =490（修正），检验假设01:2000;:2000;H H μμ=≠的统计量为 1.443T =- ；在显著性水平0.01α=下，检验结果是 接受 0H 。

二、选择题

1．在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法正确的是（ C ）

A ．α减小β也减小

B ．α增大β也增大

C ．α与β不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大

D ．A 和B 同时成立

2．在假设检验中，一旦检验法选择正确，计算无误（ C ）

A ．不可能作出错误判断

B ．增加样本容量就不会作出错误判断

C ．仍有可能作出错误判断

D ．计算精确些就可避免错误判断

3．在一个确定的假设检验问题中，与判断结果有关的因素有（ D ）

A ．样本值及样本容量

B ．显著性水平α

C ．检验的统计量

D ．A 和B 同时成立

4．对于总体分布的假设检验，一般都使用2χ拟合优度检验法，这种检验法

要求总体分布的类型为（ D ）

A ．连续型分布

B ．离散型分布

C ．只能是正态分布

D ．任何类型的分布

5．在假设检验中，记1H 为备择假设，则称（ B ）为犯第一类错误

A ．1H 真，接受1H

B ．1H 不真，接受1H

C ．1H 真，拒绝1H

D ．1H 不真，拒绝1H

6．机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取20,25n m ==的两个样本，检验两台机器的台工精度是否相同，则提出假设（ B ）

A ．012112:;:H H μμμμ=≠

B ．2222012

112:;:;H H σσσσ=≠ C ．012112:;:H H μμμμ=> D ．2222012

112:;:;H H σσσσ=> 7 ．设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X X

X N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。样本均值X 和Y ，而2X S 和2Y S 相应为样本方差，

则检验假设220:X Y H σσ=（ D ）

A ．要求X Y μμ=

B ．要求22X Y S S =

C ．使用2χ--检验

D ．使用F --检验

8．检验的显著性水平是（ B ）

A ．第一类错误概率

B ．第一类错误概率的上界

C ．第二类错误概率

D ．第一类错误概率的上界

10．在假设检验中，如果原假设0H 的否定域是W ，那么样本观测值12,,...,n x x x 只可能有下列四种情况，其中拒绝H 且不犯错误的是（ C ）

A.0H 成立，12(,,...,)n x x x W ∈

B.0H 成立12(,,...,)n x x x W ?

C.0H 不成立，12(,,...,)n x x x W ∈

D.0H 不成立，12(,,...,)n x x x W ?

三、解答题

1． 根据以往资料分析，某种电子元件的使用寿命服从正态分布，σ = 。 现从周内生产的一批电子元件中随机的抽取9只，测得其使用寿命为（单位：时）： 2315，2360，2340，2325，2350，2320，2335，2335，2325

问这批电子元件的平均使用寿命可否认为是2350时（0.05α=）。

解：设X 为这批电子元件的使用寿命，则待检验的原假设和备择假设为：

0:2350H μ= VS 1:2350H μ≠,

采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则0.025 1.96u =，经计算2333.89x =，则检验统计量4.296

u ==-，u 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，则这批电子元件的平均使用寿命不可认为是2350时。

2． 某厂生产的维尼伦在正常生产条件下纤度服正态分布N, ),某日抽取 5 根纤维，测得其纤维度为 。问这天生产的维尼伦纤度的均值有无显著变化。（0.05α=）

解：设X 为某厂生产的维尼伦在正常生产条件下纤度，则待检验的原假设和备择假设为：

0: 1.405H μ= VS 1: 1.405H μ≠,

采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则

0.025 1.96u =，经计算 1.414x =，则检验统计量0.419u ==，u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。则这天生产的维尼伦纤度的均值无显著变化。

3．设有甲、乙两台机床加工同样产品。分别从甲、乙机床加工的产品中随机的抽取8件和7件，测得产品直径（单位；mm ）为

甲

乙

已知两台机床加工产品的直径长度分别服从方差为222212

0.3, 1.2σσ==的正态分布，问两台机床加工产品直径的长度有无显著差异。(0.01α=)

解：设X ，Y 分别表示甲乙两台机床加工产品的直径长度，则211~(,)X N μσ，

222~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则

采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||}u u α≥，则当0.01α=时候，则0.005 2.575u =，经计算20x =，20y =，则检验统计量0u =，则u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。则可以认为两台机床加工产品直径的长度无显

