一道数学竞赛题的探究(1)
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２），则ｓｉｎ３αｃｏｓα＋
ｃｏｓ３
αｓ
ｉｎα的最小值为（ ）
（Ａ）２７６４． （
Ｂ）３５槡２．（Ｃ）１．
（Ｄ）５６
槡３．本文首先给出问题的多种解法，然后对问题作引申推广．
一、一题多解
解法１ ∵α∈（
０，π２
），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，∴ｓｉｎ３
αｃｏｓα＋ｃｏｓ３
αｓｉｎα＝
ｓｉｎαｃｏｓα
（１－ｃｏｓ２α）＋ｃｏｓαｓｉｎα（１－ｓｉｎ２
α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα－ｓ
ｉ
ｎ ２α≥２－１＝１．
等号成立当且仅当α＝π４．
因此，ｓｉｎ３
αｃｏｓα＋ｃｏｓ３
αｓ
ｉｎα的最小值为１．解法２ ∵α∈（
０，π２
），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由柯西不等式得
（ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎαｃｏｓα）（ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３
αｓｉｎα）＝［（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２＋（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２
］·
［（ｓｉｎ３αｃｏｓ槡α
）２＋（ｃｏｓ３
αｓｉｎ槡
α）２
］
≥（ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｓｉｎ３
αｃｏｓ槡
α
＋ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｃｏｓ３
α
ｓｉｎ槡
α
）２
＝（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）２
＝１，
∴ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３
αｓｉｎα≥１ｓｉｎ ２α
≥１．等号成立当且仅当α＝π４
．
因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓ
ｉｎα的最小值为１．解法３ ∵α∈（
０，π２
），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得
ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｓｉｎ３αｃｏｓα
＋ｃｏ
ｓ２
α≥３
３
（ｓｉｎ３
αｃｏｓα
）２ｃｏｓ２槡
α＝３ｓｉｎ２
α，ｃｏｓ３αｓｉｎα＋ｃｏｓ３
αｓｉｎα
＋ｓｉ
ｎ２
α≥３
３
（ｃｏｓ３
αｓｉｎα
）２ｓｉｎ２槡
α＝３ｃｏｓ２
α，将上面二式相加，整理得ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３
αｓ
ｉｎα≥１．等号成立当且仅当α＝π４
．因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．二、引申推广
对问题作引申推广，可得如下命题．
命题１ 设α∈（０，π２），则ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋
２αｓｉｎｎ
α
的最小值为１．
证明 ∵α∈（０，π２
），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得
ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎ
α
＋ｃｏｓα＋ｃｏｓα＋…＋ｃｏｓ烉烇烋αｎ个
≥（
ｎ＋２）ｎ＋
２（ｓｉｎｎ＋
２αｃｏｓｎα
）２ｃｏｓ２ｎ槡
α，即２ｓｉｎｎ＋
２αｃｏｓｎ
α
＋ｎｃｏｓ２α≥（ｎ＋２）ｓｉｎ２
α，６５数学通讯———２０１２年第４期（上半月） ·课外园地·
同理２ｃｏｓｎ＋
２αｓｉｎｎ
α
＋ｎｓｉｎ２α≥（ｎ＋２）ｃｏｓ２
α，将上面两式相加，整理得：
ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋
２αｓｉｎｎ
α
≥１．
等号成立当且仅当α＝π４
．
因此，ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋２αｓｉｎｎα
的最小值为１．命题２ 已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋
，且ｘ２＋ｙ２＝ｍ２，则ｘ３ｙ＋ｙ３
ｘ
的最小值是ｍ２．
证明 ∵ｘ，ｙ∈Ｒ＋
，
且ｘ２＋ｙ２＝ｍ２，由均值不等式，
得ｘ３ｙ＋ｘ３
ｙ
＋ｙ２
≥３３
（ｘ３
ｙ
）２ｙ槡
２＝３ｘ２，ｙ３
ｘ＋ｙ３
ｘ
＋ｘ２
≥３３
（ｙ３
ｘ
）２ ｘ槡
２
＝３ｙ２，将上面两式相加，整理得：ｘ３ｙ＋ｙ３
ｘ
≥ｍ２
，
等号成立当且仅当ｘ＝ｙ．
因此，ｘ３ｙ＋ｙ３ｘ
的最小值是ｍ２．命题３ 已知ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋
，且ｘ２１＋ｘ２２
＋…＋ｘ２ｎ＝ｍ
２
，则ｘ３１ｘ２＋ｘ３２ｘ３＋…＋ｘ３ｎ－１ｘｎ
＋ｘ３
ｎｘ１的最小值是ｍ２．
证明 ∵ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋
，且ｘ２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ＝ｍ２
，
由均值不等式，得ｘ３１ｘ２＋ｘ３
１ｘ２＋ｘ２
２≥３３
（ｘ３１ｘ２
）２ ｘ槡
２２＝３ｘ２１， 同理，
ｘ３２ｘ３＋ｘ３２ｘ３＋ｘ２
３≥３３
（ｘ３２ｘ３
）２ ｘ槡
２３＝３ｘ２２，……，
ｘ３ｎｘ１＋ｘ３ｎ
ｘ１
＋ｘ２
１≥３３
（ｘ３ｎｘ１
）２ ｘ槡
２
１
＝３ｘ２ｎ，将上面的ｎ个不等式相加，整理得
ｘ３１ｘ２＋ｘ３２ｘ３＋…＋ｘ３ｎ－１ｘｎ＋ｘ３
ｎｘ１≥ｍ２
，等号成立当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ．因此，ｘ３１ｘ２＋ｘ３２ｘ３＋…＋ｘ３ｎ－１ｘｎ
＋ｘ３
ｎｘ１的最小值是ｍ２．
命题４ 已知ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋
，且ｘ２１＋ｘ２２
＋…＋ｘ２ｎ
＝ｍ２
，则ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２２ｘｎ３＋…＋ｘｎ＋２ｎ－
１ｘｎｎ
＋ｘｎ＋
２ｎｘｎ１的最小值是ｍ２．
证明 ∵ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋
，且ｘ２１＋ｘ２２＋…
＋ｘ２ｎ＝ｍ２
，
由均值不等式，得ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２１ｘｎ２
＋ｘ２２＋…＋ｘ烉烇烋２
２ｎ个
≥（
ｎ＋２）ｎ＋
２（ｘｎ＋
２１ｘｎ２
）２（ｘ２２）槡
ｎ＝（ｎ＋２）ｘ２
１，
即２ｘｎ＋
２１ｘｎ
２＋ｎｘ２２≥（ｎ＋２）ｘ２
１，同理，
２ｘｎ＋２２ｘｎ
３
＋ｎｘ２３≥（ｎ＋２）ｘ２
２，……，
２ｘｎ＋２ｎｘｎ
１
＋ｎｘ２１≥（ｎ＋２）ｘ２
ｎ，将上面ｎ个不等式相加，整理得
ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２２ｘｎ３
＋…＋ｘｎ＋２ｎ－１ｘｎｎ＋ｘｎ＋２ｎｘｎ１≥ｍ２
，等号成立当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ．因此，ｘｎ＋２１ｘｎ２＋ｘｎ＋２２ｘｎ３＋…＋ｘｎ＋２ｎ－
１ｘｎｎ
＋ｘｎ＋
２ｎｘｎ１的最小值
是ｍ２．
（收稿日期：２０１１－１０－０８
）７
５·课外园地· 数学通讯———２０１２年第４期（
上半月）