情景一电容器的充放电过程

项目九 一阶动态电路的分析与实践
学习情景一 电容器的充放电过程
三、实践知识
2.图示的 RC 一阶电路的零输入响应和零状态响 应分别按指数规律衰减和增长，其变化的快慢 决定于电路的时间常数τ。
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三、实践知识
时间常数τ的测定方法: 用示波器测量零输入响应的波形如图所示。 根据一阶微分方程的求解得知
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实验设备
序号 名 称 1 信号发生器 2 双踪示波器 3 动态电路实验板 型号与规格
DS-C-27
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四、理论知识
（一）换路定则和初始值的计算 （二）一阶电路的零输入响应
（三）一阶电路的零状态响应
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一、教学目标

理解暂态响应、稳态响应的含义，通过电 容器的充电过程学习理解零状态响应、通过电 容器的放电过程学习理解零输入响应,并掌握它 们的分析计算方法 。 理解动态电路中时间常数τ的意义。
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t
库仑 秒 库仑 / 秒
则有
uC uC (0 )e

t≥0
i i(0 )e

t

t≥0
1 由于 p 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， RC 它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=U0 及
U0 i (0 ) R
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U 0e
U0
+ C uC -
+
uR
-
duC U 0 RC i C 项目九 一阶动态电路的分析与实践 e dt R
t
学习情景一 电容器的充放电过程 令τ=RC，称 τ为时间常数,它具有时间的量纲，即
伏特 库仑 RC . 安培 伏特
iL
L
uL
－
uC
－
(a) 电路图
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解 (1)确定独立初始值 uC(0＋)及iL(0＋) 画出 t=0- 时的等效电 路（换路前已达稳态， 所以电感元件如同短路 ，电容元件如同开路）
US 50 iL (0 ) 5A R1 R2 5 5 uC (0 ) R2iL (0 ) 5 5V 25V
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从而解出特征根为
则通解
p

1 RC
uC Ae
t RC
将初始条件uc(0+)=U0代入上式，求出积分常数A为
uC (0 ) A U 0
得到满足初始值的微分方程的通解为
t RC t RC
uC uC (0 )e
放电电流为
R
C
R1R3 63 R R2 (8 )k 10k R1 R3 63
故
图9－5（b）
RC 1010 5 10 s 0.05s
3 6
按式（9－9）有
uC U 0e

t

6e

t 0.05
V 6e
20t
V
du C 6 20 t 20 t iC 50 10 6 ( 20 ) e A 0 . 6 e mA 项目九 一阶动态电路的分析与实践 dt
二、工作任务
1、研究RC电路在充放电情况下，响应的基
本规律和特点。
2、学习使用脉冲信号发生器。 3、学习用示波器观察分析电路的响应。
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三、实践知识
1. 利用信号发生器输出的方波来模拟阶跃激励 信号，即利用方波输出的上升沿作为零状态响应 的正阶跃激励信号；利用方波的下降沿作为零输 入响应的负阶跃激励信号。只要选择方波的重复 周期远大于电路的时间常数τ，那么电路在这样的 方波序列脉冲信号的激励下，它的响应就和直流 电接通与断开的过渡过程是基本相同的。
零所需要的时间越长。 项目九 一阶动态电路的分析与实践
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例9－2
图9－5(a)所示电路由电容和电阻构成。已知 R1 6k, R2 8k, R3 3k, C 5F , uC (0 ) 6V , t=0时开关闭合，求t 0 时的电容电压及电流。
初始值组成解电路微分方程的初始条件。
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二、初始条件的计算 换路后瞬间电容电压、电感电流的初始 值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路 前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路 定则得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。 电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值 不遵循换路定则，它们的初始值需由t=0+电 路来求得。
R1 R2 R3 C S t=0 R C
图9－5（a）
图9－5（b）
解 开关闭合瞬间，按换路定则有
uC (0 ) uC (0 ) 6V
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换路后的等效电路如图9－ 5（b）所示，图中R为换路 后除电容外一端口网络的 等效电阻。所以
t=0-时的等效电路
由换路定则得: iL(0+)=iL(0-)=5A ，uC(0+)=uC(0-)=25V
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(2) 计算相关初始值。 画出t=0+时的等效电路, 如图所示。
R3
+
uR2
－
R2
+
+
u R3 －
iC
uC (0 )
－
+
u R2 (0 ) R2iL (0 ) 5 5V 25V iC (0 ) iL (0 ) 5 A
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例 9 －1 图9－1（a）所示电路中, 直流电压源的电压 Us=50V, R1= R2=5Ω, R3=20Ω。电路原已达到稳 态。在t=0时断开开关S, 试求t=0＋时的
iL、uC、uR2、uR3、iC、uL。
S
+ －
R1
R3
R2
+
+
+
uR2
－
u R3 －
+
iC
C
US
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动态电路的时域分析
当电路的结构或元件的参数发生变化时，电路由
原来的稳定状态转变到另一个稳定状态，这个过 程称为电路的过渡过程。过渡过程是一种暂态。 在暂态分析中，含有储能元件（C或L）的电路 成为动态电路。 暂态分析有两种方法： 经典法——时域分析（解微分方程）。 运算法——复频域分析（用积分变换）。
uc U me
t
RC
U me