著差异。

4．某砖瓦厂有两个砖窑生产同一规格的砖块。从两窑中分别取砖 7 块和 6 块测定其抗断强度（单位：10 Pa)如下：

甲

乙

设砖的抗断强度服从正态分布且20.32σ=两窑生产的砖抗折强度有无明显差异

(0.05α=)。

解：设X ，Y 分别表示甲、乙两窑生产的砖抗折强度，则21~(,)X N μσ，22~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则

采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则0.025 1.96u =，经计算 2.728x =， 3.063y =

， 1.0645u ==-。则u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。则可以认为两窑生产的砖抗折强度无明显差异。

5． 在正常情况下，某肉类加工厂生产的小包装精肉每报重量 X 服从正态分 布，标准差10σ=。某日抽取12包，测得其重量（单位：g ）为：

501 497 483 492 510 503 478 494 483 496 502 513 问该日生产的纯精肉每包重量的标准差是否正常(0.10α=)。

解：则待检验的原假设和备择假设为：

220:10H σ= VS 221:10H σ≠,

采用2χ检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为

2222122

{(1)(1)}n n ααχχχχ-≤-≥-或，则当0.1α=，12n =时候，则220.950.05(11) 4.5748,(11)19.6751χχ==，经计算 10.77877S =，2

2

211(10.77877)12.7810χ?==，则2χ值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，可认为该日生产的纯精肉每包重量的标准差是正常的。

6．某种轴料的椭圆度服从正态分布。现从一批该种轴料中抽取 15 件测量其 椭圆度，计算得到样本标准差0.035s =。试问这批轴料椭圆度的总体方差与规

定方差20

0.0004σ=有无显著差(0.05α=)。 解：则待检验的原假设和备择假设为：

220:0.02H σ= VS 221:0.02H σ≠,

采用2χ检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为

2222122

{(1)(1)}n n ααχχχχ-≤-≥-或，则当0.05α=，15n =时候，则220.9750.025(14) 5.6287,(14)26.1189χχ==，由已知 0.035s =，

2

2

2140.03542.875(0.02)χ?==，则2χ值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而这批轴料椭圆度的总体方差与规定方差20

0.0004σ=有显著差。

7．已知某种化学纤维的抗拉度服从正态分布，标准差0 1.2σ=。改工艺后提高了抗拉强度，要求标准差仍为0σ，现从改进工艺的产品中抽取25根纤维测其抗拉强度，计算得到的样本标准差为 1.28s =。问改进工艺后纤维的抗拉强度是否符合要求(0.05α=)。

解：则待检验的原假设和备择假设为：

220: 1.2H σ= VS 221: 1.2H σ≠,

采用2χ检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为

2222122

{(1)(1)}n n ααχχχχ-≤-≥-或，则当0.05α=，25n =时候，则220.9750.025(24)12.4012,(24)39.3641χχ==，由已知 1.28s =，

2

2

224 1.2827.3067(1.2)χ?==，则2χ值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而改进工艺后纤维的抗拉强度是符合要求。

8．抽样分析某种食品在处理前和处理后的含脂率，测得数据如下；

处理前

处理后

假设处理前后的含脂率都服从正态分布，试问处理前后含脂率的标准差是否有显 著差异(0.02α=)。

解：设X ，Y 分别表示某种食品在处理前和处理后的含脂率，则待检验的原假设和备择假设为：

22012:H σσ= VS 22112:H σσ≠,

采用F

检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为122{(1,1)(1,1)}F F m n F m n αα-≤--≥--或F ，则当0.02α=，7,8m n ==时候，

0.990.0111(6,7)0.1211(7,6)8.26F F ===，0.01(6,7)7.19F =，经计算

0.095568,0.062335x y S S ==，则22

22(0.095568) 2.351(0.062335)

x y S F S ===，则F 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而处理前后含脂率的标准差是无显著差异。

9．某种金属材料的抗压强度服从正态分布，为了提高产品质量，使用两种不 同的配方A 的产品中抽取9件，测得样本的标准差1 6.5S =Kg 从配方B 中的产品中抽取12件，测得样本标准差212.5S =Kg 问两种配方生产的产品抗压强度的标准差是否有显著差异(0.10α=)。

