高考数学不等式知识点及相关题型

不等式

一、比较大小

作差法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。

000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪

-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩

【例1】比较61x +和42x x +的大小，其中x R ∈ 【例2】设x R ∈，比较

1

1x

+与1x -的大小 作商法：常用于分数指数幂的代数式。

111a

a b b a

a b b a

a b b ⎧>⇔>⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪<⇔<⎪⎩

【例3】设0,0a b >>，且a b ≠，比较a b a b 与b a a b 的大小

二、不等式的性质：

①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+；

④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；

⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；

⑧

)

0,1a b n n >>⇒>∈N >．

【例4】若,a b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是

22.A a b > .

1a

B b

> .22a b C > .lg()0D a b -> 【例5】下列命题中正确的是

22.,,.,.,.,,A a b c b ac bd B ac bc a b

a b

C a b

c c

D a b c d a c b d >>>>><<>>->-若则若则若则若则 三、性质的应用，待定系数法

【例6】不等式组1

24

x y x y +≥⎧⎨

-≤⎩的解集记为D 。有下面四个命题：

1:(,),22,2:(,),22,

3:(,),234:(,),21

p x y D x y p x y D x y p x y D x y p x y D x y ∀∈+≥-∃∈+≥∀∈+≤∃∈+≤-

其中的真命题是

.2,3A p p B.1,2p p C.1,4p p D.1,3p p

四、不等式的解法，对题目条件的领悟

【例7】已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则 A.c ≤3 B.3＜c ≤6 C.6＜c ≤9 D.c ＞9

【例8】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，2

()4f x x x =-，则不等式()x f x >的解集用区间表示为：

五、不同形式不等式解法

1、一元一次不等式ax>b ，分别对a 、b 的正负情况进行讨论

2、一元二次不等式解法：图像法、因式分解法

（1）化成标准式：20,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根；

（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。

解含参数的一元二次不等式时，要把握好分类讨论的顺序 ①根据二次项系数的符号进行讨论

②根据一元二次方程的根是否存在，即∆的符号进行讨论 ③在根存在时，根据根的大小进行讨论

【例8】已知不等式210ax bx -->的解集是11(,)23

-，则不等式20x bx a --≥的解集是

.(2,3)A {}.|x 2,x 3B x ≤≥ 11.(,)32C 11.|,32D x x x ⎧

⎫

<>

⎨⎬⎩⎭

3、简单的一元高次不等式的解法： 标根法步骤

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

4、解分式不等式 不能轻意去分母 通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，

（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；

[特别关注] 求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。

【例9】关于x 的不等式ax -b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式

02

ax b

x +>-的解集是

（ ） A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B ．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞) 【例10】解关于x 的不等式：

12

)

1(>--x x a

5、解绝对值不等式：关键是“去绝对值”， ①利用绝对值不等式的性质：若M>0则

|f(x)|>M ⇔f(x)>M 或f(x)<-M ； ②平方（不等式两边同正）； ③讨论（绝对值内的式子为0）。

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 方法四：两边平方。

【例11】设p ：x 2

－x －20>0,q ：2

12

--x x <0,则p 是q 的 ( )

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

6、分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。

【例12】解不等式|1||1|32

x x +--≥ 【例13】已知：函数,0(),0

a x x f x a x -≤⎧=⎨

>⎩（0>a ）．解不等式：()

12f x x <-．

7、抽象函数的不等式

离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。

【例12】已知奇函数f(x)在(,0)-∞为减函数，f(2)=0则不等式(x -1)f(x -1)<0的解集为： 【例13】已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解. 8、含参变量

无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）数不等式问题时常用数形结合。

【例14x a <+在[-1，1]上恒成立，则a 的取值范围是

【例152(0)x a a <+>的解集是（ ）