t

当t＝τ时， uc(t)＝0.368Um。 此时所对应的时间就等于τ。
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三、实践知识
用示波器测量零状态响应波形如图所示。
由uc增加到0.632Um所 对应的时间测得，如图 所示。
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一阶电路状态有两种：
零输入：
换路后电路中无电源激励（即输入信号 为零）时，为零输入。
零状态：
换路前电路中的储能元件均未贮存能 量，称为零状态 。
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换路定则和初始值的计算
电路中开关的接通、断开或电路参数的 突然变化等统称为“换路”。 动态分析就是研究换路后电路中电压或 电流的变化规律，知道了电压、电流的初始 值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的 初始值开始变化的。 储能元件的初始值由换路定则确定。
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具体求法： 画出t =0+电路，在该电路电容用一个电压源 uC (0+)代替，若uC (0+)= 0，则电容用短路线代 替。电感用一个电流源iL(0+) 代替，若iL(0+)= 0， 则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求 法。
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iL (0 )
uL
－
u R3 (0 ) R3iC (0 ) 20 (5)V 100 V u L (0 ) u R2 (0 ) u R3 (0 ) uC (0 ) [25 (100) 25]V 100 V
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一阶电路的零状态响应
在换路之前，电路的储能元件 初始储能为零，仅由激励引起的响 应叫零状态响应。
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•约定换路时刻为计时起点，即t=0 换路前的最后一瞬间： t 0 换路后的最初一瞬间：t 0 换路后的一瞬间 ，电感中的电流应保持换路 前的原有值而不能跃变。
•初始值：换路后的最初一瞬间（即 t=0+ 时刻） 的电流、电压值。
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一、 RC电路的零输入响应（C放电）
图9-2 (a) 所示的电路中，在t<0时，电容被电 流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC (0-)=U0。 s
1 2
U0 R0
+ C
+ R (a)
U0
+ C uC -
i
+
uR
(b)
图9- 2 RC电路的零输入
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通过以上例题，可以归纳出求初始值的一 般步骤如下： (1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及 iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出 各待求量。 (3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始 值。
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一、 换路定则
该定则说明若电容电压、电感电流为有 限值，则uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬 间的uC 、iL是相等的，可表达为：
uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)
必须注意：只有uC 、 iL受换路定律的约束 而保持不变，电路中其他电压、电流都可能 发生跃变。
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一阶电路的零输入响应
只含一个储能元件的电路称为一阶电路。 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生
的电流和电压,称为动态电路的零输入响应。 一阶电路有两类： RC电路——一个电阻和一个电容串联的电 路。 RL电路——一个电阻和一个电感串联的电 路。
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换路后由图（b）可知，根据KVL有
-uR+uc=0
而uR=i R,
duC i C ，代入上式可得 dt U0 + C uC duC RC u C 0
+
uR
dt
-
上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式 为 uc=Aept t≥0 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。 p为特征方程的根。可得特征方程为 RCp+1=0
当t→∞时，uc和 i 衰减到零。
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图9-3 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
i
uc
U0
U0 R
uc
i
0
ωt
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时间常数τ决定暂态过程的快慢：
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uC ( ) U0e 0.368 U0
1
τ的意义： τ就是按指数规律衰减的量衰减到它的 初始值的36.8%时所需的时间。
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动态电路的时域分析
实验：当开关S闭合时，就看到三种现象：
（1）电路支路的灯泡DR会立即亮，而且亮度始终不变； （2）电感支路的灯泡DL由不亮逐渐变亮，最后亮度达到稳定； （3）电容支路的灯泡DC由亮变暗，最后熄灭。
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U0 u
0.368U0
C

t
理论上t=∞时过渡过程结束。 实际t=(3~5) τ时 认为过渡过程基本结束。
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uc U0
uC (t ) U 0 e
t

1
2
3
0.368U0
1 2 3
t
1
2
3
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uc衰减到