解：设X ，Y 分别表示A ，B 两种配方生产的产品抗压强度，则待检验的原假设和备择假设为：

22012:H σσ= VS 22112:H σσ≠,

采用F

检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为122{(1,1)(1,1)}F F m n F m n αα-≤--≥--或F ，则当0.1α=，9,12m n ==时候，

0.950.0511(8,11)0.3018(11,8) 3.3130F F ===，0.05(8,11) 2.96F =，由已知

126.5,12.5S S ==，则22

1222(6.5)0.2704(12.5)

S F S ===，则F 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而两种配方生产的产品抗压强度的标准差是有显著差异。

10．已知某种电子器材的电阻服从正态分布。从这两批电子器材中各抽取 6个，

测得样本方差分别为(21S =0.0000079和22S =0.0000071问这两批器材的电阻方差是

否相同。(0.10α=)

解：设X ，Y 分别表示两批器材的电阻，则待检验的原假设和备择假设为：

22012:H σσ= VS 22112:H σσ≠,

采用F

检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为122{(1,1)(1,1)}F F m n F m n αα-≤--≥--或F ，则当0.1α=，6,6m n ==时候，

0.950.0511(5,5)0.198(5,5) 5.05

F F ===，0.05(5,5) 5.05F =，由已知21S =0.0000079，2

2

S =0.0000071，则2122S 0.0000079 1.1127S 0.0000071F ===，则F 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而这两批器材的电阻方差是相同的。

12．已知某种矿砂的含镍量X 服从正态分布。现测定了5个样品，含镍量（%） 测定值为：

问在显著水平(0.01α=)下能否认为这批矿砂的含镍量是%

解：运用t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

0: 3.25H μ= VS 1: 3.25H μ≠,

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(1)}t t n α≥-，则当0.01α=时候，0.005(4) 4.604t =，经计算， 3.252x =，0.013038s =

，则0.343t ==， 则t 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可以认为这批矿砂的含镍量是%。

13．从切割机加工的一批金属中抽取9段，测其长度如下（单位：cm ）：

设金属长度服从正态分布，其标准长度为 50cm 。能否判断这台切割机加工的金 属棒是合格品(0.05α=)。

解：设X 为金属长度，运用t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

0:50H μ= VS 1:50H μ≠,

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(1)}t t n α≥-，则当0.05α=时候，0.025(8) 2.3060t =，经计算，50.0222x =，0.542627s =，

则0.1227t ==，则t 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可以认为这台切割机加工的金属棒是合格品。

14．在针织品的漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂程度的影响。根据经验可以认为在不同温度下断裂强度都服从正态分布，且方差相等。现在070C 和080C 两种温度下断裂强度都服从正态分布，且方差相等。现在070C 和080C 两种温度下各作8次实验，得到强力的数据（单位：Kg ）如下；

070C

080C

试问在不同温度下强力是否有显著差异(0.05α=)。

解：设X ，Y 分别表示070C 和080C 两种温度下断裂强度，则21~(,)X N μσ，22~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(2)}t t m n α≥+-，则当0.05α=，8m =，8n =时候，0.025(14) 2.1448t =，经计算，20.4x =，19.4y =，1S =0.941124，2S =0.910259

，0.9258s ?==，

则2.1603t ==，则t 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而可以认为在不同温度下强力是有显著差异。

15．抽样测定某种材料在处理后杂质含量，得到数据（%）如下：

处理前

处理后

设处理前后杂质含量都服从正态分布且方差不变，问处理前后杂质含量是否有显 差异(0.01α=)。

解：设X ，Y 分别表示处理前后杂质含量，则21~(,)X N μσ，22~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(2)}t t m n α≥+-，则当0.01α=，13m =，9n =时候，0.005(20) 2.8453t =，经计算， 2.5685x =， 2.2511y =，1S =0.242103，2S =0.128106

，0.204286s ?==，

则3.583t ==，则t 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而可

以认为处理前后杂质含量是有显差异的。

16．某种电子元件使用寿命的数学期望为1000时采用新材料生产，现从新材料生产的一批元件中随机地抽取25件，测得其使用寿命的平均值为1020时。已知元件的使用寿命服从100σ=时的正态分布，问采用新材料后元件的使用寿命是否有显著提高(0.05α=)。

解：设X 表示元件的使用寿命，则待检验的原假设和备择假设为：

01:1000H μ≥ VS 01:1000H μ≤,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{}u u α≤-，则当0.05α=时，0.05 1.645u =，由已知， 1020x =，则1

u ==，则u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可以认为采用新材料后元件的使用寿命没有显著提高。

17．一种镍合金线抗拉强度的均值为 10580Kg ，改进工艺后从一批产品中抽取10根，测得抗拉强度（单位：Kg ）为

10512 10623 10668 10554 10776 10707 10581 10557 10666 10670 已知抗拉强度服从正态分布，问改进工艺后镍合金线的抗拉强度是否有所提高。

(0.05α=)

解：设X 为镍合金线的抗拉强度，运用t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

0:10580H μ≤ VS 1:10580H μ>,

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{(1)}t t n α≥-，则当0.05α=，10n =时候，0.05(9) 1.8331t =，经计算，10631.4x =，80.99684s =，则2.00676

t ==，则t 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而可以认为改进工艺后镍合金线的抗拉强度有所提高。

18．某种保险丝的熔断时间服从正态分布。现从这种保险丝中抽取10根检测，其熔断时间（毫秒）为 42 65 75 78 71 57 59 54 55 68 。问可否认为这批保险丝熔断时间的方差大于64 (0.05α=) 。

解：设X 为这批保险丝熔断时间，则待检验的原假设和备择假设为：

220:8H σ≥ VS 221:8H σ<,

采用2χ检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为221{(1)}n αχχ-≤-，则当

0.05α=，10n =时候，则20.95

(9) 3.3251χ=，经计算 11.03731s =，

2

2

2911.0373117.131258χ?==，则2χ值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可认为这批保险丝熔断时间的方差大于64。

20．抽样检测A 、B 两种建筑材料的抗压强度测得数据（单位：Kg/cm ）为： A ：88 87 92 90 91

B ：89 89 90 84 88

已知抗压强度服从正态分布，问A 种材料是否比B 种材料更抗压(0.05α=) 解：设X ，Y 分别表示A 、B 两种建筑材料的抗压强度，X ，Y 分别的均值分别为1μ，2μ，运用近似t 检验，则则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ≤ VS 012:H μμ>,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{(1)}t t l α≥-，则当0.05α=时候， 2

2.073644x s = ，2 2.345208y s =，5,5m n ==，则2220 1.96y x s s s m n =+=， 则 40

44227.8818(1)(1)y x s l s s m m n n ==+--，取8l =，则0.05(7) 1.8946t =，则统计检验量

1.1429t ==，

则t 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可认为A 种材料没有是否比B 种材料更抗压。

21．已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布(4.55,0.108)N ,现在测定9炉铁水,其平均含 碳量为 .如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量为 (0.05α=)

解：设X 为生产的铁水平均含碳量，则待检验的原假设和备择假设为：

0: 4.55H μ= VS 1: 4.55H μ≠,

采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则0.025 1.96u =，经计算 4.484x =

， 1.833u ==-，u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。则可认为现在生产的铁水平均含碳量为。

22． 某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为根，均方差为根。现在把

经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为 根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受

到显著影响（显著水平0.05α=）

解：设X 为经纱断头率，则待检验的原假设和备择假设为：

0:9.73H μ= VS 1:9.73H μ≠,

采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则

0.025 1.96u =，则检验统计量 1.789u ==，u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。则可认为断头率没有受到显著影响。

23. 某电器厂生产一种云母片，根据长期正常生产积累的资料知道云母片厚度服从正态分布，厚度的数学期望为 0.13 毫米。如果在某日的产品中，随机抽查 10 片，算得子样观察值的均值为 0.146 毫米，均方差为 0.015 毫米。问该日生产的云母片厚度的数学期望与往日是否有显著差异（显著水平0.05α=） 解：设X 为生产的云母片厚度，运用t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

0:0.13H μ= VS 1:0.13H μ≠,

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(1)}t t n α≥-，则当0.05α=，10n =时候，

0.025(9) 2.2622t =，则检验统计量 3.373t ==，则t 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而可以认为该日生产的云母片厚度的数学期望与往日是有显著差异。

24. 某项考试要求成绩的标准差为 12，先从考试成绩单中任意抽出 15 份，计算样本标准差为 16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求

(0.05α=)

解：设X 为考试成绩，则待检验的原假设和备择假设为：

220:12H σ= VS 221:12H σ≠,

采用2χ检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为

2222122

{(1)(1)}n n ααχχχχ-≤-≥-或，则当0.05α=，15n =时候，则2

2

0.0250.975(14)26.1189,(14) 5.6287χχ==，则统计检验量22

2141624.89(12)χ?==，则2χ值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可以认为此次考试的标准差符合要求。

25. 某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）,作了六次测定,得子样观察值为：

甲：25，28，23，26，29，22；

乙：28，23，30，25，21，27。

假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著水平0.05α=）

解：设X ，Y 分别表示甲、乙两种香烟的尼古丁含量，则21~(,)X N μσ，22~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(2)}t t m n α≥+-，则当0.05α=，6m =，6n =时候，0.025(10) 2.2281t =，经计算，25.5x =，25.6667y =， 3.4065s ?=，

则0.08476t ==，则t 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可以认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异。

26．为检验两架光测高温计所确定的温度读数之间有无显著差异，设计了一 个试验，用两架仪器同时对一组10只热炽灯丝作观察，得数据如下：

X （℃） 1050 825 918 1183 1200 980 1258 1308 1420 1550 Y （℃） 1072 820 936 1185 1211 1002 1254 1330 1425 1545 其中X 和Y 分别表示用第一架和第二架高温计观察的结果，假设X 和Y 都从正态分布，且方差相同，试根据这些数据来确定这两只高温计所确定得温度读数之间有无显著差异（0.05α=）

解：设X ，Y 分别表示两只高温计所确定得温度读数，则21~(,)X N μσ，22~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(2)}t t m n α≥+-，则当0.05α=，10m =，10n =时候，0.025(18) 2.1009t =，经计算，1169.2x =，1178y =，226.3769s ?=，

则0.0869t ==-，则t 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可以认为这两只高温计所确定得温度读数之间无显著差异。

27． 由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从2~(,)X X

X N μσ及2~(,)Y Y X N μσ现从两矿各抽几个试件，分析其含灰率为：

甲矿：，，，，（%）；

乙矿：，，，（%）。

问甲、乙两矿所采煤的平均含灰率是否有显著差异（0.05α=）

解：运用近似t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(1)}t t l α≥-，则当0.05α=时候， 2

7.505x s = ，2 2.5933y s =，5,4m n ==，则2220 2.1493y x s s s m n =+=， 则 40

4422 6.56(1)(1)y x s l s s m m n n ==+--，取7l =，则0.025(6) 2.4469t =，经计算，21.5x =，

18y =

则统计检验量， 2.387t ==，则t 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，因而可认为甲、乙两矿所采煤的平均含灰率没有显著差异。

28．某地区小麦的一般生产水平为亩产 250kg.现用一种化肥进行试验,从 25个地区抽样结果, 平均产量为 270 kg,标准差为 30kg.问这种化肥是否使小麦明增产。 (0.05α=)

解：设X 为小麦产量，运用t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

0:250H μ≤ VS 1:250H μ>,

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{(1)}t t n α≥-，则当0.05α=，25n =时候，0.05(24) 1.710t =，由已知，270x =，30s =

，则 3.33t ==，则t 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而可以认为这种化肥使小麦明增产。

29．尼尔森的一项调查估计，每天每个家庭看电视时间的均值为 小时（New York Daily News ，1997）。假定尼尔森的调查包括了200个家庭，其样本标准差为每天 小时。据报道，10 年前每天每个家庭看电视时间的总体均值为 小时。令μ代表 1997 年每个家庭看电视的时间的总体均值，检验01: 6.70;: 6.70H H μμ≤>。取显著性水平0.01α=， 对收看电视时间多少的变

化你能做出什么结论

解：设X 为每天每个家庭看电视时间，则待检验的原假设和备择假设为：

0: 6.7H μ≤ VS 0: 6.7H μ>,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{}u u α≥，则当0.01α=时，0.01 2.325u =，由已知， 7.25x =， 2.5σ=，则 3.11

u ==，则u 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而可以认为收看电视时间显著提高。

30．种新型减肥方法自称其参加者在第一个星期平均能减去至少 8 磅体重。由 40 名使用了该种方法的个人组成一个随机样本，其减去的体重的样本均值为7磅，样本标准差为3.2磅。

a ．0.05α=时，拒绝规则是什么

b ．你对该减肥说明方法的结论是什么

解：1）设X 表示参加者减去的体重，则待检验的原假设和备择假设为：

0:8H μ≥ VS 0:8H μ<,则

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{(1)}t t n α≤--，则当0.05α=，40n =时候，

0.05(39) 1.6849t =，由已知，7x =， 3.2s =，则 1.98t ==-，则t 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设。

2）因而可以认为该减肥方法没有达到它宣传的效果。

31．某一汽车装配操作线完成时间的计划均值为 分钟。由于完成时间既受上一道装配操作线的影响，又影响到下一道装配操作线的生产，所以保持分钟的标准是很重要的。一个随机样本由 45 项组成，其完成时间的样本均值为 分钟，样本标准差为 分钟。在 的显著性水平下检验操作线是否达到了分钟的标准 。 解：设X 为某一汽车装配操作线完成时间，运用t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

0: 2.2H μ= VS 1: 2.2H μ≠,

在显著性水平α下，检验的拒绝域为2

{||(1)}t t n α≥-，则当0.02α=，45n =时候，

统计量0()(2.39 2.2) 6.370.2

x t s μ--===，22t 1.96ααμ≈= 6.37 1.96t =>， 所以拒绝H 0，在的显著性水平下操作线没有达到分

32．一个快餐店计划一项特殊供应，以便顾客购买某种专门设计的以著名卡通人物为特色的杯装饮料，如果有 15％的顾客会购买这种杯装饮料的话，则可以认为，可以实行这种特殊供应 。在某些地方已经进行的调查显示，500 名顾客中有 88 名购买了这种杯装饮料，请通过假设检验决定是否实行这种特殊杯装饮料的供应（0.01α=）

解：运用t 检验，则待检验的原假设和备择假设为：

0:0.15H μ≥ VS 1:0.15H μ<,

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{(1)}t t n α≤--，则当0.01α=，500n =时候，0.176x =，0.3812σ=，统计量

，0.005t (499) 2.6≈， ，则t 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，所以 ，能够认为实行这种特殊杯装饮料的供应。

33．市场研究机构用一组被调查者样本来给某特定商品的潜在购买力打分。样本中每个人都分别在看过该产品的新的电视广告之前与之后打分。潜在购买力的分值在0～10分，分值越高表示潜在购买力越高。零假设认为“看后”平均得分小于或等于“看前”平均得分。拒绝该假设就表明广告提高了平均潜在购买力得分。对0.05α=，用下列数据检验该假设，并对该广告给予评价。

解：设“看后”和“看前”的平均得分分别为1μ，2μ。运用t 检验，原假设和备择假设为：

012112:0 ,:0 H H μμμμ-≤-≥

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{(2)t t m n α≥+-}。

t 统计量为： X Y t = 22212(1)(1)2m S n S S m n ?-+-=+- 21228, 5.375, =2.5535

8, 6, =3.4285m x S n x S ====

可得： 1.7294S ?=，0.050.18069(14) 1.7613t t =-<=，因此，接受原假设，认为广

告没有提高潜在购买力得分。

34．一个研究的假设是：湿路上汽车刹车距离的方差显著大于干路上汽车刹车距离的方差。在调查研究中，以同样速度行驶的 16 辆汽车分别在湿路和干路上检测刹车距离。在湿路上，刹车距离的标准差为 32 英尺，在干路上，标准差是16英尺。

a ．对于 的显著性水平，样本数据是否能够证明湿路上刹车距离的方 差比干路上刹车距离方差大的结论

b ．就驾驶安全性方面的建议而言，你的统计结论有什么含义

解：a ：设湿路和干路上的方差分别为2212σσ和，原假设和备择假设为：

2222012112: ,:H H σσσσ≤≥

在显著性水平α下，检验的拒绝域为{(1,1)F F m n α≥--}。

此处16, 0.05m n α===，(1,1) 2.4F m n α--= 所以，2

0.052324(15,15) 2.416

F F ==>=，因此拒绝原假设，认为湿路上刹车的方差比干路上刹车的方法大。

b ：由于湿路上刹车的方差较大，因此在湿路上驾驶要小心。